中考数学压轴题56

2022年初中数学

1、如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ）

A. 1 B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．

【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则

设 则

而当时，则

∴的最小值是8，

∴的最小值是

故选：C．

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．

2、 如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．

【详解】解：∵点、分别是边、的中点，

连接MN，则四边形ABNM是矩形，

∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，

根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴

∴

∴

当点E与点A重合时，则NF=，

∴BF=BN+NF=4+2=6，

∴AB=BF=6

∴是等腰直角三角形，

∴

∵BP⊥AF，

∴

由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，

∴∠PON=90°，

又

∴，

∴，

∴的长为=

故答案为：

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．

3、某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．

（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为     元；乙超市的购物金额为     元；

（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？

【答案】（1）300，240   

（2）当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择乙超市更优惠，当时，选择甲超市更优惠．

【解析】

【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；

（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当时， 显然此时选择乙超市更优惠，当时 再分三种情况讨论即可．

【小问1详解】

解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；

∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），

∵乙超市全部按标价的8折售卖，

∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），

故答案：

【小问2详解】

设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得

当时，

显然此时选择乙超市更优惠，

当时，

当时，则 解得：

∴当时，两家超市的优惠一样，

当时，则 解得：

∴当时，选择乙超市更优惠，

当时，则 解得：

∴当时，选择甲超市更优惠．

【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．

4、 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．

【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．

在Rt△ABC中，

在Rt△CDE中，         ，

所以．

所以∠=∠．

因为∠ ∠ =∠ =90°，

所以∠ +∠ =90°，

所以∠ =90°，

即⊥．

（1）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：

（2）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．

【答案】（1）；见解析   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）取BM的中点Q，作射线OQ交于点P，点P即为所求作，利用全等三角形的判定和性质证得MO=BO，再利用等腰三角形的性质即可证明；

（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．

【小问1详解】

解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．

在Rt△ABC中，

在Rt△CDE中，，

所以．

所以∠=∠．

因为∠ ∠ =∠ =90°，

所以∠ +∠ =90°，

所以∠ =90°，

即⊥．

故答案为：；

取BM的中点Q，作射线OQ交于点P，点P即为所求作；

证明：在△OGM和△OHB中，

OG=OH=1，∠OGM=∠OHB=90°，MG=BH=3，

∴△OGM≌△OHB，

∴MO=BO，

∵点Q是BM的中点，

∴OQ平分∠MOB，即∠POM=∠POB，

∴=；

【小问2详解】

解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；

证明：作直径AN，连接BM、MN，

在Rt△FMI中，，

在Rt△MNA中，，

所以．

∴∠FMI=∠MNA，

∵∠B=∠MNA，

∴∠AMP=∠B，

∵∠PAM=∠MAB，

∴△PAM∽△MAB，

∴，

∴=·．

【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

5、 如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．

（1）求二次函数的表达式；

（2）①求证：；

②求；

（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标．

【答案】（1）   

（2）①证明见解析，②   

（3）或．

【解析】

【分析】（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式；

（2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论；

②由，得到，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值；

（3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案．

【小问1详解】

解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，

∴代入 (0，0)， (4，0)得，，

解得：，

∴二次函数的表达式为；

【小问2详解】

①证明：∵ ＝，

∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，

∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，

∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，

∴∠CAB＝∠COD，

∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，

∴ △ABC≌△BC，

∴∠CAB＝∠，AB＝B，

∴∠COD＝∠，

∵∠ODC＝∠BD，

∴；

②∵，

∴，

设点D的坐标为（d，0），

由两点间距离公式得DC＝，

∵点与、点不重合，

∴0＜d＜4，

对于 ＝来说，

∵ a＝1＞0，

∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，

∴当d＝2时，DC有最小值为，

由两点间距离公式得OC＝，

∴有最小值为，

∴的最小值为；

【小问3详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴ ，

∵OC＝2，

∴B＝AB＝1，

∴点B的坐标是（3，0），

设直线BC的解析式为y＝x＋，

把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得，

解得，

∴直线BC的解析式为y＝2x－6，

设点的坐标是（p，q），

∴线段A的中点为（，），

由折叠的性质知点（，）在直线BC上，

∴＝2×－6，

解得q＝2p－4，

由两点间距离公式得B＝，

整理得＝1，

解得p＝2或p＝，

当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，

当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，

设直线的解析式为y＝x＋，

把点B（3，0），（，）代人得，，

解得，

∴直线的解析式为y＝x＋4，

联立直线和抛物线得到，，

解得，，

∴直线与二次函数的交点横坐标为或．

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．