2022北京延庆高二（上）期末数学（教师版）

2022北京延庆高二（上）期末

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一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．方程的曲线经过的一点是　　

A． B． C． D．

2．抛物线的焦点坐标为　　

A． B． C． D．

3．函数在区间，上的平均变化率等于　　

A．2 B．4 C．6 D．8

4．，则　　

A． B． C． D．

5．双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

6．下列椭圆中，焦点坐标是的是　　

A． B． C． D．

7．函数的图像如图所示，则下列大小关系正确的是　　

A．（1） B．（1） 

C．（1） D．（1）

8．，则曲线在点，处的切线方程为　　

A． B． C． D．

9．椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，轴，，则椭圆的离心率等于　　

A． B． C． D．

10．若双曲线的两个焦点为，，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）抛物线的焦点到准线的距离是　　．

12．（5分）椭圆上一点到两个焦点，的距离之和等于6，则的标准方程为 　　．

13．（5分）已知函数，则的导函数　　．

14．（5分）方程的曲线的一条对称轴是　　，的取值范围是 　　．

15．（5分）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），　　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（14分）圆锥曲线的方程是．

（Ⅰ）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

（Ⅱ）若表示焦点在轴上且焦距为8的双曲线，求的值．

17．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求在区间，上的最值．

18．（14分）已知直线，抛物线．

（Ⅰ）与有公共点，求的取值范围；

（Ⅱ）是坐标原点，过的焦点且与交于，两点，求的面积．

19．（14分）在四棱锥中，平面，，，，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（14分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围．

21．（15分）已知定点，，动点与，连线的斜率之积．

（Ⅰ）设动点的轨迹为，求的方程；

（Ⅱ）若，是上关于轴对称的两个不同点，直线，与轴分别交于点，．试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由．

参考答案

一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】把选项中点的坐标，代入曲线方程，判断即可．

【解答】解：因为满足方程，所以是曲线经过的点，

故选：．

【点评】本题考查曲线方程的简单应用，是基础题．

2．【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标即可．

【解答】解：抛物线的焦点坐标为：，

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．

3．【分析】在区间，上的平均变化率为，代值即可求解．

【解答】解：在区间，上的平均变化率．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数平均变化率的定义的应用，属于基础题．

