2022北京昌平高二（上）期末数学（教师版）

2022北京昌平高二（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知直线，则直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．已知，，，，5，，则　　

A． B． C．12 D．14

3．在的展开式中二项式系数最大的项是　　

A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项

4．设椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于，两点，如果，那么的值为　　

A．2 B．10 C．12 D．14

5．已知平行六面体中，设，，，则　　

A． B． C． D．

6．设，则“”是“直线与直线平行”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．其中七个大项分别为：滑雪、滑冰、雪车、雪橇、冰球、冰壶、冬季两项（越野滑雪射击比赛）．现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙、丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为　　

A． B． 

C． D．

8．在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，，则直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．

9．直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则的面积为　　

A． B． C． D．

10．已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11．已知，，是直线的方向向量，，，是直线的方向向量，若直线，则　　．

12．在的展开式中所有的二项式系数之和为512，则　　；展开式中常数项的值为 　　．

13．双曲线的渐近线方程为　　；若抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则　　．

14．在空间直角坐标系中，已知点，0，，，1，，，0，，若点，2，在平面内，则　　．

15．已知圆，直线过点且与圆交于，两点，当面积最大时，直线的方程为 　　．

16．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：

①△的面积的最大值为；

②满足使△的面积为2的点有且只有两个；

③点可以是的中点；

④线段的最大值为3．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（14分）已知过点的直线被圆所截得的弦长为．

（Ⅰ）写出圆的标准方程及圆心坐标、半径；

（Ⅱ）求直线的方程．

18．（14分）如图，在四棱锥中，平面，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

19．（14分）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．

（Ⅰ）共有多少种不同的坐法？

（Ⅱ）如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？

（Ⅲ）如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？

20．（14分）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

21．（14分）已知椭圆，，，，点在线段上，且，直线的斜率为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，且，求椭圆的方程．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．

【解答】解：设直线的倾斜角为，

直线，

，

，，．

故选：．

【点评】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

2．【分析】利用空间两点间的距离公式求解即可．

【解答】解：，，，，5，，

则．

故选：．

【点评】本题考查空间两点间的距离公式，是基础题．

3．【分析】利用求展开式中二项式系数最大项的公式即可求解．

【解答】解：因为为偶数，

所以展开式中二项式系数最大的项只有一项，且为第项，

故选：．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查学生的运算能力，属于基础题．

4．【分析】利用椭圆的简单性质以及椭圆的定义，转化求解即可．

【解答】解：椭圆可得长轴长为：10，

椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于、两点，若，

则．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

5．【分析】由已知直接利用空间向量的线性运算求解．

【解答】解：如图，

，，，

．

故选：．

【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查数形结合思想，是基础题．

6．【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．

【解答】解：直线与直线平行，

则，解得或，

故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．

7．【分析】先将七个大项的门票分成，2，，再分配到3个学校，根据分步计数原理可得．

【解答】解：先将七个大项的门票分成，2，，再分配到3个学校，故有．

故选：．

【点评】本题考查了分组分配问题，属于基础题．

8．【分析】取的中点，连接，由，得到直线与所成角（或所成角的补解）为，再求出即可．

【解答】解：取中点，连接，如图，

是的中点，，

直线与所成角（或所成角的补解）为，

设，则，，，

是等边三角形，．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断和异面直线所成的角，考查运算求解能力，是中档题．

9．【分析】由直线的方程与抛物线的方程联立求出，的坐标，进而求出弦长的值，再由的值可得参数的值，可得焦点的坐标，求出点到直线的距离，代入三角形的面积公式可得面积的值．

【解答】解：设，，，，

联立，可得：或，

所以

而，

可得，解得，即，，

所以到直线的距离，

所以，

故选：．

【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用即三角形的面积公式的应用，属于中档题．

10．【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可．

【解答】解：设中点为，连接，设中点为，则，

所以，

当与重合时，取最小值0，

此时有最小值，

故选：．

【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，转化思想，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11．【分析】由，根据向量共线的坐标运算求解、的值，再计算即可．

