中考数学专题复习 几何常见问题专练 专练二 几何问题常见类型练习题(含解析)
展开类型一 中点类
1.(2018宁波)如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE,若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,连接MN,若AB=8,MN=3,则AC的长是( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN的长度为( )
A. 2 B. eq \f(5,2) C. eq \f(1,3) D. eq \f(12,5)
4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16,则S△DEF=( )
A. 2 B. 8 C. 4 D. 1
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图,在周长为20的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
6.如图,AB是半圆O的直径,△ABC的两边AC,BC分别交半圆于点D,E,且点E为BC的中点,已知∠BAC=50°,则∠C=________.
7.(6分)如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证:AC=BE.
第7题图
类型二 角平分线类
8.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
第8题图
9.如图,已知△ABC的周长是20,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
第9题图 第10题图
10.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P在边AB上,∠CPB的平分线交边BC于点D,DE⊥CP于点E,DF⊥AB于点F.当△PED与△BFD的面积相等时,BP的值为( )
A.eq \f(16,5) B.eq \f(25,16) C.eq \f(5,2) D.eq \f(39,10)
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC的平分线交边AC于点D,则CD=________.
第11题图 第12题图 第13题图
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB与∠CAB的平分线交于点P,PD⊥AB于点D,若△APC与△APD的周长差为eq \r(2),四边形BCPD的周长为12+eq \r(2),则BC等于________.
13.(2019永州)已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示,若DE=2,则DF=________.
14.(6分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为点E,BF∥AC交ED的延长线于点F,BC平分∠ABF.
求证:DE=DF.
第14题图
类型三 截长补短类
15.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,则下列说法正确的是( )
A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE
C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE
第15题图 第16题图
16.如图,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,则∠AEB的度数是____________.
17.(6分)如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证:AE=CN+EN.
第17题图
18.(8分)如图,正方形ABCD中,P在对角线BD上,E在CB的延长线上,且PE=PC,过点P作PF⊥AE于点F,直线PF分别交AB、CD于点G、H.
(1)求证:DH=AG+BE;
(2)若BE=1,AB=3,求PE的长.
第18题图
专练二 几何问题常见类型
类型一 中点类
1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.65°
7.证明:如解图,延长AD至G,使DG=AD,连接BG,
在△BDG和△CDA中,∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD=CD,∠BDG=∠CDA,DG=DA)),
∴△BDG≌△CDA(SAS).
∴BG=AC,∠CAD=∠G.·············(3分)
又∵AF=EF,∴∠CAD=∠AEF.
又∠BEG=∠AEF,
∴∠CAD=∠BEG.
∴∠G=∠BEG.∴BG=BE.
∴AC=BE.···········(6分)
第7题解图
类型二 角平分线类
8.D 【解析】如解图,作DF⊥AC于点F,∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=4,∵S△ADB+S△ADC=S△ABC,∴eq \f(1,2)×4×7+eq \f(1,2)×4·AC=24,∴AC=5.
第8题解图
9.C 10.D 11.eq \f(4,3) 12.6 13.4
14.证明:∵BF∥AC,
∴∠C=∠CBF,
∵BC平分∠ABF,
∴∠ABC=∠CBF.
∴∠C=∠ABC.
∴AB=AC.···········(2分)
∴△ABC是等腰三角形
又∵AD是△ABC的角平分线,
∴BD=CD,AD⊥BC.
在△CDE与△BDF中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DCE=∠DBF,CD=BD,∠EDC=∠FDB)),
∴△CDE≌△BDF(ASA).···········(5分)
∴DE=DF.···········(6分)
类型三 截长补短类
15.C 16.90°
17.证明:如解图,在AE上截取AM=CN,连接CM,
∵∠BCA=90°,CN⊥AE,
∴∠1+∠NCA=90°,∠NCA+∠2=90°.
∴∠1=∠2.
在△ACM和△CBN中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC=CB,,∠1=∠2,,AM=CN,))
∴△ACM≌△CBN.
∴CM=BN,AM=CN,∠ACM=∠B=45°.
∴∠MCE=45°.
∴∠B=∠MCE.···········(3分)
在△MCE和△NBE中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CM=BN,,∠MCE=∠B,,CE=BE,))
∴△MCE≌△NBE(SAS).
∴EM=EN.
∴AE=AM+EM=CN+EN.······················(6分)
第17题解图
18.(1)证明:如解图,在DC上截取DM=BE,连接AM,
第18题解图
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABE=∠ADM=90°,AB=AD.
∵在△ABE和△ADM中
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=AD,,∠ABE=∠ADM,,BE=DM,))
∴△ABE≌ADM(SAS).
∴∠1=∠2.
∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°.
即AM⊥AE.···········(2分)
又∵PF⊥AE于点F,∴AM∥FH.
又∵AB∥CD,∴四边形AGHM是平行四边形.
∴AG=MH.
∵DH=DM+MH,
∴DH=AG+BE; ···········(4分)
(2)解:如解图,连接AP.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°.
∵在△ABP和△CBP中
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=CB,,∠ABP=∠CBP,,BP=BP,))
∴△ABP≌△CBP(SAS).
∴PA=PC,∠3=∠4.···········(5分)
∵PE=PC,
∴PA=PE.
∵PE=PC,
∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
又∵∠ANP=∠ENB,∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°.
∴AP⊥PE,即△APE是等腰直角三角形.
∵BE=1,AB=3,
∴AE=eq \r(12+32)=eq \r(10).
∴PE=eq \f(AE,\r(2))=eq \f(\r(10),\r(2))=eq \r(5).(8分)
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