苏科版九年级下册5.1 二次函数巩固练习

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

             专题20二次函数与对称变换综合问题

【例1】(2021秋•开化县月考)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．

例如：y＝(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)2+k．

(1)请写出抛物线y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 　   　，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标 　   　．写出抛物线的“镜像抛物线”为 　   　．

(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．

①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．

②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)

【例2】(2022•巩义市模拟)已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(﹣1，0)，且 OB＝OC．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•济宁二模)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

(3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．

【例4】(2022•合肥四模)已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3，0)，B(1，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；

(3)在(2)的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．

一．解答题(共20题)

1．(2022•广陵区二模)已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4(m为常数，且m＞0)．

(1)求二次函数的顶点坐标；

(2)设该二次函数图象上两点A(a，ya)、B(a+2，yb)，点A和点B间(含点A，B)的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．

①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；

②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　   　．

2．(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m+3)．其中，m≠0．

(1)当m＝1时．

①该二次函数的图象的对称轴是直线 　   　．

②求该二次函数的表达式．

(2)当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．

(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．

3．(2022•荷塘区校级模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．

(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，

①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；

②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；

(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．

4．(2022•绥江县二模)已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)．

(1)求二次函数的对称轴；

(2)点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．

5．(2022•兴化市二模)已知一次函数y＝kx+m的图象过点(2，3)，A(k，y1)、B(k+1，y2)是二次函数y＝x2﹣(m﹣2)x+2m图象上的两点．

(1)若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；

(2)当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；

(3)点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．

6．(2022•三门峡一模)已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a(a≠0)．

(1)该二次函数图象的对称轴是直线x＝　   　；

(2)若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；

(3)若对于该抛物线上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．

7．(2022•无锡二模)二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(﹣1，0)、B(4，0)．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F(﹣，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；

②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；

(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．

8．(2022秋•乐陵市校级月考)如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；

(3)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．

(4)若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

9．(2022秋•永城市月考)如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D(﹣1，4)．

(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；

(2)连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；

(3)在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．

10．(2022秋•越秀区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(0，2)，以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C．

(1)求二次函数的解析式；

(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；

(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

11．(2022秋•西城区校级期中)定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．

(1)函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　   　，函数y＝(x﹣2)2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 　   　；

(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q(0，1)互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；

(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)，与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．

12．(2022春•鼓楼区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a+1)x+a+2(a≠0)．

(1)当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；

(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 　   　．

(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；

(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．

13．(2022春•西湖区校级期末)如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．

(1)求F点的坐标；

(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M(5，﹣5)是否在该抛物线上．

(3)在(2)的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标xP的取值范围．

14．(2022•南京模拟)已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；

(3)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

15．(2022•兴宁区校级模拟)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C(2，﹣3)，且与x轴交于原点及点B(8，0)，点A为抛物线的顶点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；

(3)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．

16．(2022•南京模拟)已知二次函数解析式为y＝x﹣1(a≠0)，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．

(1)求点D的纵坐标．

(2)当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．

(3)当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．

(4)设点R(a﹣3，﹣1)，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．

17．(2021•九龙坡区校级模拟)若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．

(1)求二次函数的解析式；

(2)过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；

(3)在(2)的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标．

18．(2022•成都模拟)如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C(1，2)在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为线段AB上(不与端点重合)的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；

(3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G(﹣1，0)，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．

19．(2022秋•甘井子区校级月考)抛物线y＝x2+bx+c过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．

(1)抛物线的解析式是 　   　，△ABD的面积为 　   　；

(2)在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．

(3)当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值．

(4)若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．

20．(2021秋•沙坪坝区月考)如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．

(1)求直线AE的解析式及△ACE的面积．

(2)如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．

(3)连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．