高考数学复习拓展提升课三　对称性与周期性的二级结论（导学案）

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培优增分 拓展提升课三 对称性与周期性的二级结论
【结论总结】
一、函数的对称性相关结论
1.同一个函数的自身对称
结论❶:若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)或f(x)=f(a+b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.
[说明]轴对称问题:
若函数f(x)关于x=a对称,可得到如下结论中任意一个:f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)f(-x)=f(2a+x)
结论❷:若函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称.反之亦成立.
特别地,当a=b=0时,变为:若函数y=f(x)满足f(x)=-f(-x),则函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即为奇函数的性质.
[说明]点对称问题:
若函数f(x)关于(a,0)对称,可得到如下结论中任意一个:f(a+x)=-f(a-x)f(x)=-f(2a-x)f(-x)=-f(2a+x)
2.同一“f”下,两个不同函数的对称
结论❸:函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b+a2成轴对称.
结论❹:函数y=f(x)与y=-f(2a-x)+2b的图象关于点A(a,b)成中心对称.
二、函数周期性的结论
1.函数周期性的常用结论
结论❺:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;
结论❻:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;
结论❼:若f(x+a)+f(x)=c(a≠0),则f(x)的一个周期为2a;
结论❽:若f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),
则f(x)的一个周期为6a;
结论❾:若f(x+a)=1f(x),则f(x)的一个周期为2a;
结论:若f(x+a)=-1f(x),则f(x)的一个周期为2a.
2.由对称性推得周期
结论:若函数y=f(x)的图象同时关于直线
x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.
结论:若函数y=f(x)的图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.
结论:若函数y=f(x)的图象关于点A(a,c)成中心对称,又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.
[记法]两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差.
【结论应用】
[典例1]函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则下列正确的是( D )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x+1)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
解析：函数f(x+1)的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到的,由f(x+1)是奇函数,可知f(x+1)的对称中心是(0,0),从而f(x)的对称中心是(1,0),又因为f(x-1)是奇函数,从而f(x)的对称中心是(-1,0),由结论12可知,f(x)是周期函数,其周期是
T=2[1-(-1)]=4,于是f(x+3)=f(x-1),由已知f(x-1)是奇函数,故f(x+3)是奇函数.
[典例2]设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间0,7上只有f(1)=f(3)=0,则方程f(x)=0在闭区间-2 023,2 023上根的个数为( C )
A.806 B.807
C.810 D.811
解析：因为f(2-x)=f(2+x),由结论1可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,
又f(7-x)=f(7+x),同理可得f(x)的图象关于直线x=7对称.
由结论11得,f(x)是周期函数,其周期为T=2×(7-2)=10,
因为f(1)=f(3)=0,所以f(11)=f(13)=0,f(-9)=f(-7)=0.
故f(x)=0在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知在[0,2 023]上有406个解,在[-2 023,0]上有404个解.所以方程f(x)=0在闭区间-2 023,2 023上根的个数为810.
[典例3]已知函数f(x)的定义域为R,满足f(1+x)=f(1-x),f(x)=-f(4-x),若f(1)=2,则∑k=12 024f(k)=( B )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析：因为f(1+x)=f(1-x),由结论1可知,函数f(x)的图象关于x=1对称,又
f(x)=-f(4-x),由结论2可知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称.由结论13可知,函数的周期T=4×|2-1|=4.由f(1)=2,可得f(3)=-f(1)=-2.令x=2,得f(2)=-f(2),解得f(2)=0,
f(4)=-f(0)=0.所以一个周期内f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0,
因为2 024=506×4,所以∑k=12 024f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.
[典例4](2021·全国高考)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则( B )
A.f(-12)=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
解析：f(x+2)为偶函数,所以其图象关于x=0对称,则函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(2x+1)为奇函数,所以其关于(0,0)对称,
通过函数图象变换,可以得到f(2x)关于(12,0)对称,进而f(x)关于(1,0)对称.
由结论13可得,函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
又f(x)关于(1,0)对称.
由结论2可得,f(-x)=-f(2+x),
所以f(-1)=-f(3)=-f(3-4)=-f(-1),
所以2f(-1)=0,解得f(-1)=0.