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1.1 空间向量及其运算（单元教学设计）-【大单元教学】2024-2025学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第一册）
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1.1 空间向量及其运算（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）理解空间向量的基本概念及其表示方法。（2）掌握空间向量的加减运算、数乘运算及其运算律。（3）能够运用空间向量解决简单的立体几何问题。【过程与方法目标】（1）通过类比、归纳等思想方法，培养学生的类比思维和数学抽象能力。（2）通过探究、讨论、合作等方式，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。（3）通过几何直观与代数运算的结合，培养学生的空间想象能力和数学运算能力。【情感态度价值观目标】（1）激发学生对数学学习的兴趣，体验发现数学的乐趣。（2）培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。（3）增强学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的应用价值。二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】本学生对平面向量已有一定基础，这为学习空间向量提供了便利。他们在立体几何初步学习中培养了一定的空间想象能力，有助于理解空间向量的概念和运算。然而，空间向量的抽象性可能对学生构成挑战，特别是在应用方面。学生可能难以将理论知识应用于解决实际问题，尤其是利用空间向量解决立体几何问题。因此，教学应注重直观演示，加强练习巩固，同时着力培养学生的空间想象能力和实际应用能力，以提升学习效果。四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算.教学难点：空间向量的应用，特别是利用空间向量解决立体几何问题。教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：在我们生活的三维空间中，许多现象和物体都可以用空间向量来描述。比如，飞行中的飞机，它的移动方向和距离可以用一个空间向量来表示；再比如，建筑工程师在设计桥梁时，也需要考虑到桥梁各个部分在空间中的方向和位置关系，这同样离不开空间向量的应用。问题1：能否把平面向量推广到空间向量，通过空间向量运算解决空间立体几何问题?【破解方法】通过情境创设，让学生体会学习本章内容的必要性, 从而激发学生的学习热情和求知欲望.环节二、抽象概念，内涵辨析1．空间向量的有关概念问题2：请同学们回顾平面向量的概念及表示, 类比给出空间向量的概念及表示.【破解方法】先由学生独立思考、回答，再由师生一起总结．【归纳新知】（1）空间向量①定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．②长度或模：空间向量的大小．③表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq \o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up8(→))|.（2）几类常见的空间向量2．空间向量的线性运算问题3：你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义么?【破解方法】首先让学生回忆平面向量的加、减、数乘运算，然后归纳新知，让学生体会从平面向量到空间向量研究内容和方法的类比.【归纳新知】(1)向量的加法、减法(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3.共线问题问题4：有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以研究空间向量的位置关系. 对于空间向量的位置关系，你可以提出哪些问题? 【破解方法】学生独立思考、小组讨论后进行全班交流，教师帮助梳理.问题5：你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗?【破解方法】对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a//b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up8(→))＝λa.【归纳总结】此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。3．向量共面问题问题6：类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗?【破解方法】通过类比平面向量共线的充要条件，得出空间向量共面的充要条件.【归纳总结】共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq \o(AP,\s\up8(→))＝xeq \o(AB,\s\up8(→))＋yeq \o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq \o(OP,\s\up8(→))＝eq \o(OA,\s\up8(→))＋xeq \o(AB,\s\up8(→))＋yeq \o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。4．空间向量数量积的运算问题7：回顾平面向量数量积的学习过程，类比归纳空间向量数量积．【破解方法】首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，然后独立思考并完成空间向量数量积，引导学生开展更加明确的类比学习，进一步体会平面向量到空间向量的推广过程.．【归纳总结】空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律夹角问题（1）定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。环节三：例题练习，巩固理解题型一：空间向量的有关概念及线性运算【例1】下列命题中为真命题的是（ ）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.【变式1-1】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）； （2）；（3）； （4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【变式1-2】在图中，用，，表示，及．【解析】，，.题型二：共线向量定理的应用【例2】证明：如果向量，共线，那么向量与共线．【解析】如果向量，共线，则存在唯一实数，使得，则，所以向量与共线.【变式2-1】有下列命题：①若，则四点共线；②若，则三点共线；③若为不共线的非零向量，，则；④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则．其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)．【答案】②③④【解析】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线，所以①不正确；②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确；③中，由，可得，所以，所以③正确；④中，由，可得，所以，所以④正确．