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所属成套资源：中考数学压轴题

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中考数学压轴题40

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这是一份中考数学压轴题40，共11页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。

每周两题（十四）

1．（2022•湘一立信二模24T）定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．

（1）等边三角形“捷线”条数是　　；

（2）如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；

（3）在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．

2．（2022•湘一立信二模25T）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．

（1）如图1，若为，为，求该抛物线的函数表达式；

（2）若、重合，且为等边三角形，求的值；

（3）如图2，在（1）的条件下，连接，与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得，且，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）等边三角形“捷线”条数是　3　；

（2）如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；

（3）在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．

【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，可得答案；

（2）利用，得，则是的“捷线”；

（3）根据“捷线”的定义知，与相似，当时，利用相似三角形的性质解决问题．

【解答】

（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，

则，，，

，，是等边三角形的捷线，

故答案为：3；

（2）证明：，，

，

是的“捷线”；

（3）解：设是的内心，连接，

则平分，

是的捷线，

与相似，

分两种情况：①当时，，

，，，

，

作于点，如图所示，

则，是的内切圆半径，

，

平分，

，

即，

，

即，

，

②当时，

，，

同理可得，

综上：．

【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内心，勾股定理，直角三角形的内切圆半径等知识，本题综合性强，有一定的难度．

2．（2022•湘一立信二模25T）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．

（1）如图1，若为，为，求该抛物线的函数表达式；

（2）若、重合，且为等边三角形，求的值；

【分析】（1）将点、代入，即可求解；

（2）若、重合，则抛物线的对称轴为轴，即，可得，由为等边三角形得，，可得，，，，将，代入，即可求解；

（3）利用直线与直线的解析式求出点的坐标，，设，分三种情况讨论：①当点在对称轴的右侧，点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，证明，求出，，再将点代入抛物线解析式即可求的值；②当点对称轴的左侧，点在点下方时，过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，证明，可得，，再将点代入抛物线解析式即可求的值；③当点在点上方时，此时点在对称轴的右侧，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，求出，，再将点代入抛物线解析式即可求的值．

【解答】

解：（1）将点、代入，

，

解得，

；

（2）若、重合，则抛物线的对称轴为轴，即，

，

抛物线为，，

为等边三角形，

，，

，

，，，，

将，代入得，

（不合题意，舍去）或3，

的值为3；

（3）存在点，使得，且，理由如下：

，

抛物线的对称轴为直线，

设直线的解析式为，

，

设直线的解析式为，

，

联立方程组，

解得，

，，

设，

如图1，当点在对称轴的右侧，点在点下方时，

过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，

，

，，

，

，，

，

或，

，或；

如图2，当点对称轴的左侧，点在点下方时，

过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，

，

，，

，

（舍去）或，

；

如图3，当点在点上方时，此时点在对称轴的右侧，

过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，

，

，，

，

解得或，

，

；

综上所述：点的坐标为，或或或．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，一次函数与抛物线交点坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解的关键．

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