中考数学压轴题61

这是一份中考数学压轴题61，共57页。试卷主要包含了〖真题回顾〗，〖押题冲关〗，〖考前预测〗等内容，欢迎下载使用。

押中考数学第8-9题（函数性质及探究）
知识点一：函数的性质及探究
模块一 〖真题回顾〗
1．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)），下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是−1⩽x<3；④点−2,y1，2,y2都在抛物线上，则有y1<0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出y1=4a−2b+c，y2=4a+2b+c，结合①②的结论即可判断出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时，a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴将b=−2a代入a−b+c=0，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有−1 ∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时，y1=4a−2b+c，
当x=2时，y2=4a+2b+c，
∵b=−2a，3a+c=0，a<0，
∴y1=4a−2−2a+−3a=5a＜0，y2=4a+2−2a+−3a=−3a＞0，
∴y1＜0＜y2，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
2．（2022·山东济南·统考中考真题）抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点Mm−1,y1，Nm+1,y2为图形G上两点，若y1 A．m<−1或m>0 B．−12 【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式y=−x2+2mx−m2+2变形为：y=2−(x−m)2，
即抛物线对称轴为x=m，
当x=m-1时，有y=2−(m−1−m)2=1，
当x=m+1时，有y=2−(m+1−m)2=1，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有y=2−(0−m)2=2−m2，
∴C点坐标为(0,2−m2)，
当x=m时，有y=2−(m−m)2=2，
∴抛物线顶点坐标为(m,2)，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为y=2−m2，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，

由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有y1=y2=1，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，

由图可知此时M、N点满足y1=y2，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足y1＜y2，
∴此时符合题意；
此时由图可知：m−1＜0＜m+1，
解得−1＜m＜1，
综上所述：m的取值范围为：−1＜m＜1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
3．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（    ）
①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(−4,−2)；④BD=63；⑤矩形ABCD的面积为242．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定得出△EOB∽△EFA，利用相似三角形的性质及已知OE，EF的值即可判断结论①；由①分析得出的条件，结合相似三角形、矩形的性质（对角线）即可判断结论②；根据直角坐标系上点的表示及结论①OA=3AF，利用勾股定理建立等式求解可得点A坐标，再根据关于原点对称的点的坐标得出点D坐标，即可判断结论③；由③可知AF=2，进而得出OA的值，根据矩形的性质即可判断结论④；根据矩形的性质及④可知BD=62，利用三角形的面积公式求解即可判断结论⑤．
【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A在第一象限，AF⊥x轴，垂足为F，
∴∠EOB=∠EFA=90°,AC=BD，OD=OA=OB=OC．
∵∠AEF=∠BEO，
∴△EOB∽△EFA．
∵OE=3，EF=1，
∴EFEO=AFOB=AFOA=13，即OA=3AF．（①符合题意）
∵OA=OB，△EOB∽△EFA，
∴∠OAB=∠OBA，∠EAF=EBO．
∴∠OAB=∠EAF．
∴AE平分∠OAF．（②符合题意）
∵OF=OE+EF=3+1=4，
∴点A的横坐标为4．
∵OA=3AF，
∴9AF2−AF2=OF2，即8AF2=16．
∴AF=2，点A的纵坐标为2．
∴A(4,2)．
∵点A与点C关于原点对称，
∴C(−4,−2)．（③符合题意）
∵OA=3AF=32，
∴BD=OD+OB=2OA=62．（④不符合题意）
∵S矩形ABCD=S△BCD+S△BAD=2S△BAD，
∴S矩形ABCD=2×12×62×4=242．（⑤符合题意）
∴结论正确的共有4个符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形与坐标的综合应用．涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角坐标系上点的表示，关于原点对称的点的坐标，三角形的面积公式等知识点．矩形的对角线相等且互相平分；两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边成比例；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点位P'(−x,−y)．灵活运用相关知识点，通过已知条件建立等式关系是解本题的关键．
4．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ）

A．4 【答案】A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得C2,2,A4,0,B4+2,2，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则0=4k+b2=4+2k+b 解得：k=1b=−4
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则0=4m+n2=2m+n 解得：m=22−4n=−422−4
∴直线AC的解析式为：y=22−4x−422−4，
∴x=4+y−22y，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：4+y−22y，
∴EF=y+4−4+y−22y=22y，
∵EP=3PF，
∴PF=14EF=22y，
∴点P的横坐标为：y+4−22y，
∵0 ∴4 ∴4 故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
5．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，

在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝12BC＝2，AM＝3BM＝23，
∴S△ABC＝12BC•AM＝43，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，

由题意可得CD＝x，DG＝3x
∴S＝12CD•DG＝32x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，

由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝3（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝43﹣12×（4﹣x）×3（4﹣x），
∴S＝﹣32x2+43x﹣43＝﹣32（x﹣4）2+43，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，

由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣12x
在Rt△BGM中，GM＝3（4﹣12x），
∴S＝12BE•GM＝12（8﹣x）×3（4﹣12x），
∴S＝34（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．
6．（2022·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（    ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知a>0，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知{a+b+c=0c=−3，解得a+b=3，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=−1的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），−3<−1<0，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=−1的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．
7．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x和y=k2x的图象上，若∠BCD=60°，则k1k2的值为（   ）

