高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理同步训练题

【基础】6.1 余弦定理与正弦定理-2课时练习

一．填空题

1．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．

2．

在中，点满足,,若,则___.

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若·＝·＝1，那么c＝________.

4．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则=     ．

5．

已知为正实数，向量，向量，若，则最小值为___________.

6．已知为的外心，且，则          ．

7．已知为正实数，向量，若∥，则的最小值为     。

8．

已知点为的外心，外接圆半径为1，且满足，则的面积为__________．

9．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________．

10．

如图，在平面斜坐标系中，，斜坐标定义：如果（其中，分别是轴，轴的单位向量），则叫做的斜坐标.

（1）已知得斜坐标为，则__________．

（2）在此坐标系内，已知，动点满足，则的轨迹方程是__________．

11．作用于一个物体的两个力F1．F2的大小都是10，F1与F2的夹角为60°，则F1＋F2的大小为________．

12．已知点A(－1,2)，B(0，－2)，若点D在线段AB上，且2||＝3||，则点D的坐标为________．

13．

若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______．

14．函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝________.

15．

已知，，则与方向相同的单位向量         ．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，

即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，

∴cos θ＝－，

又∵0≤θ≤π，∴θ＝.

2．【答案】

【解析】∵在△ABC中,点M,N满足，

则： ，

结合题意可得： .

点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加．减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

3．【答案】

【解析】由题意知·＋·＝2，

即·－·＝·(＋)

＝＝2？c＝||＝.

4．【答案】

【解析】将向量 沿 与 方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有已知给定图形的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向45°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．

解：如图所示，建立直角坐标系．

则 =（1，0），=（0，），

∴=m +n

=（m，n），

∴tan45°==1，

∴=．

故答案为：．

考点：向量在几何中的应用．

5．【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以，即.因为为正实数，则有，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.

考点：1．向量平行的充要条件；2．基本不等式.

【思维点睛】在解答一些有附有一定条件的求代数式的值．值域（最值）时，根据代数式的结构特征，将相关位置上的常数利用已知限制条件代换为一个代数式，从中发现规律，进而发现解题途径，常常能简化计算过程，减小计算量，又能收到意想不到的效果.

6．【答案】2

【解析】

7．【答案】

【解析】

8．【答案】

【解析】如图， ，

∴由得： ①， ②， ③；①两边平方得： ；∴，∴；同理②③两边分别平方得： ， ；∴， ， ，∴，故答案为.

9．【答案】1 500 J

【解析】功W＝60×50×cos 30°＝1 500 (J)．

10．【答案】  1 

【解析】

（1）∵，

∴1．

（2）设P（x，y），由得|（x，y﹣2）|=|（x﹣2，y）|，∴整理得：y=x．

故答案为：1；y=x

11．【答案】10

【解析】|F1＋F2|＝2×10×＝10.

12．【答案】

【解析】由题意得＝＋＝＋＝(－1,2)＋ (1，－4)＝，所以D.

13．【答案】

【解析】试题分析：由，得，即，所以＝．

考点：1．平面向量的数量积运算；2．平面向量的夹角．

【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量的夹角时，如果已知条件中没有明确关于的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到三者之间的关系．

14．【答案】6

【解析】由条件可得B(3,1)，A(2,0)，

∴(＋)·＝(＋)·(－)＝－＝10－4＝6．

15．【答案】

【解析】

试题分析：，，这就是与同向的单位向量．

考点：向量的平行．