故答案为：②③④.题型三：共面向量及应用【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面．【解析】证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，，而在中，有，所以故E，F，G，H四点共面，证毕.【变式3-1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.【解析】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，于是得：，即共面，它们有公共点E，所以E，F，G，H四点共面.题型四：空间向量的数量积【例4】已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点，则；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【变式4-1】已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ．【答案】/【解析】正四面体的棱长为1，，又点是的中点，，又，.故答案为：.题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角【例5】如图，正方体（1）求和的夹角；（2）求证．【解析】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角，在正方体中，设棱长为a，则，则是等边三角形，即故和的夹角为（2）联结，则，又平面，平面，则，又故平面，又平面，所以【变式5-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设与的夹角为，由得，两边平方得，所以，所以，所以.故选：D.题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【例6】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)；(2)的长（精确到0.1）.【解析】（1）.（2），所以.【变式6-1】如图，在平行六面体中，．求：(1)；(2)的长；(3)的长．【解析】（1）由向量的数量积的概念，可得.（2）因为，所以，即的长为.（3）以为，所以 .【变式6-2】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．【解析】因为，且平面，可得，且，可得，根据向量的线性运算，可得，则.题型七：利用空间向量的数量积证垂直【例7】如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：. 【解析】在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，.因为直线m与n相交，所以向量，不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使.将上式两边分别与向量作数量积运算，得.因为，，所以.所以.这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以.【变式7-1】如图，空间四边形中，.求证：.【解析】利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.【变式7-2】如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．【解析】取的中点D，联结OD，CD，由，知，，，又，故平面，又平面，因此又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．则，，故，四边形EFGH是平行四边形同理，且，又所以，四边形EFGH是矩形环节四：小结提升，形成结构问题11：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）空间向量线性运算的定义、运算律是什么?（2）空间向量共线的充要条件是什么?空间三个向量共面的充要条件是什么?（3）描述集合有几种方法?你能结合例子说明如何选择这些方法吗?（4）空间向量数量积的定义、运算律与平面向量数量积的定义、运算律有什么联系与区别?【破解方法】（1）通过问题引导学生复习本节课所学知识，进一步体会类比平面向量学习空间向量的思想方法、体会平面向量与空间向量的异同.（2）通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾.六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.2．如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ）A．48 B．32 C． D．【答案】C【解析】.故选：C3．在空间四边形中，，，则的值为（ ）A． B． C． D．0【答案】D【解析】如图所示， ∵，又，，则∴，∴，.故选：D4．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 . 【答案】【解析】记，则，所以，由于，故，故，即的长为.故答案为：5．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）； （2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）.6．如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1），故；（2），故；（3），故.7．如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）； （2）；（3）； （4）．【解析】（1），向量如图所示；（2）在平行六面体中，有，，故，向量如图所示；（3）由知，取的中点为E，，向量如图所示；（4）由（2）知，取的三等分点F点，，向量如图所示；【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．环节六：布置作业，应用迁移作业：教科书第5∼6页练习第2、 3、4题．教科书第8∼9页练习第 2、3、4题.【设计意图】巩固本节课的知识点．七、【教学反思】本节课通过创设情境、复习旧知、讲授新课、合作探究和总结反馈等环节，引导学生逐步深入理解空间向量的概念和运算规则。在教学过程中，注重培养学生的类比思维、数学抽象能力和空间想象能力。同时，通过小组合作探究的方式激发学生的学习兴趣和探究欲望，提高了学生的自主学习能力和团队协作精神。然而，在实际教学过程中仍存在一些不足之处，如部分学生对空间向量的应用掌握不够熟练等，需要在今后的教学中进一步加强练习和巩固。 名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq \o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq \o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b空间向量的运算加法eq \o(OB,\s\up8(→))＝eq \o(OA,\s\up8(→))＋eq \o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq \o(CA,\s\up8(→))＝eq \o(OA,\s\up8(→))－eq \o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c