A．3 B．23 C．−33 D．−13
【答案】D
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=12∠BCD=30°，解直角三角形求得tan30°=OBOC=33，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到SΔBOMSΔCON=(OBOC)2，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
【详解】解：连接AC、BD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x和y=k2x的图象上，
∴A与C、B与D关于原点对称，
∴AC、BD经过点O，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=12∠BCD=30°，
∴tan30°=OBOC=33，
作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵∠BOM+∠NOC=90°=∠NOC+∠NCO，
∴∠BOM=∠NCO，
∵∠OMB=∠CNO=90°，
∴ΔOMB∽ΔCNO，
∴ SΔBOMSΔCON=(OBOC)2，
∴ 12k1−12k2=13，
∴ k1k2=−13，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
8．（2021·山东济南·统考中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点Pm,n和点P'm,n'，若满足m≥0时，n'=n−4；m<0时，n'=−n，则称点P'm,n'是点Pm,n的限变点．例如：点P12,5的限变点是P1'2,1，点P2−2,3的限变点是P2'−2,−3．若点Pm,n在二次函数y=−x2+4x+2的图象上，则当−1≤m≤3时，其限变点P'的纵坐标n'的取值范围是（    ）
A．−2≤n'≤2 B．1≤n'≤3
C．1≤n'≤2 D．−2≤n'≤3
【答案】D
【分析】根据题意，当0≤x≤3时，y=−x2+4x+2的图象向下平移4个单位，当−1≤x<0时，，y=−x2+4x+2的图象关于x轴对称，据此即可求得其限变点P'的纵坐标n'的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到n'的取值范围
【详解】∵点Pm,n在二次函数y=−x2+4x+2的图象上，则当−1≤m≤3时，其限变点P'的图像即为图中虚线部分，如图，

当0≤m≤3时，y=−x2+4x+2的图象向下平移4个单位，当−1≤m<0时，y=−x2+4x+2的图象关于x轴对称，
从图可知函数的最大值是当m=−1时，n'取得最大值3，
最小值是当m=0时，n'取得最小值−2，
∴ −2≤n'≤3．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
9．（2021·江苏南通·统考中考真题）平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC−OD的值为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得A2k2,2k，B−2k2,−2k，再根据Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点求得Mk2,2；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为y=22k−42k−kx+2−k2k2k−k，进而求得OC=22k−k2k2k−k，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为y=22k+42k+kx+2−k2k2k+k，进而求得OD=k2k−22k2k+k，最后计算OC−OD即可．
【详解】解：∵直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，
∴联立可得：y=2x,y=kx,
解得：x1=2k2,y1=2k．或x2=−2k2,y2=−2k．
∵点A在第一象限，
∴A2k2,2k，B−2k2,−2k．
∵Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点，
∴2=km．
解得：m=k2．
∴Mk2,2．
设直线AM的解析式为y=k1x+b1，
将点A2k2,2k与点Mk2,2代入解析式可得：2k=k1·2k2+b1,2=k1·k2+b1,
解得：k1=22k−42k−k,b1=22k−k2k2k−k．
∴直线AM的解析式为y=22k−42k−kx+22k−k2k2k−k．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴xC=0．
∴yC=22k−42k−k·0+22k−k2k2k−k=22k−k2k2k−k．
∴C0,22k−k2k2k−k．
∵k>2，
∴OC=22k−k2k2k−k=22k−k2k2k−k．
设直线BM的解析式为y=k2x+b2，
将点B−2k2,−2k与点Mk2,2代入解析式可得：−2k=k2·−2k2+b2,2=k2·k2+b2,
解得：k2=22k+42k+k,b2=22k−k2k2k+k．
∴直线BM的解析式为y=22k+42k+kx+22k−k2k2k+k．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴xD=0．
∴yD=22k+42k+k·0+22k−k2k2k+k=22k−k2k2k+k．
∴D0,22k−k2k2k+k．
∵k>2，
∴OD=22k−k2k2k+k=k2k−22k2k+k．
∴OC−OD=22k−k2k2k−k−k2k−22k2k+k
=22k−k2k2k+k2k−k2k+k−k2k−22k2k−k2k+k2k−k
=4k−2k2+2k2k−k22k2k−k2−2k2−4k−k22k+2k2k2k−k2
=8k−4k22k−k2
=42k−k22k−k2
=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
10．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y=2xx>0的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．22 D．4
【答案】C
【分析】如图，过A作AM∥x轴，交y轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交MA于H，则∠OMA=∠AHB=90°, 证明△AOM≌△BAH, 可得OM=AH,AM=BH, 设Am,2m, 则AM=m,OM=2m,MH=m+2m,BD=2m−m, 可得 Bm+2m,2m−m, 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过A作AM∥x轴，交y轴于M，过B作BD⊥x轴，垂足为D，交MA于H，则∠OMA=∠AHB=90°,
∴∠MOA+∠MAO=90°,
∵AO=AB,AO⊥AB,
∴∠MAO+∠BAH=90°,
∴∠MOA=∠BAH,
∴△AOM≌△BAH,
∴OM=AH,AM=BH,
设Am,2m, 则AM=m,OM=2m,MH=m+2m,BD=2m−m,
∴ Bm+2m,2m−m,
∴OB=m+2m2+2m−m2=2m2+8m2,
∵m>0, 而当a>0,b>0时，则a+b≥2ab,
∴2m2+8m2≥22m2×8m2=8,
∴2m2+8m2的最小值是8，
∴OB的最小值是8=22.
故选：C．

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“a2+b2≥2ab的变形公式”是解本题的关键．

模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·四川南充·统考一模）关于x的二次函数y=ax2+4ax+b+1（ab≠0），下列三个结论：①对称轴直线为x=−2；②点A(t,y1)，B(t+3,y2)均在该抛物线上，若a>0，y1>y2，则t>1；③若抛物线与x轴只有一个交点(m,0)，当ma13．其中正确结论为（    ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【分析】根据公式x=−4a2a=−2即可判断①，根据二次函数的增减性分类讨论即可判断②，根据只有一个交点，结合一元二次方程当△=0时有两个相等的解直接求解即可判断③，即可得答案；
【详解】（1）对称轴x=−4a2a=−2，故①正确；
（2）①∵a>0，∴当t+3≤−2时，即t≤−5时，点A，B均在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∵ty2；②当t<−2y2，∴−2−t>t+3+2， t<−72，故−5y2，则t≤−5或−5 （3）由题意得△=16a2−4a（b+1）=0，则b=4a−1，故y=ax2+4ax+4a=a（x+2）2，故m=−2，若ma14a−1，①当a<0时，有4a−1>a ，解得a>13，此时无解；②当014时，有4a−1>a，解得a>13，故a>13；综上可知若ma13，故③正确；
故答案为C．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数与一次函数的关系，一元二次方程的关系，不等式的关系，解题的关键熟练掌握二次函数的性质．
2．（2023·四川成都·统考二模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像与x轴交于点1,0，对称轴是直线x=−32，根据图像判断以下说法正确的是（    ）

