2022北京顺义高二（上）期末数学（教师版）

2022北京顺义高二（上）期末

数    学

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在空间直角坐标系中，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 直线的倾斜角为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

3. 已知椭圆，则椭圆的长轴长为（    ）

A. 2 B. 4 C.  D. 8

4. 直线与圆位置关系是（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能

5. 某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（    ）

A. 10 B. 13 C. 17 D. 26

6. 已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

7. 已知直线，，若，则实数等于（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 1或

8. 在棱长为2正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ）

A. 4 B.  C. 2 D. 不确定

9. 已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ）

①曲线关于坐标原点对称；

②曲线一个椭圆；

③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.

A. ① B. ①② C. ③ D. ①③

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.

11. 已知向量，，且，则实数______.

12. 已知抛物线，则的准线方程为______.

13. 已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则符合条件的的一个整数值为______.

14. 已知一个样本数据为3，3，5，5，5，7，7，现在新加入一个3，一个5，一个7得到一个新样本，则与原样本数据相比，新样本数据的平均数______，方差______.（“变大”、“变小”、“不变”）

15. 已知直线（为常数）和圆，给出下列四个结论：

①当变化时，直线恒过定点；

②直线与圆可能无公共点；

③若直线与圆有两个不同交点，，则线段的长的最小值为；

④对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点.

其中正确的结论是______.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.

（1）写出试验的样本空间；

（2）求“”的概率.

17. 如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

18. 新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；

（2）估计该样本数据平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；

（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：

从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.

19. 已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.

（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；

（2）抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.

20. 如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.

（1）求点到平面的距离；

（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.

21. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点、，直线、与轴分别交于、两点，若，求直线的方程；

（3）在第（2）问的条件下，点是椭圆上的一个动点，请问：当点与点关于轴对称时的面积是否达到最大？并说明理由.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在空间直角坐标系中，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用空间向量的坐标运算求解.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：B

2. 直线的倾斜角为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】由题的斜率，故倾斜角的正切值为，

又，故.

故选：D.

3. 已知椭圆，则椭圆的长轴长为（    ）

A. 2 B. 4 C.  D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的方程求出即得解.

【详解】解：由题得椭圆的所以椭圆的长轴长为.

故选：B

4. 直线与圆的位置关系是（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.

【详解】解：圆的圆心，，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与圆的位置关系是相交，

故选：A.

5. 某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（    ）

A. 10 B. 13 C. 17 D. 26

【答案】B

【解析】

【分析】计算出抽样比可得答案.

【详解】该校高中学生共有名，

所以高二年级抽取的人数名.

故选：B.

6. 已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

分析】由题意，化简即可得出双曲线的离心率．

【详解】解：由题意，.

故选：D．

7. 已知直线，，若，则实数等于（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 1或

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，则由得，从而可求出的值

【详解】由题意可得，

因为， ，，

所以，解得，

故选：C

8. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ）

A. 4 B.  C. 2 D. 不确定

【答案】A

【解析】

【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可

【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，

所以，，

，

故选：A

9. 已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.

【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，

所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，

所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，

故选：C.

10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ）

①曲线关于坐标原点对称；

②曲线是一个椭圆；

③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.

A. ① B. ①② C. ③ D. ①③

【答案】D

【解析】

【分析】对于①在方程中换为，换为可判断；对于②分析曲线的图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线图形的位置关系可判断.

【详解】在曲线的方程中，换为，换为，方程不变，故曲线关于坐标原点对称

所以①正确,

当时，曲线的方程化为，此时

当时，曲线的方程化为，此时

所以曲线图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.

当，时，设，

设，则，（当且仅当或时等号成立）

所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线的上方.

根据曲线和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线的外部（四个顶点在曲线上）

所以曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积，故③正确.

故选：D

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.

11. 已知向量，，且，则实数______.

【答案】

【解析】

【分析】利用向量平行的条件直接解出.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得.

故答案为： .

12. 已知抛物线，则的准线方程为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据抛物线的方程求出的值即得解.

【详解】解：因为抛物线，所以，

所以的准线方程为.

故答案为：

13. 已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则符合条件的的一个整数值为______.

【答案】.(答案不唯一)

【解析】

【分析】给出一个符合条件的值即可.

【详解】当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，

故答案为：.(答案不唯一)

14. 已知一个样本数据为3，3，5，5，5，7，7，现在新加入一个3，一个5，一个7得到一个新样本，则与原样本数据相比，新样本数据平均数______，方差______.（“变大”、“变小”、“不变”）

【答案】    ①. 不变    ②. 变大

【解析】

【分析】通过计算平均数和方差来确定正确答案.

