中考数学压轴题2

4． 如图，抛物线 y＝－x2＋4x－3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 D．在抛物线上是否存在一点 P，使得△BDP 是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．

4．（1）由 y＝－x2＋4x－3＝－(x－1)(x－3)，得 D(0,－3)，A(1, 0)，B(3, 0)．所以 OB＝OD＝3，BD 与坐标轴的夹角为 45°．

设点 P 的坐标为(x, －x2＋4x－3)． 直角三角形 BDP 分三种情况讨论：

①如图 1，当∠PBD＝90°时，∠PBO＝45°，所以 PH＝BH．

解方程－x2＋4x－3＝3－x，得 x＝2，或 x＝3（与 B 重合，舍去）．此时 P(2, 1)．

②如图 2，当∠PBD＝90°时，∠PDM＝45°，所以 PM＝DM．

解方程 x＝－3－(－x2＋4x－3)，得 x＝5，或 x＝0（与 D 重合，舍去）．此时 P(5,－8)．

③如图 3，当∠BPD＝90°时，△PEB∽△DFP，所以 PE  DF ．

BE PF

解方程

(x2  4x  3)

x  3

 x

x2  4x

，整理，得 x2－5x＋5＝0．解得 x  ．

2

此时 P (5    5 ,  ) ，或(5    5 , ) ．

2 2 2 2

第 4 题图 1 第 4 题图 2 第 4 题图 3

10.（2014 年福建省南安市中考模拟第 25 题）

如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， OA＝4，OC＝2．点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒．将线段 CP 的中点绕点 P 按顺时针方向旋转 90°得点 D，点 D 随点 P 的运动而运动，连接 DP、DA．

（1）  请用含 t 的代数式表示出点 D 的坐标；

（2）  求 t 为何值时，△DPA 的面积最大，最大为多少？

（3） 
在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，△DPA 能否成为直角三角形？若能，求 t 的值． 若不能，请说明理由．

（1）如图 1，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E．

由△COP∽△PED，得 CO  OP  PC  2 ．

PE ED DP

所以 PE  1 CO  1 ， ED  1 OP  1 t ．所以点 D 的坐标表示为(t  1,

1 t) ．

2 2 2 2

（2）S ＝ 1 PA  DE  1 (4  t)  1 t   1 t2  t   1 (t  2)2 1．

△DPA

2 2 2 4 4

所以当 t＝2 时，△DPA 的面积最大，最大值为 1．此时 P 是 OA 的中点．

（3）由于∠CPD＝90°，所以∠DPA 不可能等于 90°，直角三角形 DPA 存在两种可能：

①如图 2，当∠DAP＝90°时，点 D 落在 AB 上，E 与 A 重合，

此时 CO  PC  2 ．所以 2

 2 ．解得 t＝3．

PA DP

4  t

②如图 3，当∠PDA＝90°时，CP//DA，∠2＝∠3．

又因为∠2 与∠1 互余，所以∠3 与∠1 互余．因此∠1＝∠3＝45°．

此时△DPA 和△COP 都是等腰直角三角形，所以 OP＝OC＝3．因此 t＝2． 综上所述，经过 2 秒或 3 秒时，△DPA 是直角三角形．

第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3

9．（2014 年北京市海淀区中考模拟第 25 题）

对于平面直角坐标系xOy 中的点 P(a, b)，点 P′的坐标为(a  b , ka  b) （其中 k 为常数，

k

且 k≠0），则称点 P′为点 P 的“k 属派生点”．

例如：P(1, 4)的“2 属派生点”为 P′(1  4 , 2×1＋4)，即 P′(3, 6)．

2

（1）①点 P(-1, -2)的“2 属派生点” P 的坐标为         ；

②若点 P 的“k 属派生点” P′的坐标为(3, 3)，请写出一个符合条件的点 P 的坐标

           ；

（2）  若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的“k 属派生点”为 P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则 k 的值为              ；

（3）  如图，点 Q  的坐标为(0, 4

)，点 A 在函数 y  4 3 （x＜0）的图像上，且点 A

x

是点 B 的“  3 属派生点”，当线段 BQ 最短时，求点 B 的坐标．

9．（1）①P′的坐标为(－2, －4)．

②点 P′的坐标为(a  b , ka  b) ，它的几何意义是点 P′在直线 y＝kx 上．

k

当点 P′的坐标为(3, 3)时，k＝1，因此 a＋b＝3．

所以符合条件的点 P(a, b)有无数个，只要满足 a＋b＝3 就行，例如(1, 2)、(－1, 4)等．

（2）  如图 1，如果△OPP′为等腰直角三角形，不论∠OP P′＝90°还是∠O P′P＝90°，点 P′都在直线 y＝x 或直线 y＝－x 上．所以 k＝±1．

如图 2，当∠POP′＝90°时，P′在 y 轴上，此时 k＝0，不合题意．

第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3

（3）  因为点 A 是点 B 的“   3 属派生点”，所以k  ，点 A 在直线 y  3x 上．

联立方程 y  3x 和 y  4 3 ，解得点 A 的坐标为(2, 2 3) ．

x

设点 B 的坐标为(a, b)，因为 k  ，所以  3a  b  2 ．

所以b 

3a  2

，它的几何意义是点 B 在直线 y 

3x  2

上（如图 3）．

设这条直线与 y 轴交于点 M，那么 M (0, 2 3) ，且直线与 y 轴的夹角为 60°．

过点 Q 向这条直线作垂线，垂足就是符合条件的点 B． 作 BH⊥y 轴于 H．

在 Rt△QBM 中，∠QMB＝30°， QM  2 3 ，所以 BM＝3．

在 Rt△HBM 中， BH  1 BM  3 ， MH 

2 2

3 7 3

所以点 B 的坐标为(   , ) ．

2 2

3BH  3 3 ．

2

9．（2014 年温州市市直五校协作体中考模拟第 24 题）

如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A(4, 0)，B(0, 3)，点 C 的坐标为(0, m)，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，点 D 为 x 轴正半轴的一动点，且满足 OD＝2OC，连结 DE，以 DE、DA 为边作平行四边形 DEFA．

