人教版八年级下册18.2.2 菱形巩固练习

 菱形  八年级数学下学期期末复习专练

一、单选题

1．（2022春·天津滨海新·八年级统考期末）在菱形中，对角线，相交于点，，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（    ）

A．24 B．18 C．12 D．10

2．（2022春·天津津南·八年级统考期末）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=17，AO=8，则菱形的面积为（  ）

A．48 B．96 C．120 D．240

3．（2022春·天津南开·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（    ）

A．2.4 B．4.8 C．10 D．9.6

4．（2022春·天津东丽·八年级统考期末）如图，菱形中,，则（　　）

A． B． C． D．

5．（2022春·天津滨海新·八年级统考期末）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

6．（2022春·天津·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20 B．24 C．40 D．48

二、填空题

7．（2022春·天津北辰·八年级统考期末）如图，四边形OABC是菱形，AC＝6，OB＝8，则顶点C的坐标是 _____．

8．（2022春·天津津南·八年级统考期末）在如图所示的6×4网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均落在格点上．

（1）AB的长等于___________；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为边的菱形ABCD，并简要说明画图的方法（不要求证明）_____________________．

9．（2022春·天津河北·八年级统考期末）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为_______cm2．

三、解答题

10．（2022春·天津西青·八年级统考期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若，，求和的长．

11．（2022春·天津河西·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．

(1)求对角线AC的长；

(2)求EF的长．

12．（2022春·天津南开·八年级统考期末）如图，点是菱形对角线的交点，，连接．

(1)求证：；

(2)如果，，求四边形的周长．

13．（2022春·天津·八年级校联考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作交CD延长线于点N．

(1)求证：四边形MNDO是平行四边形；

(2)当AB，BD满足 条件，四边形MNDO是菱形；当AB，BD满足 条件，四边形MNDO是矩形．

14．（2022春·天津滨海新·八年级统考期末）如图，在菱形中，点在边上，与相交于点，连接．求证：．

15．（2022春·天津北辰·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

参考答案：

1．A

【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．

【详解】解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 则BD=8，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC=DE=6，  

BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形，  

∴S△BDE=DE•BD=24．

故选：A．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．

2．D

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可以求菱形ABCD的面积．

【详解】如图：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB = 90°

∴

又∵AC= 2OA= 16， BD= 2OB = 30．

菱形ABCD面积=×16×30=240．

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求BO的值是解题的关键．

3．D

【分析】设与的交点为点，先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用菱形的面积公式即可得．

【详解】解：如图，设与的交点为点，

在菱形中，，，

，

，

又，

，即，

解得，

故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．

4．D

【分析】根据菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°．

【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°，∴AB∥CD，∠BAD=2∠1，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=180°﹣150°=30°，∴∠1=15°．

故选D．

【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．

5．B

【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，

当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，

当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，

当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，

当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．

故选B．

6．A

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．

【详解】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，

则AB==5，

故这个菱形的周长L=4AB=20．

故选A．

【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．

7．

【分析】设、交于点，先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，由此即可得．

【详解】解：如图，设、交于点，

四边形是菱形，，，

，，，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题关键．

8．          取格点C，D，连接BC，CD，AD

【分析】（1）利用勾股定理计算即可；

（2）根据菱形的判定作出图形即可．

【详解】解：（1）

故答案为：；

（2）如图，取格点C，D，连接BC，CD，AD，四边形ABCD即为所求

故答案为：取格点C，D，连接BC，CD，AD．

【点睛】本题考查作图一复杂作图，勾股定理，菱形的判定等知识，解题的关键是正确地作出图形．

9．24

【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求其面积即可．

【详解】解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；

故答案为24．

【点睛】本题考查的是菱形的面积的计算，掌握“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解本题的关键.

10．(1)证明见详解

(2)，

【分析】（1）根据菱形的性质可得点O是AC的中点，再利用中位线性质可得，进而可证四边形OEFG是平行四边形，进而可求证结论．

（2）根据菱形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质即可求解OE和DE，进而可得GF，在利用勾股定理即可求得DF，进而可求解．

(1)

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴点O是AC的中点，

又∵E是AD的中点，

∴OE是△ACD的中位线，

∴,

又∵，

∴四边形OEFG是平行四边形，

又∵，

∴∠EFG=90°，

∴四边形是矩形．

(2)

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠AOD=90°，AD=CD=10，

又∵点E是的中点，

∴，

∴，

在Rt△DEF中，∠EFD=90°，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定及性质、勾股定理的应用、中位线及直角三角形斜边的中线的性质，熟练掌握矩形的判定及性质结合勾股定理的应用是解题的关键．

11．(1)2

(2)

【分析】（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再证△ABC是等边三角形即可；

（2）由三角形中位线定理得EF=BD，再由菱形的性质得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾股定理解答即可．

（1）解： 四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等边三角形∴．

（2）解：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴是中位线，∴．又∵四边形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（负舍）∴∴．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．

12．(1)证明见解析

(2)34

【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，然后根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后根据矩形的性质即可得证；

（2）先根据菱形的性质可得，，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用矩形的周长公式即可得．

(1)

证明：，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形，

，

∴∠COB=90°

平行四边形是矩形，

．

(2)

解：四边形是菱形，，

，，

，

，

，

由（1）已证：四边形是矩形，

则四边形的周长为．

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．

13．(1)见解析

(2)；

【分析】（1）证明OM是△ACD的中位线，可得OM//DN，又MN∥BD，即可得四边形MNDO是平行四边形；

（2）四边形MNDO是菱形，只需OM=OD，可知AB=BD；四边形MNDO是矩形，只需∠MOD=90°，可知AB⊥BD．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，又点为的中点，

∴，即，

又∵，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：由（1）知四边形MNDO是平行四边形，若四边形MNDO是菱形，只需OM=OD，

而OM=CD=AB，OD=BD，

∴AB=BD时，四边形MNDO是菱形；

若四边形MNDO是矩形，只需∠MOD=90°，

而∠MOD=∠ABD，

∴∠ABD=90°时，四边形MNDO是矩形，

∴AB⊥BD，四边形MNDO是矩形．

故答案为: AB=BD, AB⊥BD．

【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定及菱形、矩形的判定，解题的关键是掌握并能熟练应用平行四边形、菱形、矩形的判定定理．

14．见解析

【分析】根据菱形的性质，证明，可得，由平行线的性质可得，等量代换可得．

【详解】证明：四边形是菱形，

，

在与中

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．

15．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.

【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．

【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，

∴点O为BD的中点，

∵点E为AD中点，

∴OE为△ABD的中位线，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形

∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．

(2)∵点E为AD的中点，AD=10，

∴AE=

∵∠EFA=90°，EF=4，

∴在Rt△AEF中，．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD=10，

∴OE=AB=5，

∵四边形OEFG为矩形，

∴FG=OE=5，

∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．

故答案为：OE=5，BG=2．

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．