A．b2−4ac<0 B．4a+c<0
C．若y>0，则−4 【答案】C
【分析】A.根据函数与x轴交点个数，可转化为函数ax2+bx+c=0时有两个不相等的实数根，来判断Δ大于零；B.能灵活找出所求式子是当自变量取何值时对应的函数值大小；C.已知函数值取值范围求对应的自变量取值范围即在图中找出函数的部分，直接写出对应的自变量取值范围即可；D.此题函数开口方向朝下，那么对称轴左侧的部分是y随x的增大而增大．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像与x轴交于点1,0，
对称轴是直线x=−32，
∴与x轴交于点−4,0
∴Δ=b2−4ac>0，故A错误；
∴x=−b2a=−32，即b=3a，
∴y=ax2+3ax+c，
令x=1，则y=a+3a+c=4a+c=0，故B错误；
∵y>0，函数图像在x轴上方，
∴−4 当x<−32时，则y随x的增大而增大，故D错误．
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程，解题关键是利用二次函数的对称性找出对称点的坐标和增减性．
3．（2023·江苏扬州·校考二模）关于x的一元二次方程x2−2x−t=0（t为实数）有且只有一个根在−2 A．3≤t<8 B．−1≤t<8或t=−1
C．3≤t<8或t=−1 D．−1 【答案】C
【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当Δ=b2−4ac=0时，得出t=−1，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当Δ>0时，结合二次函数的图象和性质，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得，Δ=b2−4ac=−22−4×−t≥0，
解得：t≥−1．
分类讨论：①当Δ=0时，即t=−1，
∴原方程为x2−2x+1=0，
解得：x1=x2=−1，满足题意；
②当Δ>0时，即t>−1时．
∴原方程有两个不相等的实数根．
∵该二次函数的对称轴为直线x=−b2a=−−22=1，且有且只有一个根在−2 ∴在平面直角坐标系中画出大致函数图象，如图所示，

观察图象可知，当t≥8时，方程的两个根分别为x1≤−2，x2≥4，不满足题意；
当3≤t<8时，方程的两个根分别为−2 当t<3时，方程的两个根都在−1 综上可知，满足条件的t的范围为3≤t<8或t=−1，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的关系，解题关键是树立数形结合思想，利用二次函数图象解决一元二次方程根的问题．
4．（2023·辽宁本溪·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点D是边AC上的一点，DE∥AB交BC于点E，将△CDE沿DE翻折得到△C'DE，设AD的长为x，△C'DE与四边形ADEB重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数关系的图象大致是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设AC的长为a，当0≤x 【详解】解：设AC的长为a，在Rt△ABC中，BC=tan30°×AC=3a，
如图①，当0≤x ∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A,∠C'GH=∠C'DE，
由翻折性质可知∠CDE=∠C'DE,C'D=CD=a−x，
∴∠A=∠C'GH=∠AGD，
∴GD=AD=x，
∴GC'=a−2x，
由翻折性质可知∠CED=∠C'ED,C'E=CE，∠B=∠CED=∠C'ED=∠EHB，
∴EB=EH，
∵DE∥AB，
∴CDCA=CEBC，
∴a−xa=CE3a，
∴CE=−3x+3a，
∴C'E=CE=−3x+3a，EB=EH=BC−CE=3x，
∴C'H=C'E−EH=CE−BE=−3x+3a−3x=3a−2x，
∴S=S△C'DE−S△C'GH
=12C'D⋅C'E−12GC'⋅C'H
=32a−x2−32a−2x2
=−323x2−2ax

如图②当a2≤x≤a时，点C'在△ABC内部包括在AB边上，此时△DEC'和△ABC重合部分是完整的△DEC'，由翻折性质知△DEC'≌△DEC
∵DE∥AB
∴CDCA=CEBC
∴a−xa=CE3a
∴CE=−3x+3a
∴S=12CD⋅CE=12a−x−3x+3a=32a−x2

∴S=−323x2−2ax0≤x 故图象先增后减，只有A符合
故选A．
【点睛】本题考查了折叠问题、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义、二次函数的图象与性质，难度较大，熟练掌握相关知识是解答的关键．
5．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中a，b，c，m均为常数)
x
…
−2
0
2
3
…
y
…
−m
2
−m2
−m2
…
甲同学发现当a>0时，x=5是方程ax2+bx+c=2的一个根；乙同学发现当a<0时，则a+b=0．下列说法正确的是(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
【答案】A
【分析】根据表格数据得出x=2与x=3的数据正确，进而得出a>0，对称轴为直线x=52，判断甲正确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
【详解】解：根据表格可知，x=2与x=3时的函数值相等，
当x=−2时，y=−m，x=0时，y=2
∴m≠0
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线x=2+32=52，即−b2a=52
∵−m2<0<2
∴当x<52时，y随x的增大而减小，
当x>52时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则a>0，
∵对称轴为x=52，当x=0时，y=2
∴当x=5时，y=2
即当a>0时，x=5是方程ax2+bx+c=2的一个根；
若a<0时，则−m2>0，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·河南周口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，OA=2，OB=23，OC=2，OD=23，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AD→DC→CB→BA方向匀速循环前行，当机器人前行了2023s时，其所在位置的点的坐标为（    ）

A．−12，323 B．323，12 C．−32，−32 D．323，−12
【答案】C
【分析】由题意易证四边形ABCD是菱形，结合勾股定理可求出AB=OA2+OB2=4，即说明智能机器人从点A出发沿AD→DC→CB→BA方向回到点A运动一圈所走路程是16个单位长度，需要16s．进而得出第2023秒时智能机器人在DC边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度．设第2023秒时，智能机器人在Pa，b处，过点P作PH⊥BD于点H，易证△CDO∽△PDH，得出DHOD=PHOC=DPDC，代入数据可求出DH=332，PH=32，进而可求出OH=OD−DH=32，即得出智能机器人所在点P的坐标为−32，−32．
【详解】解：∵点A、B、C、D均在坐标轴上，OA=2，OB=23，OC=2，OD=23，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=22+232=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16，即智能机器人从点A出发沿AD→DC→CB→BA方向回到点A运动一圈所走路程是16个单位长度，需要16s．
∵2023÷16=126⋯⋯7，
∴第2023秒时智能机器人在DC边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度．
设第2023秒时，智能机器人在Pa，b处，如图，过点P作PH⊥BD于点H，