1.1 空间向量及其运算（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）理解空间向量的基本概念及其表示方法。（2）掌握空间向量的加减运算、数乘运算及其运算律。（3）能够运用空间向量解决简单的立体几何问题。【过程与方法目标】（1）通过类比、归纳等思想方法，培养学生的类比思维和数学抽象能力。（2）通过探究、讨论、合作等方式，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。（3）通过几何直观与代数运算的结合，培养学生的空间想象能力和数学运算能力。【情感态度价值观目标】（1）激发学生对数学学习的兴趣，体验发现数学的乐趣。（2）培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。（3）增强学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的应用价值。二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】本学生对平面向量已有一定基础，这为学习空间向量提供了便利。他们在立体几何初步学习中培养了一定的空间想象能力，有助于理解空间向量的概念和运算。然而，空间向量的抽象性可能对学生构成挑战，特别是在应用方面。学生可能难以将理论知识应用于解决实际问题，尤其是利用空间向量解决立体几何问题。因此，教学应注重直观演示，加强练习巩固，同时着力培养学生的空间想象能力和实际应用能力，以提升学习效果。四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算.教学难点：空间向量的应用，特别是利用空间向量解决立体几何问题。教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：在我们生活的三维空间中，许多现象和物体都可以用空间向量来描述。比如，飞行中的飞机，它的移动方向和距离可以用一个空间向量来表示；再比如，建筑工程师在设计桥梁时，也需要考虑到桥梁各个部分在空间中的方向和位置关系，这同样离不开空间向量的应用。问题1：能否把平面向量推广到空间向量，通过空间向量运算解决空间立体几何问题?【破解方法】通过情境创设，让学生体会学习本章内容的必要性, 从而激发学生的学习热情和求知欲望.环节二、抽象概念，内涵辨析1．空间向量的有关概念问题2：请同学们回顾平面向量的概念及表示, 类比给出空间向量的概念及表示.【破解方法】先由学生独立思考、回答，再由师生一起总结．【归纳新知】（1）空间向量①定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．②长度或模：空间向量的大小．③表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq \o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up8(→))|.（2）几类常见的空间向量2．空间向量的线性运算问题3：你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义么?【破解方法】首先让学生回忆平面向量的加、减、数乘运算，然后归纳新知，让学生体会从平面向量到空间向量研究内容和方法的类比.【归纳新知】(1)向量的加法、减法(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3.共线问题问题4：有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以研究空间向量的位置关系. 对于空间向量的位置关系，你可以提出哪些问题? 【破解方法】学生独立思考、小组讨论后进行全班交流，教师帮助梳理.问题5：你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗?【破解方法】对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a//b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up8(→))＝λa.【归纳总结】此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。3．向量共面问题问题6：类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗?【破解方法】通过类比平面向量共线的充要条件，得出空间向量共面的充要条件.【归纳总结】共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq \o(AP,\s\up8(→))＝xeq \o(AB,\s\up8(→))＋yeq \o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq \o(OP,\s\up8(→))＝eq \o(OA,\s\up8(→))＋xeq \o(AB,\s\up8(→))＋yeq \o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。4．空间向量数量积的运算问题7：回顾平面向量数量积的学习过程，类比归纳空间向量数量积．【破解方法】首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，然后独立思考并完成空间向量数量积，引导学生开展更加明确的类比学习，进一步体会平面向量到空间向量的推广过程.．【归纳总结】空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律夹角问题（1）定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。环节三：例题练习，巩固理解题型一：空间向量的有关概念及线性运算【例1】下列命题中为真命题的是（ ）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.【变式1-1】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）； （2）；（3）； （4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【变式1-2】在图中，用，，表示，及．【解析】，，.题型二：共线向量定理的应用【例2】证明：如果向量，共线，那么向量与共线．【解析】如果向量，共线，则存在唯一实数，使得，则，所以向量与共线.【变式2-1】有下列命题：①若，则四点共线；②若，则三点共线；③若为不共线的非零向量，，则；④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则．其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)．【答案】②③④【解析】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线，所以①不正确；②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确；③中，由，可得，所以，所以③正确；④中，由，可得，所以，所以④正确．故答案为：②③④.题型三：共面向量及应用【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面．