4．【分析】求出原函数的导函数，再将代入求解即可．

【解答】解：，，

由．

故选：．

【点评】本题考查导数的运算，三角函数值求角，是基础题．

5．【分析】直接利用双曲线的方程求解渐近线方程即可．

【解答】解：由双曲线的方程，可得其渐近线方程为．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．

6．【分析】将方程转化为标准形式，结合焦点坐标，得到正确选项即可．

【解答】解：椭圆的焦点坐标是，可知不正确；

化为，焦点坐标是，所以正确；

化为，焦点坐标是，所以不正确；

化为，焦点坐标是，所以不正确；

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．

7．【分析】求出函数的导函数，即可解出．

【解答】解：由题意可知，

，，，

故选：．

【点评】本题考查了导数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．

8．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出的值，利用直线方程的斜截式得答案．

【解答】解：由，得，

，

又，

曲线在点，处的切线方程是，

即．

故选：．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．

9．【分析】由垂直于轴，，可得，然后转化求解椭圆的离心率．

【解答】解：轴，，

在△中，，

，，又，

．

故选：．

【点评】本题主要考查椭圆的性质，离心率的求法，属于基础题．

10．【分析】由双曲线的定义及且，可得，，因为，即，可得，可得的范围，进而可得渐近线与轴的夹角的范围．

【解答】解：因为，而，

所以，，

因为，即，可得，

可得，可得，

渐近线与轴的夹角的取值范围，，

故选：．

【点评】本题考查双曲线的性质的应用，属于基础题．

二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】先根据抛物线的方程求出的值，即可得到答案．

【解答】解：由，知，而焦点到准线的距离就是．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．

12．【分析】由椭圆的焦点在轴上，，根据椭圆的定义，利用与和之间的关系，即可求得椭圆的方程．

【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程：，，

椭圆上一点到两焦点的距离之和等于6，即，则，

，

椭圆的标准方程：．

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题．

13．【分析】根据函数积的求导公式求导即可．

【解答】解：，则，

故答案为：．

【点评】本题考查了导数的运算和导数值，属于基础题．

14．【分析】用代替，方程不变，可得曲线的对称轴，结合的范围，求解的范围．

【解答】解：方程，用代替，方程不变，所以曲线的对称轴为：；

，化为，解得，．

故答案为：；，．

【点评】本题考查曲线与方程的应用，图形的对称轴的求法，是基础题．

15．【分析】设出、坐标，利用抛物线焦半径公式求出，结合抛物线的性质，求出、的坐标，然后求比值即可．

【解答】解：设，，，，则

，，

又，可得，

则，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（Ⅰ）由曲线表示的方程为在轴上的椭圆，则，求出的范围；

（Ⅱ）由题意可得，，求出的值，再由焦距的值，求出的值．

．

【解答】解：（Ⅰ）由曲线的方程是表示焦点在轴上的椭圆可得，

解得：，

所以的取值范围为；

（Ⅱ）由曲线的方程是表示焦点在轴上的双曲线，可得，，

所以，即，

再由焦距为8，可得，解得，

所以的值．

【点评】本题考查曲线为椭圆，双曲线的条件即双曲线的性质的应用，属于基础题．

17．【分析】利用导数的运算法则可得，令，，分别解得函数的单调区间；

令，解得，结合可得函数的极值点，求得函数的区间端点函数值，经过比较即可得出函数的最值．

【解答】解：，

令，解得，或，可得函数在，上单调递增；

令，解得，可得函数在上单调递减．

的单调增区间为，；单调递减区间为．

令，解得，结合可得：函数在，上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增．

函数在时取得极大值，；函数在时取得极小值，（1）．

又，．

可得函数的最大值为：2；最小值为．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．【分析】联立直线与抛物线方程，整理可得，，再结合判别式法，即可求解．

根据已知条件，结合韦达定理，以及三角形面积公式，即可求解．

【解答】解：由题意可得，，消去，整理可得，，

与有公共点，

△，解得，

故的取值范围为，．

抛物线的焦点，

则，

设，，，，

由（1）知，，，

则，

，

故的面积为．

【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查计算能力，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）根据给定条件证得，由线面平行的判定定理，得到平面；

（Ⅱ）由已知条件，以点作原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明即可作答；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中信息，借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因，分别是，的中点，则，

因平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）证明：在四棱锥中，平面，，

以点为原点，射线，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，

而且，则，2，，，

设平面的法向量，

由，令，得，

又，因此有，

所以平面．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令直线与平面所成角为，

则有，

所以直线与平面所成角的正弦值．

【点评】本题考查了线面平行的判定定理，利用向量法证明线面垂直和直线与平面所成的角，考查了转化思想，属中档题．

20．【分析】（Ⅰ）利用已知即可求出，，由此求出的值，进而可以求解；（Ⅱ）当与轴垂直时，当不与轴垂直时，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出的中点的坐标，由此求出线段的中垂线方程，再令，即可求出的关系式，然后再利用基本不等式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则，且，

所以，则，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）当轴时，显然，

当不与轴垂直时，设直线的方程为，

联立方程，消去整理可得：，

设，，，，，，则，所以，

则，

所以线段的中垂线方程为，

令，则，当时，，

当且仅当，即时取等号，

当时，，

所以或，

综上，实数的取值范围为．

【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，然后根据已知建立关系式，化简即可求解；

（Ⅱ）设，的坐标，求出直线，的斜率，得到直线，的方程，令，分别求出点，的横坐标，再求出的中点坐标，以及长度的一半，求出以为直径的圆的方程，再利用椭圆方程以及特殊点联立，即可判断求解．

【解答】解：（Ⅰ）设点，则，

化简，可得，

所以的方程为；

（Ⅱ）设，则，则，，

所以直线的方程为，直线的方程为，

令，解得，，

设的中点为，则点的坐标为，，

半径为，

所以圆的方程为①，

因为，所以①式可化为②，

令，则，代入②，可得③，

令，则，代入②，可得④，

联立③④，可得，不成立，

故不存在以为直径的圆过定点．

【点评】本题考查了求解轨迹方程问题以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到圆的性质，考查了学生的运算求解能力，属于难题．