高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第3课时一课一练

2.6.1　余弦定理与正弦定理

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

1.(2019安徽高一期中)一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A.10 海里 B.10 海里

C.20 海里 D.20 海里

【解析】根据已知条件画出示意图.如图所示，

可知在△ABC中，AB=20海里，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以∠C=45°，由正弦定理，有，所以BC==10(海里).故选B.

【答案】B

2.(2019黑龙江哈九中高三月考(文))在△ABC中，若sin 2A+sin 2B<sin 2C，则△ABC的形状是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定

【解析】因为在△ABC中，满足sin 2A+sin2B<sin 2C，所以由正弦定理知sin A=，sin B=，sin C=，R为三角形外接圆的半径，代入上式得a2+b2<c2，

又由余弦定理可得cos C=<0，因为C是三角形的内角，所以C∈，π，

所以△ABC为钝角三角形.故选A.

【答案】A

3.(2020天津静海一中高一月考)若点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，则点A在点B的(　　)

A.北偏东15°方向上 

B.北偏西15°方向上

C.北偏东10°方向上 

D.北偏西10°方向上

【解析】由

题意，点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，可得几何位置关系如图所示:

过点B作平行于y轴的直线BE，

则∠CBE=30°，∠ABC=45°，所以∠ABE=15°，故点A在点B的北偏东15°方向上.故选A.

【答案】A

4.(多选)某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)

A. B.2 C.3 D.3

【解析】由题意得∠ABC=30°，由余弦定理的推论得cos 30°=，整理得x2-3x+6=0，解得x=2或x=.故选AB.

【答案】AB

5.(多选)在△ABC中，以下结论正确的是(　　)

A.若a2>b2+c2，则△ABC为钝角三角形

B.若a2=b2+c2+bc，则A为120°

C.若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形

D.若A∶B∶C=1∶2∶3，则a∶b∶c=1∶2∶3

【解析】由cos A=<0，可知角A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故A正确;

由a2=b2+c2+bc，结合余弦定理可知cos A=-，所以A=120°，故B正确;

由a2+b2>c2，结合余弦定理可知cos C=>0，只能判断角C为锐角，不能判断角A，B的情况，所以△ABC不一定为锐角三角形，故C错误;

由A∶B∶C=1∶2∶3可得A=30°，B=60°，C=90°，则a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=∶1≠1∶2∶3，故D错误.故选AB.

【答案】AB

1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案:(△ABC的内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c):

①测量A，C，b;②测量a，b，C;③测量A，B，a.

一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

【解析】①测量A，C，b，因为知道A，C，可求出B，由正弦定理可求出c;②测量a，b，C，已知两边及夹角，可利用余弦定理求出c;③测量A，B，a，因为知道A，B，可求出C，由正弦定理可求出c，故三种方法都可以.

【答案】D

2.在△ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD，cos∠CDB=-，则(　　)

A.sin∠CDB=

B.△ABC的面积为8

C.△ABC的周长为8+4

D.△ABC为钝角三角形

【解析】因为cos∠CDB=-，所以sin∠CDB=，故A错误;

设CD=a(a>0)，则BC=2a，在△BCD中，BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB，解得a=，所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=×3×=3，所以S△ABC=S△DBC=8，故B正确;

因为∠ADC=π-∠CDB，

所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=，

在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC，

解得AC=2，

所以C△ABC=AB+AC+BC=(3+5)+2+2=8+4，故C正确;

因为AB=8为最大边，

所以cos C==-<0，即∠C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确.

故选BCD.

【答案】BCD

3.(2019江苏高二开学考试)已知一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为　　　　 km. 

【解析】依题意，作图如图，

由题意可知AC=15×4=60(km)，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=105°，

所以∠ABC=180°-30°-105°=45°，

所以由正弦定理知，

所以BC==30(km).

【答案】30

4.(2020北京人大附中高三期中)已知在四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=BC，∠ABC=.

(1)求∠ACB的值;

(2)若BC=，AD=，求BD的长.

解(1)在△ABC中，由正弦定理可得，

又由AC=BC，解得sin∠BAC=，

因为∠BAC为锐角，所以∠BAC=，

因此∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=.

(2)因为BC⊥CD，所以∠BCD=，

所以∠ACD=.

设CD=x(x>0)，在△ACD中，AC=BC=3，

由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos，

即=32+x2-2×3×x×，

整理得x2-3x-4=0，解得x=4.

因此，BD=.

5.(2019海南高一期中)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处是我方的缉私船，并奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?求出所需时间.(注:≈2.5，结果精确到0.1)

解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，

则CD=10t海里，BD=10t海里，

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A

=+22-2·(-1)·2·cos 120°=6，

解得BC=.

又因为，

所以sin∠ABC=，

所以∠ABC=45°，故B点在C点的正东方向上，

所以∠CBD=90°+30°=120°，

在△BCD中，由正弦定理，得，

所以sin∠BCD=.所以∠BCD=30°，所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°，

所以∠D=30°，所以BD=BC，即10t=，

解得t=小时≈15.0分钟.

所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15.0分钟.