∵∠CDO=∠PDH，∠COD=∠PHD=90°，
∴△CDO∽△PDH，
∴DHOD=PHOC=DPDC，即DH23=PH2=34，
∴DH=332，PH=32，
∴OH=OD−DH=23−332=32，
∴智能机器人所在点P的坐标为−32，−32．
故选C．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质等知识．理解第2023秒时智能机器人在DC边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度和正确作出辅助线是解题关键．
7．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−4x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使DE=12CD，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（    ）

A．2 B．3 C．72 D．4
【答案】B
【分析】设AD交y轴于点J，交BE于点K，设DE=m，DK=b，利用平行线分线段成比例推出BC和JF长度，从而求出OF长度，即可求出△BFC的面积.
【详解】解：设AD交y轴于点J，交BE于点K，设DE=m，DK=b则AB=CD=2m.

∵A在双曲线y=−4x上，
∴A−2m,2m.
∴AJ=2m.
∵四边形ABCD为矩形，
∴DK∥BC.
∴DKBC=EDEC=13.
∴BC=AD=3b，
∴AK=2b,JK=2b−2m.
∵JF∥DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−2mb，
∴JF=2bm−2b，
∴OF=OJ−JF=2m−2bm−2b=2b.
∴S△BFC=12BC⋅OF=12⋅3b⋅2b=3.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强.
8．（2023·江苏苏州·统考一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为AB、CD、FG，且AB=CD=FG；弯道是以点O为圆心的一段弧，且BC、CE、EF所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以16m/s的速度行驶，从不同出口驶出，期间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示，结合题目信息，下列说法错误的是（   ）

A．该段立交桥总长为672 m B．从G口出比从D口出多行驶192m
C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出
【答案】C
【分析】由两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系图，在AB段行驶时间是8s，在BC段行驶时间是14−8=6（s），通过计算可判断选项A和B；14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变，可判断选项C和D．
【详解】解：由题意可得AB=16×8=128（m），
在BC段行驶时间是14−8=6（s），BC=16×6=96（m）
∵ AB=CD=FG，BC、CE、EF所对的圆心角均为90°
∴该段立交桥总长为：3AB+3BC=3×128+3×96=672（m），A正确；
从G口出比从D口出多行驶：CE+EF+FG−CD=CE+EF=96×2=192（m），B正确；
∵14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变，
∴甲车从G口出，乙车从D口出，D正确；
∴甲车在立交桥上行驶时间：8+6×3+8=34（s），C错；
故选：C．
【点睛】本题考查行程问题，解题关键是从到一定点的距离与时间关系图中分析出实际的行程以及所用的时间，根据路程=速度×时间，计算各段的长度；本题的易错点是y表示车到点O的距离，若y值不变即表示绕圆心O行驶．
9．（2023·山东烟台·统考一模）如图，抛物线y1=ax2+2ax+a+2与抛物线y2=−x2+4x−5交于点B1,−2，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C，则以下结论：①无论x取何值，y2恒小于0：②将y1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y2；③当−2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①将y2=−x2+4x−5化成顶点式，再判断即可；
②将y1、y2的解析式都转化成顶点式，由顶点坐标即可判断y1、y2的平移关系；
③将y1−y2的表达式求出来，根据一次函数的增减性判断y1−y2的增减性；
④先求出A、D、C、E四点的坐标，再由S四边形AECD=12AC⋅DE计算即可．
【详解】解：①∵y2=−x2+4x−5 =−x−22−1，
∴y2≤−1，
∴无论x取何值时，y2恒小于0，
故①正确；
②把B1,−2代入y1=ax2+2ax+a+2中，
得a+2a+a+2=−2，
解得：a=−1，
∴抛物线y1的表达式为：y1=−x2−2x+1 =−x+12+2，
∴抛物线y1顶点为−1,2，
∵ y2的顶点为2,−1，
∴ y1先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到y2．
故②正确；
③y1−y2=−x2−2x+1−−x2+4x−5
=−x2−2x+1+x2−4x+5
=-6x+6，
∴−2 故③错误；
④如图，

令y1=y2，即−x2−2x+1=−x2+4x−5，
解得：x=1，
∴B1,−2，
由y1=−x2−2x+1 =−x+12+2可知对称轴为直线x=−1，
当x=0时，y1=1，
∴D0,1，
∴xA+xB2=−1，即xA+12=−1，
解得：xA=−3，
∴A−3,−2，
由y2=−x2+4x−5 =−x−22−1，可得对称轴为直线x=2，
当x=0时，y2=−5，
∴E0,−5，
∴xB+xC2=2，即1+xC2=2
解得：xC=3，
∴C3,−2，
∴AC=3−−3=6，DE=1−−5=6，
∵AC∥x轴，x轴⊥y轴，
∴AC⊥y轴，即AC⊥DE，
∴S四边形AECD=S△ACE+S△ACD=12AC⋅DE =12×6×6 =18，
故④正确；
综上，正确的有①②④三个，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数的对称性，以及二次函数中求四边形面积．综合性较强，属于压轴题．熟练掌握二次函数的一般式与顶点式的转换，求二次函数的对称轴，求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
10．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在矩形ABCD中，DC=3，AD=3DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（　　）

A．34 B．32 C．3 D．3
【答案】A
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出∠DAC=30°，分别求得PH,GH，进而求得GT,ET，在Rt△EGT中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，

设AP=m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°， AB=CD=3，
∴tan∠DAC=CDAD=CD3CD=33，
∴∠DAC=30°，
∵PG⊥AC，
∴PG=12AP=12m，
∠APG=90°−∠DAC=60°，
∴PH=PG⋅cos∠APG=12m⋅cos60°=14m，
GH=PG⋅sin∠APG=12m⋅sin60°=34m，
∠PFE=∠BAP=90°，∠EPF=∠BPA，

