中考数学压轴题55

初中数学

1、 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．

【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：

∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，

∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，

∴四边形EODC是矩形，

∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∵A（0，2），C（m，3），

∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，

∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，

∴，

在Rt△BCD中，，

在Rt△AOB中，，

∵OB＋BD＝OD＝m，

∴，

化简变形得：3m4−22m2−25＝0，

解得：或（舍去），

∴，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．

2、一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．

【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，

3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，

则排水速度为升/分钟，

，

解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．

3、如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】在矩形ABCD中，设，运动时间为，得到，利用翻折及中点性质，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根据判定的得到，从而代值求解即可．

【详解】解：如图所示：

在矩形ABCD中，设，运动时间，

，

在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形，

，

若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，

，

在中，，则，

，

,

,

,

,

，

，

，则，

，即，

在和中，

，

，即，

，

故答案为：．

【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键．

4、 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：

（1）求甲、乙两种水果的进价；

（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．

【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元   

（2）正整数m的最大值为22

【解析】

【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；

（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．

【小问1详解】

设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．

根据题意，得

解方程组，得

答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．

【小问2详解】

设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果，

根据题意，得．

解这个不等式，得．

设获得的利润为w元，

根据题意，得

．

∵，

∴w随x的增大而减小．

∴当时，w的最大值为．

根据题意，得．

解这个不等式，得．

∴正整数m的最大值为22．

【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．

5、如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．

（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；

（2）若，求m的值；

（3）若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；

（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；

（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．

【小问1详解】

当时，．

解方程，得，．

∵点A在点B的左侧，且，

∴，．

当时，．

∴．

∴．

∵，

∴．

【小问2详解】

方法一：如图1，连接AE．

∵，

∴，．

∴，，．

∵点A，点B关于对称轴对称，

∴．

∴．

∴．

∵，，

∴，

即．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴解方程，得．

方法二：如图2，过点D作交BC于点H．

由方法一，得，．

∴．

∵，

∴，

．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴，即．

∵，

∴解方程，得．

【小问3详解】

．

设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．

∵，

∴．

，

，

∴．

解得，

又，

∴．

【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．

6、 （1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．

①若，，求BC的长；

②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．

【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2）

【解析】

【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可；

②由，可得，由①同理可得，计算；

（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解．

【详解】（1）①∵CD平分，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

②∵，

∴．

由①可得，

∴．

∴．

∴是定值，定值为1．

（2）∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴．

设，则．

∵CD平分，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

如图，过点D作于H．

∵，

∴．

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．