中考数学压轴题59

2022—2023学年中考金榜预测卷A

1（3分）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 　3　．

【分析】连接PC，由△ABC是等边三角形，AD是中线，则AD⊥BC，所以PC＝PB，在△PCE中，CP﹣PE＜EC，即CP﹣PE＜3，当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，BP﹣PE的最大值是3．

【解答】解：如图，连接PC，

∵△ABC是等边三角形，AD是中线，

∴AD⊥BC，

∴PC＝PB，

∵E是AC边的中点，AB＝6，

∴EC＝3，

在△PCE中，CP﹣PE＜EC，

∴CP﹣PE＜3，

∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，

BP﹣PE的最大值是3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是根据三角形两边之差小于第三边得到CP﹣PE＜EC．

2（10分）如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标．

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长．

（3）是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）在直线yx+2中，分别令y＝0和x＝0，容易求得A、B两点坐标；

（2）由OA、OB的长可求得∠ABO＝30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；

（3）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG＝90°，又∠AFG＝∠OAF＝60°，由（2）可知AF＝4﹣2t，EF＝t，又由二次函数的对称性可得到EG＝2OA＝4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．

【解答】解：（1）在直线yx+2中，

令y＝0，得：x+20，

解得：x＝2，

令x＝0，得：y＝2，

∴A（2，0），B（0，2）；

（2）由（1）可知OA＝2，OB＝2，

∴tan∠ABO，

∴∠ABO＝30°，

∵运动时间为t秒，

∴BEt，

∵EF∥x轴，

∴在Rt△BEF中，EF＝BE•tan∠ABOBE＝t，BF＝2EF＝2t，

在Rt△ABO中，OA＝2，OB＝2，

∴AB＝4，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t；

（3）存在．

∵EG∥x轴，

∴∠GFA＝∠BAO＝60°，

∵G点不能在抛物线的对称轴上，

∴∠FGA≠90°，

∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG＝90°，

又∠FGA＝30°，

∴FG＝2AF，

∵EF＝t，EG＝4，

∴FG＝4﹣t，且AF＝4﹣2t，

∴4﹣t＝2（4﹣2t），

解得：t，

即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，

此时OE＝OB﹣BE＝2t＝2，

∴E点坐标为（0，），

∵抛物线的顶点为A，

∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，

把E点坐标代入可得：4a，

解得：a，

∴抛物线解析式为y（x﹣2）2，

即yx2x．

【点评】本题为二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；在（2）中求得∠ABO＝30°是解题的关键，在（3）判断出∠FAG为直角是解题的突破口，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

3（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；

（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．

【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x+c得到方程组求解即可；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．

（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．

【解答】解：（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，

如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，

由翻折得AB′＝AB＝4，

在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H2，

∴点B′的坐标为（1，2），

设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，

则：，解得：，

∴直线AG解析式为yx，

∴D（1，），

∴B′D＝2，

∴S△AB′G＝S△AB′D+S△GB′D

•B′D•2•B′D•（t﹣1）

•B′D•（t+1）

（2）（t+1）

（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）

＝﹣t2+（2）t+3，

∵﹣1＜0，

∴当t时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）；

（3）存在．

取（2）中的点B′，B，连接BB′，

∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，

∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：

①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．

∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，

∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，

∴∠ABQ＝∠B′BP，

∴△ABQ≌△B′BP（SAS），

∴AQ＝B′P．

∵点Q在抛物线的对称轴上，

∴AQ＝BQ，

∴B′P＝BQ＝BP，

又∵AB′＝AB，

∴AP垂直平分BB′，

由翻折可知AC垂直平分BB′，

∴点C在直线AP上，

设直线AP的函数表达式为y＝k1x+b1，

则，解得：，

∴直线AP的函数表达式为yx．

②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．

∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，

∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．

∴∠ABP＝∠B′BQ，

∴△ABP≌△B′BQ（SAS），

∴∠BAP＝∠BB′Q，

∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，

∴∠BB′Q∠BB′A＝30°，

∴∠BAP＝30°，

设AP与y轴相交于点E，

在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1，

∴点E的坐标为（0，）．

设直线AP的函数表达式为y＝mx+n，

则，解得：，

∴直线AP的函数表达式为yx．

综上所述，直线AP的函数表达式为yx或yx．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度