中考数学压轴题4

4．△ABC 中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD 为 AB 边上的高．如图 1，A 在原点处，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限．若 A 从原点出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动，则点 B 随之沿 y 轴下滑，并带动△ABC 在平面上滑动．如图 2，设运动的时间为 t 秒，当 B 到达原点时停止运动．当以点 C 为圆心、CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求 t 的值．

图 1 图 2

4．（1）在 Rt△ACD 中，AC＝5，AD＝4，所以 CD＝3．

①如图 1，当与 x 轴相切于时，CA⊥x 轴．此时 CA//BO，∠1＝∠A．

在 Rt△AOB 中，AB＝8，所以OA  AB  sin 1  8  3  24 ．此时t  24 ．

5 5 5

②如图 2，当与 y 轴相切于时，CB⊥y 轴．此时 BC//OA，∠2＝∠B．

在 Rt△AOB 中，AB＝8，所以OA  AB  cos2  8  4  32 ．此时t  32 ．

5 5 5

第 4 题图 1 第 4 题图 2

10．（2014 年上海市长宁区中考模拟第 24 题）

如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是等腰梯形，其中 OA＝AB＝BC＝4，

tan BCO  3 ．

（1）  求经过 O、B、C 三点的二次函数的解析式；

（2）  若点 P 在第四象限，且△POC 与△AOB 相似，求满足条件的所有点 P 的坐标；

（3）  在（2）的条件下，若⊙P 与以 OC 为直径的⊙D 相切，请直接写出⊙P 的半径．

10．（1）如图 1，作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足分别为 M、N，那么 OM＝CN，AM＝BN，AB＝MN．

在 Rt△BCN 中，由tan BCO 

3 ，BC＝4，

得∠BCO＝60°，CN＝2， BN  2 3 ． 所以 OC＝8，ON＝6．

所以点 C 的坐标为(8, 0)，点 B 的坐标为(6, 2  3) ． 第 10 题图 1

因为抛物线与 x 轴交于 O、C(8, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－8)，

代入点 B(6, 2  3) ，得12a  2  3 ．解得a  ．

6

所以抛物线的解析式为 y   3 x(x  8)   3 x2  4 3 x ．

6 6 3

（2）  如图 2，△AOB 是顶角为 120°的等腰三角形，如果△POC 与△AOB 相似，那么

△POC 也是顶角为 120°的等腰三角形，存在两种情况：

①如图 2，当 PO＝PC 时，在Rt△POD 中，OD＝4，∠OPD＝60°，

所以 PD  ．此时点 P 的坐标为(4,  4 3 ) ．

3

②如图 3，延长 BC 到 P，使 CP＝CO，作 PH⊥x 轴于 H．

在 Rt△CPH 中，CP＝8，∠PCH＝60°，所以 CH＝4， PH  4 3 ．

此时点 P 的坐标为(12, 4 3) ．

第 10 题图 2 第 10 题图 3

（3）  ①如图 2，⊙D 的半径为 4，圆心距 PD＝ 433 ． 两圆内切，⊙P 在⊙D 内时，⊙P 半径为4               ；

两圆内切，⊙D 在⊙P 内时，⊙P 半径为4  ．

②如图3，在Rt△PDH 中，DH＝8，PH  4   3 ，所以圆心距 PD   4 ．

两圆内切时，⊙P 半径为4 7  4 ；两圆外切时，⊙P 半径为4 7  4 ．

9．（2014 年北京市丰台区中考模拟第 25 题）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋c 与 x 轴交于点 A(－2,0)和点 B，与 y 轴

交于点 C(0,  2 )，线段 AC 上有一动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C

移动，线段 AB 上有另一个动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动， 两动点同时出发，设运动时间为 t 秒．

（1）  求该抛物线的解析式；

（2）  在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以 A、P、Q 为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在，请求出对应的 t 的值；如果不存在，请说明理由；

（3） 
在 y 轴上有两点 M（0,  m）和 N（0,  m＋1），若要使得 AM＋MN＋NP 的和最小，请直接写出相应的 m、t 的值以及 AM＋MN＋NP 的最小值．

9．（1）因为抛物线 y＝ax2＋c 的顶点为 C(0,   2 )，所以 y  ax2  2   3 ．

代入点 A(－2,0)，得4a  2

 0 ．解得 a  ．

2

所以抛物线的解析式为 y  

3 x2  2 ．

2

（2）在 Rt△AOC 中，OA＝2，OC＝ 2 ，所以 AC＝4，∠A＝60°．

AP＝t，AQ＝4－2t，△APQ 与△AOC 相似，存在两种情况：

①如图 1，当 AP  AO 时，

AQ AC

②如图 2，当 AP  AC 时，

AQ AO

t

4  2t t

4  2t

 1 ．解得 t＝1．

2

 2 ．解得t  8 ．

5

第 9 题图 1 第 9 题图 2

（3）AM＋MN＋NP 的最小值为2

 1 ，此时m  2 3 ， t  2  3 ．这是因为：

2 3 2

如图 3，当 NP⊥AC 时，NP 最小，设 NP 关于 CO 的对应线段为 NP′． 以 NP′、NM 为边构造平行四边形 NP′EM，那么 NP′＝ME．

如图 4，在△AME 中，AM＋ME＞AE．

如图 5，当 A、M、E 三点共线时，AM＋ME 取得最小值，也就是 AM＋NP 取得最小值，

此时 AE 与 BC 垂直．设垂足为 F，恰好 EF＝ 1 P ' E  1 NM  1 ．

2 2 2

所以 AM＋MN＋NP 的最短路径如图 5 所示．

第 9 题图 3 第 9 题图 4 第 9 题图 5

10．（2014 年从化市中考模拟第 25 题）

如图 1，射线 AM//BN，∠A＝∠B＝90°，点 D、C 分别在 AM、BN 上运动（点 D 不与 A 重合、点 C 不与 B 重合），E 是 AB 边上的动点（点 E 不与 A、B 重合），在运动过程中始终保持 DE⊥EC，且 AD＋DE＝AB＝a．

（1）                    求证：△ADE∽△BEC；

（2）  设 AE＝m，请探究：△BEC 的周长是否与 m 的值有关，若有关，请用含有 m 的代数式表示△BEC 的周长；若无关，请说明理由．

10．（1）如图 1，因为∠1、∠2 都与∠3 互余，所以∠1＝∠2,．又因为∠A＝∠B，所以△ADE∽△BEC．

（2）由 AD＋DE＝AB＝a，AE＝m，得△ADE 的周长为 a＋m，BE＝a－m． 设 AD＝x，那么 DE＝a－x．

2 2 2

a2  m2

在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得(a－x) ＝m ＋x ．解得 x  ．

2a

由△ADE∽△BEC，

得△ADE 的周长∶△BEC 的周长＝AD∶BE．

a2  m2

所以(a＋m)∶△BEC 的周长＝

∶(a－m)．

2a

a2  m2

所以△BEC 的周长＝(a＋m)(a－m)∶

2a

＝2a．

所以△BEC 的周长是定值，与 m 的值无关．

第 10 题图 1