中考数学压轴题37

每周两题（十二）

1．已知抛物线，，为常数，且与轴交于，两点（点在点的左侧）．

（1）当，且时，求，两点的坐标（可用含的式子表示）；

（2）若抛物线与轴交于点，当是直角三角形时，求的值；

（3）若抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于，直线与抛物线交于、两点在的左侧），过点且与轴平行的直线与直线相交于点，判断点的纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

2．如图，是圆的内接三角形，连结并延长交于点，设，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求证；

（3）若弧长是周长的，，求．

1．已知抛物线，，为常数，且与轴交于，两点（点在点的左侧）．

（1）当，且时，求，两点的坐标（可用含的式子表示）；

（2）若抛物线与轴交于点，当是直角三角形时，求的值；

（3）若抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于，直线与抛物线交于、两点在的左侧），过点且与轴平行的直线与直线相交于点，判断点的纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）由，可得，；

（2）设，，，，则，是的两个实数根，有，而是直角三角形，有，可得；

（3）由抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于得，设直线与抛物线交于点，、，，则，，设直线的解析式为，将，，代入，得直线的解析式为，当时，，即得．

【解答】

解：（1）当，时，，

令得，

，

或，

，点在点的左侧，

，；

（2）在中，令得，

，

设，，，，则，是的两个实数根，有，

是直角三角形，

，

即，

整理变形得，

，

，

，

或，

当时，不能构成，故不符合题意，舍去，

；

（3）点的纵坐标为一个定值，理由如下：

抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于，

抛物线顶点为，

设抛物线解析式为，把代入得：

，

解得，

，

设直线与抛物线交于点，、，，

，

整理得：，

，，

设直线的解析式为，将，，代入，

得：，解得：，

直线的解析式为，

当时，

，，

，

故对于每个给定的实数，点的纵坐标均为定值．

【点评】本题考查二次函数综合应用，考查了待定系数法，一次函数与抛物线交点坐标，一元二次方程根与系数关系，直角三角形性质，二次函数最值运用等知识，涉及知识点多，综合性强，难度较大．

2．如图，是圆的内接三角形，连结并延长交于点，设，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求证；

（3）若弧长是周长的，，求．

【分析】（1）连接，由，得，根据，即得是等边三角形，故；

（2）延长交于，连接，用两种方法表示，列方程变形即可得证明；

（3）过作于，作于，由弧长是周长的，可得，从而可证、、是等腰直角三角形，根据，可得，，设，在中，，在中，，在中，，在中，，即可得．

【解答】

解：（1）连接，如图：

，

，

，

是等边三角形，

；

（2）延长交于，连接，如图：

为直径，

，即，

中，，，

，即，

，

；

（3）过作于，作于，如图：

弧长是周长的，

，

是等腰直角三角形，，，

、是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

设，

在中，，

在中，，

在中，，

在中，，

．

【点评】本题考查圆的性质及综合应用，涉及等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是用含的代数式表示和的长度．

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