（1）  当 m＝1 时，求 AE 的长；

（2）  当 0＜m＜3 时，若平行四边形 DEFA 为矩形，求 m 的值；

（3）  是否存在 m 的值，使得平行四边形 DEFA 为菱形？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．

9．（1）在 Rt△AOB 中，OA＝4，OB＝3，所以 AB＝5．

当 m＝1 时，在Rt△BCE 中，BC＝2，所以 BE=BC cosB  2  3  6 ．

5 5

此时 AE＝AB－BE＝5－ 6 ＝ 19 ．

5 5

（2）  如图 1，作 EH⊥y 轴，垂足为 H．

当四边形 DEFA 为矩形时，四边形 ODEH 也是矩形，此时 HE＝OD＝2m．

在 Rt△BCE 中，BC＝3－m，所以 BE  BC cosB  3 (3  m) ．

5

在 Rt△BHE 中， HE  BE sin B  4  3 (3  m)  12 (3  m) ．

5 5 25

由 HE＝OD，列方程 12 (3  m)  2m ．解得 m  18 ．

25 31

第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3

（3）  如图 2，设平行四边形 EDAF 的对角线 DF 与 AE 交于点 G． 当四边形 EDAF 为菱形时，DF 与 AE 互相垂直平分．

因此 AG  4 AD ．所以 AE  8 AD ．

5 5

按照点 C 的位置，分两种情况讨论：

①如图 2，当 C 在 OB 上时，OC＝m，OD＝2m，

所以 BE  BC cosB  3 (3  m) ，AD＝4－2m．

5

因此5  3 (3  m)  8 (4  2m) ．解得m  16 ．

5 5 19

②如图 3，当 C 在 x 轴下方时，设 OC＝n，那么 OD＝2n，

所以 BE  BC cosB  3 (3  n) ，AD＝4－2n．

5

因此5  3 (3  n)  8 (4  2n) ．解得n  16 ．此时m   16 ．

5 5 13 13

10．（2014 年南京市江宁区中考模拟第 27 题）

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P 是射线 AB 上的一个动点，以点 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D，直线 PD 交直线 BC 于点 E．

（1）  若点 D 是 AC 的中点，则⊙P 的半径为    ；

（2）  若 AP＝2，求 CE 的长；

（3）  当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时，求⊙P 的半径；

（4） 
设线段 BE 的中点为 Q，射线 PQ 与⊙P 相交于点 I，点 P 在运动的过程中，能否使点 D、C、 I、P 构成一个平行四边形？若能，请求出 AP 的长；若不能，请说明理由．

10．（1）⊙P 的半径为 5 ．

4

（2）如图 1，因为∠A＝∠1＝∠2，∠A 与∠B 互余，∠2 与∠E 互余， 所以∠B＝∠E．因此 PB＝PE，△PBE 是等腰三角形．

在 Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，所以 AB＝5． 当 AP＝2 时，PD＝2，PB＝PE＝3，所以 DE＝1．

在 Rt△DCE 中， CE  DE cosE  3 ．

5

第 10 题图 1 第 10 题图 2

（3）  如图 2，设 BE 的中点为 Q，那么 PQ⊥BE．设 AP 的长为 x．

对于⊙P，R＝x；对于⊙Q， r  3 (5  x) ；圆心距 d＝PQ＝ 4 (5  x) ．

5 5

当⊙P 与⊙Q 外切时，由 d＝R＋r，得 4 (5  x)  3 (5  x)  x ．解得 x  5 ．

5 5 6

（4）  因为 PQ 是等腰三角形 PBE 底边上的中线，所以 PQ⊥BE．因此 DC//PI． 当 DC＝PI 时，四个点 D、C、 I、P 构成一个平行四边形．

设 AP＝x，那么 IP＝x，而 DC 的长要分两种情况：

①如图 3，当 P 在 AB 上时，DE＝FB＝AB－2AP＝5－2x，

此时 DC＝ 4 (5  2x) ．解方程 4 (5  2x)  x ，得 x  20 ．

5 5 13

②如图 4，当 P 在 AB 的延长线上时，DE＝FB＝2AP－AB＝2x－5，

此时 DC＝ 4 (2x  5) ．解方程 4 (2x  5)  x ，得 x  20 ．

5 5 3

第 10 题图 3 第 10 题图 4

11．如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠B＝60°，E、H 分别是 AB、CD 的中点，E、G 分别在 AD、BC 上，且 AE＝CG．

（1）  求证四边形 EFGH 是平行四边形；

（2）  当四边形 EFGH 是矩形时，求 AE 的长；

（3）  当四边形 EFGH 是菱形时，求 AE 的长．

11．（1）由 AEF△≌△CGH，得 EF＝GH．由 BFG△≌△DHE，得 FG＝HE．

所以四边形 EFGH 是平行四边形．

（2）  ①如图 1，当 E、G 分别是 AD、BC 的中点时，菱形 ABCD 的中点四边形 EFGH

是矩形，此时 AE＝2．

②如图 2，当 E、G 分别与 A、C 重合时，△ADH 和△BCF 正好是直角三角形，此时四边形 EFGH 是矩形，AE＝0．

（3） 
如图 3，如果四边形 EFGH 是菱形，那么 EG 与 FH 互相垂直平分． 在 Rt△AOE 中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时 AE＝1．

第 11 题图 1 第 11 题图 2 第 11 题图 3