∴△EPF∽△BPA，
∴PFAP=EFAB=PEBP=12，
∴EF=12AB=32,PF=12m，
∴GT=GH−HT=GH−EF=34m−32，
ET=FH=PF−PH=12m−14m=14m，
在Rt△EGT中，EG2=GT2+ET2=(34m−32)2+(14m)2=14(m−332)2+916,
∴当m=332时，EG2取得最小值916，
∵EG>0，
∴EG的最小值为34．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．（2023·重庆·模拟预测）已知两个多项式M=a2+a+1，N=a2−a+1，
①若2N−M=5时，则有a=−1或4；
②若a为整数，且2NM−N+4为整数，则a=−1或5；
③当a≠0时，若M−NN=12，则3a2a4−5a2+1=14；
④若当式子M+ma中a取值为2n2与3n−2时，对应的值相等，则m的最大值为178．
以上结论正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据整式、分式的运算法则进行化简，并运用函数思想对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①∵2N−M=5，
∴2a2−2a+2−a2−a−1=5，
∴a2−3a−4=0，
∴a=−1或4，
∴①的结论正确；
②2NM−N+4=2a2−2a+22a+4=a2−a+1a+2=aa+2−3a+1a+2=a+−3a+2+7a+2=a−3+7a+2
∵2NM−N+4为整数，
∴a−3+7a+2为整数，即7a+2为整数，
a=5，−1，−3，−9．
∴②的结论错误；
③M−NN=12，即2aa2−a+1=12，
化简得，a2−5a+1=0，
∴3a2a4−5a2+1=3a2+1a2−5，
∵a2−5a+1=0，
∴a+1a=5，
∴a+1a2=25，即a2+1a2=23，
∴3a2a4−5a2+1=3a2+1a2−5=323−5=16．
∴③的结论错误；
④M+ma=a2+m+1a+1，
∵M+ma中a取值为2n2与3n−2时，对应的值相等，
∴二次函数y=a2+m+1a+1的对称轴为直线a=−m+12=2n2+3n−22，
∴m=−2n2−3n+1，则当n=−34时，m有最大值178．
∴④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，及二次函数图像性质，综合运用以上知识是解题的关键．
12．（2023·北京·校考模拟预测）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义x,y为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．

则下面叙述中正确的是（    ）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【答案】D
【分析】由图形可知：当x=1时，y<3，从而k=xy<3可判断A；根据点A是直线y=2x与双曲线的交点可判断B；求出S=k−x2可判断C；由点A位于区域①可得y−x>2，由形2落在区域④中可得y−x>0，从而可判断D．
【详解】设点A(x,y)（x，y均为正数），
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵x ∴x2 ∴x<3<3，
即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x， y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；

C、当一边为x，则另一边为y−x,S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1,y>3,，即另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1,y>3，即另一边y−x>0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，
故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题．
13．（2023·广东·校联考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+ca≠0与x轴的两个交点横坐标x1，x2满足x1+x2=2．当x=12时，该函数有最大值4，则a的值为（　　）
A．−4 B．−2 C．1 D．2
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出b，c与a关系，再根据根与系数的关系以及分类讨论即可．
【详解】解：∵当x=12时，该函数有最大值4，
∴−b2a=−124ac−b24a=4，
解得：b=ac=16+a4，
∴x1+x2=−ba=−1，x1⋅x2=ca=4a+14，
∵x1+x2=−1，
∴x1，x2至少有一个负数，
当x1，x2都小于0时，
x1+x2=−x1+x2=1≠2，不符合题意，
当x1<0，x2>0时，
x1+x2=−x1+x2=2，
∴x1+x22−4x1⋅x2=4，
∴1−44a+14=4，
解得：a=−4，
当x1>0，x2<0时，
x1+x2=x1−x2=2，
∴x1+x22−4x1⋅x2=4，
∴1−44a+14=4，
解得：a=−4，
综上所述，a的值为−4．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
14．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1所示，正方形ABCD中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，PD−PB=y，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（    ）

A．3,32 B．3,325−32 C．92,325−32 D．92,325
【答案】C
【分析】利用PD−PB=y开始为0，到最大值为32，也就是P到达B点时，即PB=0,BD=32,从而求得边长AB=AD=3，由点E是边的中点可知BE=32,即当点P在点E时，点P的运动路程为x=92，PB=BE=EC=32，再由勾股定理可求得PD,最后求得y即可解答
【详解】解：根据图2可知，
当点P到A点时，y=PD−PB=0，
当点P到B点时，y=PD−PB=32，PB=0，即PD=BD=32则AB=AD=3
当点P到E点时，点P的运动路程为x=92,PB=BE=EC=32，由勾股定理可得PD=DE=32+322=352,则y=PD−PB=352−32
所以点Q的坐标为92,325−32
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形中的动点问题，找到图中的关键点及对应的关键数是解题的关键．
15．（2023·湖北十堰·统考一模）如图已知反比例函数C1：y=kxk<0的图像如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是曲线C2上一点，点M在直线y=−x上，连接MN、ON，若MN=ON，△MON的面积为3，则k的值为（    ）

A．−23 B．−3 C．−2 D．−1
【答案】B
【分析】将直线y=−x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y=−x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
【详解】解：∵将直线y=−x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，
则直线y=−x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，
∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，
设点M，N的对应点分别是M'，N'，
过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'．
∵MN=ON，
∴M'N'=ON'，M'P=PO，
∴S△MON=S△M'ON'=2S△ON'P=2×k2=3，
∴k=3（舍）或k=−3，
故选B．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．
模块三 〖考前预测〗

1．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=kx上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（　　）

A．83 B．73 C．2 D．43
【答案】A
【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是0，3，A的坐标是1，0，根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，结合图形求解即可．
【详解】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G