【详解】原样本平均数为，

原样本方差为，

新样本平均数为，

新样本方差为.

所以平均数不变，方差变大.

故答案为：不变；变大

15. 已知直线（为常数）和圆，给出下列四个结论：

①当变化时，直线恒过定点；

②直线与圆可能无公共点；

③若直线与圆有两个不同交点，，则线段的长的最小值为；

④对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点.

其中正确的结论是______.（写出所有正确结论的序号）

【答案】③④

【解析】

【分析】由可判断①；根据直线过的定点在圆内可判断②；当直线与过圆心的直径垂直时，求出线段的长度可判断③；把圆心代入直线的方程可判断④.

【详解】对于①，，当变化时，直线恒过定点，故错误；

对于②，因为，所以在圆的内部，所以直线与圆总有公共点，故错误；

对于③，当直线与过圆心的直径垂直时，线段的长度的最小，此时

，故正确；

对于④，把圆心代入直线，得

对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两个点，故正确.

故答案为：③④.

三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.

（1）写出试验的样本空间；

（2）求“”的概率.

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，

（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【小问1详解】

由题意可知试验的样本空间为：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）

【小问2详解】

由（1）可知共有16种等可能情况，其中满足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4种，

所以“”的概率为

17. 如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线面垂直的性质可得答案；

（2）设直线与平面所成角的为，可得答案；

（3）由二面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

所以，即，令，则，

所以，所以，

所以平面，平面，所以.

【小问2详解】

，所以，

由（1）平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角的为，

所以直线与平面所成角的正弦值.

【小问3详解】

由已知为平面的一个法向量，且，

由（1）平面的一个法向量为，

所以，

由图可得平面与平面夹角的余弦值为.

18. 新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；

（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；

（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：

从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.

（2）根据平均数的公式可得到答案.

（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花

小问1详解】

由解得

【小问2详解】

该样本数据的平均数为：

【小问3详解】

由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：

两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

19. 已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.

（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；

（2）抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为   

（2）存在，且

【解析】

【分析】（1）根据点坐标求得，进而求得抛物线的方程和焦点的坐标.

（2）设，根据列方程，化简求得的坐标.

【小问1详解】

将代入得，

所以抛物线的方程为，焦点坐标为.

【小问2详解】

存在，理由如下：

直线的方程为，

或，即.

抛物线的准线，设，

，即

，

所以.

即存在点使.

20. 如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.

（1）求点到平面的距离；

（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.

【答案】（1）   

（2）线段上存在一点，当时，平面.

【解析】

【分析】（1）设点到平面的距离为，则由 ，由体积法可得答案.

（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.

【小问1详解】

由，，为中点，则

由平面，平面,则

又，且,则平面

又，则平面,且都在平面内

所以

所以,

取的中点，连接，则,所以,所以

所以

所以

则

设点到平面的距离为，则由

即,即

【小问2详解】

线段上是否存在一点，使平面.

由（1）连接,则四边形为平行四边形，则

过点作交于，则

为中点，则为的中点,即

又平面，则平面

过点作交于点，连接，则,即

又平面,所以平面

又，所以平面平面

又 平面,所以平面

所以线段上存在一点，当时，平面.

21. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点、，直线、与轴分别交于、两点，若，求直线的方程；

（3）在第（2）问条件下，点是椭圆上的一个动点，请问：当点与点关于轴对称时的面积是否达到最大？并说明理由.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）当点与点关于轴对称时，的面积达到最大，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）设，可得出，，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得，结合韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程；

（3）设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，由判别式为零可求得，分析可知当点为直线与椭圆的切点时，的面积达到最大，求出直线与椭圆的切点坐标，可得出结论.

【小问1详解】

解：因为，设，则，，

所以，椭圆的方程可表示为，

将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，

因此，椭圆的方程为.

【小问2详解】

解：设线段的中点为，因为，则轴，

故直线、的倾斜角互补，

易知点，若直线轴，则、为椭圆短轴的两个顶点，

不妨设点、，则，，，不合乎题意.

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立，可得，，

由韦达定理可得，，

，，

则，

所以，解得，

因此，直线的方程为.

【小问3详解】

解：设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为，

联立，可得（*），

，解得，

由题意可知，当点为直线与椭圆的切点时，此时的面积取最大值，

当时，方程（*）为，解得，此时，即点.

此时，点与点关于轴对称，

因此，当点与点关于轴对称时，的面积达到最大.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．