高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.4.2 第1课时 距离问题(含解析)

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时　距离问题

学习目标　1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．

知识点一　点P到直线 l 的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．

知识点二　点P到平面α的距离

设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．

思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？

答案　两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．

1．空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为(　　)

A.  B．5  C.  D．3

答案　C

2．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为(　　)

A．5  B．14  C.  D.

答案　C

解析　∵＝(－2，－6,2)，·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14 ，|n|＝5，

∴点P到直线l的距离为d＝＝ .

3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．

答案　5

4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．

答案　

解析　点P到平面α的距离

d＝＝＝.

一、点到直线的距离

例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

解　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，

所以直线A′C的方向向量＝(1,2, －3)．

又＝(0,2,0)，

所以在上的投影长为＝ .

所以点B到直线A′C的距离

d＝＝＝.

反思感悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)求直线的方向向量．

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．

(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

跟踪训练1　已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．

解　以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，则＝(1，－2,1)，＝(1，0，－2)．

||＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，

在上的投影长为＝ .

所以点A到EF的距离d＝＝＝.

二、点到平面的距离与直线到平面的距离

例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F.

设DH⊥平面PEF，垂足为H，则

＝x＋y＋z＝，

x＋y＋z＝1，

＝，＝，

所以·＝x＋y＋－z

＝x＋y－z＝0.

同理，·＝x＋y－z＝0，

又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝，z＝.

所以＝(2,2,3)，所以||＝.

因此，点D到平面PEF的距离为.

(2)连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，

平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，

所求距离为＝＝.

反思感悟　用向量法求点面距的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．

(3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．

(4)求距离d＝.

跟踪训练2　如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．

解　设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，

有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，

则＝(1,0，－h)，＝(0,1，－h)，＝(1,1,0)，

设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取z＝1，得n＝(h，h，1)，所以点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，

解得h＝2.

故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.

1．已知A(0, 0, 2) ，B(1, 0, 2) ，C(0, 2, 0) ，则点A到直线BC的距离为(　　)

A.  B．1  C.  D. 2

答案　A

解析　∵A(0, 0,2)，B(1, 0,2)，C(0, 2,0)，

 ＝(1, 0,0) ，＝(－1, 2，－2) ，

 ∴点A到直线BC的距离为

d＝＝ ＝ .

2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．

可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，

则d＝＝.

3．已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

则 A1(1,0,0) , C1(0,1,0) , D(0,0,1) , A(1,0,1) ，

所以 ＝(1,0，－1) ，＝(0,1，－1) , ＝(－1,0,0) ，

设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝(x，y，1) ，

则

即

解得故m＝(1,1,1)，

显然平面AB1C∥平面A1C1D，

所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝ .

4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．

答案　

解析　因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，

所以点P到l的距离为＝＝.

5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，则点A到平面EFG的距离为________．

答案　

解析　建系如图，

则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，所以＝(0,1,0)，

＝(－2,1,1)，＝(－1，－1,2)．

设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，

点A到平面EFG的距离为d，

则所以

所以令z＝1，

此时n＝(1,1,1)，

所以d＝＝＝.

即点A到平面EFG的距离为.

1．知识清单：

(1)点到直线的距离．

(2)点到平面的距离与直线到平面的距离．

2．方法归纳：数形结合、转化法．

3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．

1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则平面外一点P(－2,1,4)到α的距离为(　)

A．10  B．3  C.  D.

答案　D

解析　＝(1,2，－4)，

则点P到α的距离d＝＝＝.

2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是(　　)

A.a  B.a  C.a  D.a

答案　D

解析　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则＝(a，a，a)，＝(0，a，a)，

由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离d＝＝＝a.

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　建立空间直角坐标系如图所示，

则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)，

设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝＝，

sin θ＝＝.

故A到直线BE的距离

d＝||sin θ＝2×＝.

4.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)

A．5  B．8  C.  D.

答案　C

解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．

设B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0)．

设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，

由n⊥，n⊥，

得n·＝(a，b，c)·(－x，0,0)＝－ax＝0，

n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，

所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0,5,12)．

又＝(0,0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.

因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.

5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系，

则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，

平面ABC1D1的一个法向量为＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离

d＝＝＝.故选B.

6．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.

答案　2

解析　d＝＝＝2.

7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．

答案　

解析　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2,1)，

所以＝＝，||＝，

所以点D1到直线GF的距离为＝.

8．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．

答案　

解析　以AB的中点O为坐标原点，分别以OE，OB所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，

设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则

即

令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．

故点D到平面ACE的距离

d＝＝＝.

9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．

(1)求点M到直线AC1的距离；

(2)求点N到平面MA1C1的距离．

解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，

直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2,0,1)，

故点M到直线AC1的距离d＝＝＝.

(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，

则

即

取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，

因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)，

故N到平面MA1C1的距离d＝＝＝.

10．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．

解　∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，

∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，＝(0，－4,4)．

方法一　设存在点E，使＝λ，且BE⊥DP，

设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，

∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，

∴点E(0,4－4λ，4λ)，＝(－2,4－4λ，4λ)．

∵BE⊥DP，

∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝.

∴＝(－2,2,2)，∴||＝＝2，

故点B到直线PD的距离为2.

方法二　＝(－2,0,4)，＝(0，－4,4)，

∴·＝16，

∴在上的投影的长度为＝＝2.

所以点B到直线PD的距离为

d＝＝＝2.

11.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，

因为＝＋＋，

所以＝，＝(1,0,0)，＝，

所以P点到AB的距离

d＝＝＝.

12．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)，

∴＝(－2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2，－2,0)．

设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)，

则即取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)，

所以点B1到平面AD1C的距离为＝，故选A.

13．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．

答案　

解析　AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，

则＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．

设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，

则即

取a＝1，得n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，

所以d＝＝.

14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．

答案　

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，

则＝，

＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)．

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，

则有解得n＝，

则所求距离为＝＝.

15.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．

答案　

解析　取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1,0)，B1(，0,2)，C(0,1,0)，

所以＝(，1,2)，

＝(0，－2,0)．

∴·＝－2，

∴在上的投影的长度为＝＝，

所以点C到直线AB1的距离

d＝＝＝＝.

16.如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，

(1)证明：平面AMN∥平面EFBD；

(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离．

(1)证明　如图所示，建立空间直角坐标系，

则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．

从而 ＝(2,2,0)， ＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)， ＝(－2,0,4)，

所以＝，＝，所以EF∥MN，AM∥BF.

因为EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，

所以平面AMN∥平面EFBD，

(2)解　设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，

从而 解得  

取z＝1，得n＝(2，－2,1)，

由于 ＝(0,4,0)，

所以 在n上的投影为＝＝，

所以两平行平面间的距离d＝＝.