高中数学5.4 三角函数的图象与性质习题

人教A版（2019）必修第一册第五章5.4

课时1正弦函数、余弦函数的图象练习题

学校:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．已知函数（其中）的图象经过，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，，则（    ）．

A．的图像关于点对称 B．图像的一条对称轴是

C．在上递减 D．在的值域为

3．设函数的最小值为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数图象的对称轴方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中错误的是（    ）

A．当时，

B．函数有3个零点

C．的解集为

D．，都有

6．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ）

A． B． C． D．

8．函数在区间上的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

二、解答题

9．已知函数．

(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；

(2)写出函数在上的单调递减区间；

(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．

10．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若函数在区间上恰有个零点，

（i）求实数的取值范围；

（ii）求的值.

11．某实验室某一天的温度（℃）随时间的变化近似地满足函数关系：，，．已知早上6时，实验室温度为9℃．

(1)求函数的解析式；

(2)求实验室这一天中的最大温差；

(3)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪个时间段实验室需要降温?

12．已知函数．

(1)求的定义域，并证明的图象关于点对称；

(2)若关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

13．已知函数在点处的切线方程为．

(1)求函数的单调区间，

(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．

三、填空题

14．函数的定义域是______.

15．已知函数的最大值为3，则实数的值为______.

16．若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．

四、多选题

17．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．

B．

C．在区间上单调递增

D．若，则

参考答案：

1．B

【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求解作答.

【详解】依题意，，而，所以.

故选：B

2．B

【分析】利用导数求得，然后根据三角函数的对称性、单调性、特殊值等知识求得正确答案.

【详解】.

，

所以图像的一条对称轴是，B选项正确，A选项错误.

的最小正周期，半周期，

，所以区间不是的单调区间，C选项错误.

，D选项错误.

故选：B

3．A

【分析】分段讨论最小值即可.

【详解】由于函数的最小值为，

当时，，

当时，，解得，

故选: A．

4．D

【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解．

【详解】

由题意可得

则，解得

故选：D．

5．A

【分析】由奇函数求出的解析式即可判断A选项；解方程求出零点即可判断B选项；解分段函数不等式即可判断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D选项.

【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当时，，，则，A错误；

对于B，易得，当时，，可得；当时，，可得，则函数有3个零点，B正确；

对于C，由，当时，由得；

当时，由得，则的解集为，C正确；

对于D，当时，，，当时，，单减，此时；

当时，，单增，，时，；时，有极小值；

结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象，

结合图象知，的值域为，则，都有，D正确.

故选：A.

6．A

【分析】由集合交集的定义计算即可.

【详解】由解得，所以，

所以，，

所以.

故选：A.

7．C

【分析】结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答案.

【详解】是奇函数，

，即关于对称，

，

，

所以是周期为的周期函数.

，

，，

，

，，

所以，

由于，

所以.

故选：C

8．C

【分析】先判断函数奇偶性排除A，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案.

【详解】易知函数是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A；在原点右侧附近，函数值大于0，排除D；函数在区间上有零点，共计8个，排除B.仅有C符合上述要求.

故选：C.

9．(1)图象见解析，；

(2)

(3)，；

【分析】（1）根据“五点法”列表，即可做出函数图象，再根据周期公式求出周期；

（2）根据正弦函数的性质计算可得；

（3）根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

（1）

解：因为，

列表如下：

函数图象如下：

函数的最小正周期．

（2）

解：令，

解得，

所以函数的单调递减区间为

（3）

解：将图像上所有的点向右平移个单位长度得到，

再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，

因为，所以，所以，所以，

当，即时，当，即时；

10．(1)

(2)（i）；（ii）.

【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；

（2）（i）令，将问题转化为与在上恰有个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得的取值范围；

（ii）由（i）中图像可确定，，由此可得，整理可得，由两角和差正弦公式可求得的值，即为所求结果.

（1）

；

令，解得：，

的单调递增区间为.

（2）

（i）由（1）得：，

当时，，

设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；

作出在上的图像如下图所示，

由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，

实数的取值范围为；

（ii）设与的个不同的交点分别为，

则，，，

即，

整理可得：，，

.

11．(1)

(2)最大温差为4℃

(3)10时至18时

【分析】(1)将代入求出k值即可得解.

(2)在时，求出函数的最大值与最小值即可得解.

(3)解关于t的三角不等式即可作答.

(1)

因，

则当时，，解得，

所以的解析式为.

(2)

因，则，得，当，即时，取最小值8，

当，即时，取最大值12，即实验室这一天中的最高温度为12℃，最低温度8℃，

所以最大温差为4℃.

(3)

依题意，当时，实验室需要降温，

由，得，

而当，即时，则有，解得，

所以在10时至18时实验室需要降温.

12．(1)定义域为，证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据解析式有意义可求函数的定义域，可证，从而得到的图象关于点对称.

（2）根据根分布可求参数的取值范围.

（1）

由题设可得，故，故的定义域为，

而，

故的图象关于点对称.

（2）

因为有两个不同的实数解，

故在上有两个不同的实数解，

整理得到：在上有两个不同的实数解，

设，则，

故，解得.

13．(1)单调递减区间是，单调递增区间是

(2)

【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；

（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.

（1）

由题可得，

由题意得，

解得，

所以，

由得或，

由得，

所以的单调递减区间是，单调递增区间是；

（2）

因为，

由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，

的单调递减区间是，单调递增区间是，

依题意，要使有三个零点，则，

即，

解得，经检验，，

根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，

所以m的取值范围为．

14．（）

【分析】根据对数函数的性质可得，再由余弦函数的图象与性质即可求解.

【详解】由题意可得，解得，

作出的图象，如下：

由图象可得，

所以函数的定义域为（）.

故答案为： （）

15．

【分析】先化简函数的解析式得，再解方程即得解.

【详解】由题得，其中，

所以的最大值为，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查三角函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16．

【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.

【详解】如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，

因为，则，，

结合有且，解得．

故答案为：

17．AD

【分析】由图知即可求；根据且求；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在上单调性；由代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断是否成立.

【详解】由图知：，而，可得，A正确；

∴，又且，有，，又，

∴，即，B错误；

综上，，

∴，则，显然在上不单调，C错误；

若，则，故，D正确.

故选：AD