在y=−3x+3中，
令x=0，解得：y=3，
即B的坐标是0，3．
令y=0，解得：x=1，
即A的坐标是1，0．
则OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
∠DAF=∠OBA∠BOA=∠AFDAB=AD，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，
∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是4，1，C的坐标是3，4．
代入y= kx得：k=4，
则函数的解析式是：y= 4x．
∴OE=4，
则C的纵坐标是4，
把x=3代入y= 4x得：y= 43．即G的坐标是3，43，
∴CG=4− 43 = 83，
∴a= 83．
故选：A．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
2．（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点(m,0)在−2到−1之间；④当x<0时，ax2+(b+2)x<0；⑤一元二次方程ax2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x=1时，y=n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，即抛物线的对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，故结论①错误；
②当x=1时，y=n，
∴a+b+c=n，
∴b=−2a，
∴c−a=n，故结论②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，即对称轴为x=1，
又∵该抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，
∴抛物线另一个交点(m,0)在−2到−1之间，故结论③正确；
④将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图像向下平移c个单位后图像过原点，
即可得抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图像，
画出直线y=−2x，如下图，

根据图像可知，当x<0时，ax2+bx<−2x，
即ax2+(b+2)x<0，故结论④正确；
⑤一元二次方程ax2+(b−12)x+c=0，
则Δ=(b−12)2−4ac
根据图像可知：a<0,c>0，
∴−4ac>0，
∴Δ=(b−12)2−4ac>0，
∴一元二次方程ax2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的有②③④⑤，共计4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数间的关系，二次函数与不等式的关系，抛物线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
3．（2023·山东济南·校联考二模）已知抛物线y=−12x+1x−4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左则），与y轴交于点C，连接BC，直线y=kx+1k>0与y轴交于点D，交BC上方的拋物线于点E，交BC于点F，下列结论中错误的是（    ）
A．点C的坐标是0，2 B．OC=2OD
C．当EFDF的值取得最大时，k=23 D．△ABC是直角三角形
【答案】C
【分析】令x=0，y=−120+10−4=2，可判断选项A正确；求得点D的坐标是0，1，可判断选项B正确；求得A−1，0，B4，0，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求EFDF的最大值转化为求EGCD的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
【详解】解：令x=0，y=−120+10−4=2，
∴点C的坐标是0，2，故选项A正确；
令x=0，y=k×0+1=1，则点D的坐标是0，1，
∴OC=2OD=2，故选项B正确；
令y=0，则−12x+1x−4=0，
解得x1=−1，x2=4，
∴A−1，0，B4，0，
∴AB2=4+12=25，AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，故选项D正确；
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，

∴CD∥EG，
∴EFDF=EGCD．
∵直线y=kx+1k>0与y轴交于点D，则D0，1．
∴CD=2−1=1．
∴EFDF=EG．
设BC所在直线的解析式为y=mx+nm≠0．
将B4，0，C0，2代入，得4m+n=0n=2．
解得m=−12n=2．
∴直线BC的解析式是y=−12x+2．
设Et，−12t2+32t+2，则Gt，−12t+2，其中0 ∴EG=−12t2+32t+2−−12t+2=−12t−22+2．
∴EFDF=−12t−22+2．
∵−12<0，
∴当t=2时，EFDF存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是2，3．
代入y=kx+1k>0，得3=2k+1，
解得k=1，故选项C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强．
4．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=32x2−32x−3的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为（　　）

A．334 B．32 C．3 D．543
【答案】A
【分析】作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P'，可求得∠ABO=30°，从而得出PE=12PB，进而得出PD+12PB=PD+EP，进一步得出结果．
【详解】解：如图，

作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P'，
抛物线的对称轴为直线x=−−322×32=12，
∴OD=12，
当x=0时，y=−3，
∴OB=3，
当y=0时，32x2−32x−3=0，
∴x1=−1，x2=2，
∴A(−1,0)，
∴OA=1，
∵tan∠ABO=OAOB=13=33，
∴∠ABO=30°，
∴PE=12PB，
∴12PB+PD=PD+PE≥DF，当点P在P'时，PD+PE最小，最大值等于DF，
在Rt△ADF中，∠DAF=90°−∠ABO=60°，AD=OD+PA=12+1=32，
∴DF=AD⋅sin∠DAE=32×32−334，
∴(12PB+PD)最小=DF=334，
故选：A．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB．
5．（2023·浙江宁波·校考一模）y=3x与y=kx交于A、B两点，AC⊥AB交y轴于点C，BC延长线交双曲线于点D，若BD=5，则AD为（    ）

A．2 B．3 C．3 D．533
【答案】A
【分析】根据题意设B(t,3t)，则A(−t,−3t)，即可得到反比例为y=3t2x，再求得C的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，将解析式联立，解方程组求得D的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】∵y=3x与y=kx交于A、B两点，
∴设B(t,3t)，则A(−t,−3t)，
∴k=t⋅3t=3t2，
∴反比例函数解析式为y=3t2x，
由题意得：∠AOC=30°，AO=2t，
∴OC=433t，即C0，−433t，
设直线BC的解析式为y=mx−433t，
把B(t,3t)代入得：mt−433t=3t，
解得：m=733，
∴直线BC的解析式为y=733x−433t，
y=3t2xy=733x−433t，解得x=ty=3t，x=−37ty=−733t，
∴D(−37t,−733t)，
过点B作BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，则BE∥DF，

∴BCCD=BEDF，
∴BC+CDCD=BE+DFDF，
∴5CD=107t37t=103，
∴CD=1.5，
∴CD2=(37t)2+−433t−（−733t)2=94，
AD2=−37t−(−t)2+−3t−(−733t)2，
解得：AD2=4，
∴AD=2（负值舍去），
故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是解题的关键．
6．（2023·河南·模拟预测）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1=10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：I=UR，F=pS，1000 Pa=1 kPa）．则下列说法中不正确的是（        ）