【解析】证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，，而在中，有，所以故E，F，G，H四点共面，证毕.【变式3-1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.【解析】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，于是得：，即共面，它们有公共点E，所以E，F，G，H四点共面.题型四：空间向量的数量积【例4】已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点，则；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【变式4-1】已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ．【答案】/【解析】正四面体的棱长为1，，又点是的中点，，又，.故答案为：.题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角【例5】如图，正方体（1）求和的夹角；（2）求证．【解析】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角，在正方体中，设棱长为a，则，则是等边三角形，即故和的夹角为（2）联结，则，又平面，平面，则，又故平面，又平面，所以【变式5-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设与的夹角为，由得，两边平方得，所以，所以，所以.故选：D.题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【例6】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)；(2)的长（精确到0.1）.【解析】（1）.（2），所以.【变式6-1】如图，在平行六面体中，．求：(1)；(2)的长；(3)的长．【解析】（1）由向量的数量积的概念，可得.（2）因为，所以，即的长为.（3）以为，所以 .【变式6-2】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．【解析】因为，且平面，可得，且，可得，根据向量的线性运算，可得，则.题型七：利用空间向量的数量积证垂直【例7】如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：. 【解析】在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，.因为直线m与n相交，所以向量，不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使.将上式两边分别与向量作数量积运算，得.因为，，所以.所以.这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以.【变式7-1】如图，空间四边形中，.求证：.【解析】利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.【变式7-2】如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．【解析】取的中点D，联结OD，CD，由，知，，，又，故平面，又平面，因此又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．则，，故，四边形EFGH是平行四边形同理，且，又所以，四边形EFGH是矩形环节四：小结提升，形成结构问题11：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）空间向量线性运算的定义、运算律是什么?（2）空间向量共线的充要条件是什么?空间三个向量共面的充要条件是什么?（3）描述集合有几种方法?你能结合例子说明如何选择这些方法吗?（4）空间向量数量积的定义、运算律与平面向量数量积的定义、运算律有什么联系与区别?【破解方法】（1）通过问题引导学生复习本节课所学知识，进一步体会类比平面向量学习空间向量的思想方法、体会平面向量与空间向量的异同.（2）通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾.六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.2．如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ）A．48 B．32 C． D．【答案】C【解析】.故选：C3．在空间四边形中，，，则的值为（ ）A． B． C． D．0【答案】D【解析】如图所示， ∵，又，，则∴，∴，.故选：D4．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 . 【答案】【解析】记，则，所以，由于，故，故，即的长为.故答案为：5．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）； （2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）.6．如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1），故；（2），故；（3），故.7．如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）； （2）；（3）； （4）．【解析】（1），向量如图所示；（2）在平行六面体中，有，，故，向量如图所示；（3）由知，取的中点为E，，向量如图所示；（4）由（2）知，取的三等分点F点，，向量如图所示；【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．环节六：布置作业，应用迁移作业：教科书第5∼6页练习第2、 3、4题．教科书第8∼9页练习第 2、3、4题.【设计意图】巩固本节课的知识点．七、【教学反思】本节课通过创设情境、复习旧知、讲授新课、合作探究和总结反馈等环节，引导学生逐步深入理解空间向量的概念和运算规则。在教学过程中，注重培养学生的类比思维、数学抽象能力和空间想象能力。同时，通过小组合作探究的方式激发学生的学习兴趣和探究欲望，提高了学生的自主学习能力和团队协作精神。然而，在实际教学过程中仍存在一些不足之处，如部分学生对空间向量的应用掌握不够熟练等，需要在今后的教学中进一步加强练习和巩固。 名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq \o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq \o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b空间向量的运算加法eq \o(OB,\s\up8(→))＝eq \o(OA,\s\up8(→))＋eq \o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq \o(CA,\s\up8(→))＝eq \o(OA,\s\up8(→))－eq \o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c
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