【解答】解：，，是直线的方向向量，，，是直线的方向向量，

若直线，则，

，则，．

．

故答案为：．

【点评】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题．

12．【分析】利用求所有二项式系数之和的公式，求出的值，再求出展开式的通项公式，令的指数为0即可求解．

【解答】解：由已知可得所有的二项式系数之和为，解得；

展开式的通项公式为，

令，解得，

所以展开式的常数项为，

故答案为：9；84．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

13．【分析】直接利用双曲线方程求出，，求解渐近线方程，求解即可得到双曲线的离心率．

【解答】解：双曲线，可得，，则，所以渐近线方程为：；

双曲线的焦点坐标，抛物线的焦点是双曲线的右焦点，

所以，可得，

故答案为：；6．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，是基础题．

14．【分析】根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出的值．

【解答】解：因为，0，，，1，，，0，，

所以，1，，，0，，

又点，2，在平面内，

所以，其中、；

由，，，

所以，

解得．

故答案为：．

【点评】本题考查了空间向量的坐标表示和共面定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

15．【分析】当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设的方程为，，圆心到直线的距离为，由平面几何知识得，推导出当且仅当时，取得最大值2，由此能求出直线的方程．

【解答】解：当直线的斜率不存在时，的方程为，则、的坐标为，，

，

当直线的斜率存在时，设的方程为，，

则圆心到直线的距离为，

由平面几何知识得，

，

当且仅当，即时，取得最大值2，

，的最大值为2，

此时，由，解得．

此时，直线的方程为．

故答案为：．

【点评】本题考查面积最大时直线的方程的求法，解题时要认真审题，均值不等式的合理运用，属于中档题．

16．【分析】先找出的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解．

【解答】解：连接，，，、分别为、的中点，易得，

从而知，

又，又，得平面平面，

故点在矩形（除线段上运动，

对于①，由图可知，当与重合时，此时三角形面积最大，最大值为，故①对；

对于②，由图可知，当或时，△的面积为2，故②对；

对于③，由图易知，点不可能在线段，故③错；

对于④，由图易知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，故④对；

故答案为：①②④；

【点评】本题考查了立体几何中的轨迹问题，难点是确定点的轨迹，也是解答本题的关键点，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．【分析】整理出圆的标准方程，确定圆的圆心与半径；

分类讨论，利用直线被圆截得的线段长为，可得直线与圆心的距离为2，由此可得结论．

【解答】解：整理圆的方程得，

圆心，半径；

由圆得圆心坐标为，半径为4

又直线被圆截得的线段长为，直线与圆心的距离为2，

当直线斜率存在时，设的斜率是，过，设直线，即；

直线与圆的圆心相距为2，，解得，此时直线的方程为；

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意．

故所求直线的方程为或．

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）由线面平行性质可直接证明；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量即可求得线面角的正弦值；

（Ⅲ）结合半平面的法向量即可求得二面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）解：因为平面，，

故以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，

，设平面的法向量为，

则，即，

令，得，

设直线和平面所成角为，

则；

（Ⅲ）解：易知为平面的法向量，

则，

因为二面角的平面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．

【点评】本题主要考查线面平行的判断定理，空间向量的应用，线面角的计算，二面角的计算等知识，属于中等题．

19．【分析】（Ⅰ）问题等价于7人任意排，问题得以解决；

（Ⅱ）先排第一排，再排第二排，根据分步计数原理可得．

（Ⅲ）第一类，甲乙同一排，第二类，甲乙不在同一排，根据分类计数原理可得．

【解答】解：（Ⅰ）7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人，共有种；

（Ⅱ）从除甲乙之外的5人中选3人排在第一排，再排第二排，故有种；

（Ⅲ）第一类，甲乙同一排，则只能排在第二排，故有，

第二类，甲乙不在同一排，故有种，

故共有种．

【点评】本题考查了分类和分步计数原理，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）连接，由，，得平面，由此能证明；

（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；

（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．

【解答】解：（Ⅰ）证明：在棱长为1的正方体中，

连接，四边形是正方形，，，

，平面，

平面，；

（Ⅱ）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

是的中点，则，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，

，，，，1，，，1，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

，平面，平面；

（Ⅲ）平面的法向量，1，，，0，，

点到平面的距离为：

．

【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）由已知向量等式结合分点坐标公式可得的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到椭圆的离心率；

（Ⅱ）设，，，，代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得的斜率，求得的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求椭圆方程．

【解答】解：（Ⅰ），，点在线段上，满足，

，，，

则，，

椭圆的离心率；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为．

设，，，，

则，两式相减得，

即，

，，

，

易知不与轴垂直，则，，

的斜率为，设其直线方程为，

代入（Ⅰ）得，，．

于是，

由，得，即，解得．

故椭圆的方程为．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和离心率公式，考查椭圆方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，或者运用点差法，属于中档题．