A．当水箱未装水（ℎ=0 m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
【答案】B
【分析】根据题意结合图1、图2、图3可得R2=800F，p=10h，对各个选项进行逐个计算即可．
【详解】A. 由图3得：当h=0时，p=0，故此项说法正确；
B. 当报警器刚好开始报警时，0.3=610+R2，解得R2=10Ω，由图2可求得：R2=800F ∴10=800F，解得F=80N，故此项说法错误；
C. 当报警器刚好开始报警时，由上得F=80N，则有80=p×0.01，∴p=8kPa，由图3求得p=10h，8=10h，解得：h=0.8，故此项说法正确；
D. 当报警器刚好开始报警时：0.3=6R1+R2，∴R1+R2=20Ω，当h=1时，p=10×1=10kPa，∴F=10000×0.01=100N，R2=800100=8Ω，∴R1=20−8=12Ω，故此项说法正确．
故选：B．
【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键．
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），顶点为C点．且b2−4ac=12；连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（    ）
A．12 B．22 C．33 D．3
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可求出该二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为−b+232a和−b−232a，顶点C的坐标为−b2a，−3a，对称轴为直线x=−b2a．再分类讨论①当a>0时和②当a<0时，分别求出点A到对称轴的距离，再结合正切的定义即可求解．
【详解】对于y=ax2+bx+c，令y=0，则ax2+bx+c=0，
解得：x=−b±b2−4ac2a=−b±122a=−b±232a，
∴该二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为−b+232a和−b−232a．
∵顶点C的坐标为−b2a，4ac−b24a，b2−4ac=12，
∴C−b2a，−3a．　
该二次函数的对称轴为直线x=−b2a．
分类讨论：①当a>0时，−b+232a>−b−232a，yC=−3a<0，
∴此时A−b−232a，0，
∴点A到对称轴的距离为−b2a−−b−232a=3a，
∴tan∠CAB=−3a3a=3a3a=3；
②当a<0时，−b+232a<−b−232a，yC=−3a>0，
∴此时A−b+232a，0，
∴点A到对称轴的距离为−b2a−−b+232a=−3a，
∴tan∠CAB=−3a−3a=3．
综上可知tan∠CAB的值为3．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的顶点坐标公式，求角的正切值等知识．利用分类讨论的思想是解题关键．
8．（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数y=−x2+x+m2(m>0)与一次函数y=−x+1交于Ax1,y1、Bx2,y2两点x1 A．0 【答案】D
【分析】由题意可得二次函数对称轴为直线x=12，联立两函数得−x2+x+m2=−x+1，求得x1=1−m，x2=1+m，当1−m≤x≤1+m时，要使得至少存在一个x使得−x2+x+m2≥13成立，只需当1−m≤x≤1+m时，y最大值≥13即可，三种情况：①当1−m≥12时，②当1−m<12<1+m时，③当1+m≤12时，进行讨论即可．
【详解】解：二次函数y=−x2+x+m2(m>0)与一次函数y=−x+1交于Ax1,y1、Bx2,y2两点x1 则：−x2+x+m2=−x+1，整理得：x2−2x+1−m2=0，
即：x−1+mx−1−m=0，
∴x1=1−m，x2=1+m，
y=−x2+x+m2的对称轴为直线x=12，
当1−m≤x≤1+m时，要使得至少存在一个x使得−x2+x+m2≥13成立，只需当1−m≤x≤1+m时，y最大值≥13即可，
①当1−m≥12时，即：m≤12，则当x1≤x≤x2时，y随x增大而减小，
∴当x=1−m时，取最大值，y最大值=−1−m2+1−m+m2≥13，
可得：m≥13，即13≤m≤12，
②当1−m<12<1+m时，即：m>12，则当x1≤x≤12时，y随x增大而增大，当12 ∴当x=12时，取最大值，y最大值=−14+12+m2≥13，
可得：m≥36，即m>12，
③当1+m≤12时，即：m≤−12，与m>0矛盾，
综上所述：m≥13．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数的性质，确定最大值应大于等于13，再进行分类讨论是解决问题的关键．
9．（2023·陕西榆林·统考一模）已知二次函数y=ax2+bx，当x=−6时，y<0，当x=−5时，y>0，点Mm,n是二次函数图像上一点，要使n的值相对最大，则m的值可以是（    ）
A．−1 B．−2 C．−3 D．0
【答案】C
【分析】由题意可知二次函数y=ax2+bx的图像经过原点，与x轴的另一交点在−6和−5之间，抛物线开口向下，易得其对称轴在−3和−2.5之间，从而根据二次函数图像的对称性和增减性即可获得答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx的图像经过原点，当x=−6时，y<0，当x=−5时，y>0，
∴该二次函数的图像与x轴的另一交点在−6和−5之间，抛物线开口向下，
∴其对称轴在−3和−2.5之间，
设抛物线的对称轴为直线x=h，则−3 ∴选项中横坐标m的取值离h越近，n越大，
而在x=−1,x=−2,x=−3,x=0中，
1.5 0.5 0 2.5 ∴x=−3对应的y值相对最大，x=0对应的y值相对最小，
∴要使n的值相对最大，则m的值可以是−3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质以及利用二次函数图像的对称性分析问题，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
10．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线y=ax2+2x+1与不和y轴平行的直线y=kx+bk≠0只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（　　）
A．若a>0，则b有最小值 B．若a<0，则b有最大值
C．对于任意a≠0，b的最值不变 D．若k=1，则b是关于a的反比例函数
【答案】C
【分析】先根据抛物线y=ax2+2x+1与不和y轴平行的直线y=kx+bk≠0只有一个交点，得到b=1−2−k24a，当a>0时，可推出1−2−k24a≤1，当a<0，1−2−k24a≥1，由此即可确定b的最值为定值1；当k=1时，可得b−1=−14a，即b−1是关于a的反比例函数．
【详解】解：联立y=ax2+2x+1y=kx+b得ax2+2x+1=kx+b，
∴ax2+2−kx+1−b=0，
∵抛物线y=ax2+2x+1与不和y轴平行的直线只有一个交点，
∴2−k2−4a1−b=0，
∴b=1−2−k24a，
∵2−k2≥0，
∴当a>0时，则2−k24a≥0，
∴−2−k24a≤0，
∴1−2−k24a≤1，
∴b≤1
∴a>0，则b有最大值，故A不符合题意；
当a<0时，则2−k24a≤0，
∴−2−k24a≥0，
∴1−2−k24a≥1，
∴b≥1，
∴a<0，则b有最小值，故B不符合题意；
综上所述，当a>0时， b有最大值1；当a<0时，b有最小值1；
∴对于任意a≠0，b的最值不变，都为1，故C符合题意；
当k=1时，b=1−2−124a=1−14a，
∴b−1=−14a
∴b−1是关于a的反比例函数，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，反比例函数的定义，正确推出b=1−2−k24a是解题的关键．
11．（2023·河南新乡·统考一模）如图1，在矩形ABCD(AB>AD)中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动．连接AP，AQ，设DQ=x，AP−AQ=y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（    ）

A．35−32 B．10−2 C．410−2 D．210−2
【答案】B
【分析】由题意结合图象可得出AB−AD=2．由点P，Q的速度相同，结合图象可得出当x=2时，点P与点C重合，此时BC=DQ=2，AP−AQ=m．结合矩形的性质可求出AB=CD=AD+2=22．最后由勾股定理可求出AP=10，AQ=2，进而即得出m的值．
【详解】根据函数图象可知AB−AD=2．
∵点P，Q的速度相同，
∴当x=2时，点P与点C重合，此时BC=DQ=2，AP−AQ=m．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，AB=CD，
∴AB=CD=AD+2=22．
当x=2时，在Rt△ABP中，AP=BC2+AB2=(2)2+(22)2=10，
在Rt△ADQ中，AQ=DQ2+AD2=(2)2+(2)2=2，
∴m=AP−AQ=10−2．
故选B．
【点睛】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理．本题渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养，利用数形结合的思想是解题关键．
12.（2023·湖南岳阳·岳阳市弘毅新华中学校考一模）已知二次函数y=12m−1x2+n−6x+1m≥0,n≥0，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．494
【答案】C
【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m,n的取值范围，将mn转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：抛物线y=12m−1x2+n−6x+1m≥0,n≥0的对称轴为直线：x=6−nm−1，
①当m>1时，抛物线开口向上，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴6−nm−1≥2，即2m+n≤8．
解得n≤8−2m，
∴mn≤m8−2m，
∵m8−2m=−2m−22+8，
∴mn≤8．
②当0≤m<1时，抛物线开口向下，
∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴6−nm−1≤1，即m+n≤7，
解得m≤7−n，
∴mn≤n7−n，
∵n7−n=−n−722+494，
当m=n=72时，mn有最大值494，
∵0≤m<1，
∴此情况不存在．
综上所述，mn最大值为8．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将mn的最大值转化为二次函数求最值．
13．（2023·浙江舟山·校联考一模）二次函数y=ax2+4x+1（a为实数，且a<0），对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有−2≤y≤2，则m的最大值为（    ）
A．12 B．23 C．2 D．32
【答案】D
【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图像的开口方向向下，对称轴为x=−2a，该函数的最大值为y=1−4a，由题意可解得a≤−4，根据函数图像可知a的值越小，其对称轴越靠左，满足y≥−2的x的值越小，故令a=−4即可求得m的最大值．
【详解】解：∵函数y=ax2+4x+1=a(x+2a)+1−4a，且a<0，
∴该函数图像的开口方向向下，对称轴为x=−2a，该函数有最大值，其最大值为y=1−4a，
若要满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有−2≤y≤2，
则有1−4a≤2，解得a≤−4，
对于该函数图像的对称轴x=−2a，
a的值越小，其对称轴越靠左，如下图，

结合图像可知，a的值越小，满足y≥−2的x的值越小，
∴当取a的最大值，即a=−4时，令y=−4x2+4x+1=−2，
解得x1=32，x2=−12，
∴满足y≥−2的x的最大值为x=32，
即m的最大值为32．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，解题关键是理解题意，借助函数图像的变化分析求解．
14．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kxk>0的图象交于A、B两点，点P在以C−2,0为圆心，1为半径的圆上，点Q是AP的中点，且OQ长的最大值为1.5，则k的值为（    ）

A．85 B．185 C．3225 D．7225
【答案】C
【分析】先确定OQ长的最大时点P的位置，当BP所在的直线过圆心C，且圆心C在线段BP上时，BP最长，设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【详解】解：连接BP，

由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为1.5，
∴BP长的最大值为1.5×2=3，
如图，当BP所在的直线过圆心C，且圆心C在线段BP上时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，

∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(−2t)2，
解得t=0（舍）或−45，
∴B(−45,−85)，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=−45×(−85)=3225；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置．
15．（2023·山东济南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点Pm,n和点P'm,n'，给出如下新定义，若n'=n当m<0时n−2当m≥0时，则称点P'm,n'是点Pm,n的限变点，例如：点P11,4的限变点是P'11,2，点P2−2,−1的限变点是P'2−2,1，若点Pm,n在二次函数y=−x2+4x+1的图象上，则当−1≤m≤3时，其限变点P'的纵坐标n'的取值范围是（　　）
A．−1≤n'<3 B．1≤n'<4 C．1≤n'≤3 D．−1≤n'≤4
【答案】D
【分析】分别求出当0≤m≤3和−1≤m<0时n的取值范围即可．
【详解】解：∵点Pm,n在二次函数y=−x2+4x+1的图象上，
∴n=−m2+4m+1，
由题意知：当m≥0时，n'=-m2+4m+1−2=−(m−2)2+3，
∴−1<0，对称轴为m=2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
当0≤m≤3时，0−2>3−2>2−2，
∴当m=0时，n'取得最小值：−0−22+3=−1，
当m=2时，n'取得最大值：3，
∴−1≤n'≤3，
当−1≤m<0时，n'=m2−4m−1=(m−2)2−5，
∴当m=−1时，n'=(−1−2)2−5=4，
当m=0时，n'=(0−2)2−5=1
又∵n'=n≥0
∴0≤n'≤4，
综上：当−1≤m≤3时，其限变点P'的纵坐标n'的取值范围是−1≤n'≤4．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是理解题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想进行求解．