高中3.2 函数的基本性质教案

《函数的奇偶性》教学设计

1．能抽象出函数奇偶性的定义，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养；了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，能从函数图象直观判断函数是否具有奇偶性．

2．能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；能利用函数的奇偶性帮助画函数图象和计算函数值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

教学重点：了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．

教学难点：“图象关于y轴（原点）对称”转化为定量的符号语言．

用软件制作动画；PPT课件．

一、问题导入

问题1：观察图1中的两个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？

师生活动：学生观察容易发现这两个图象都有对称性，老师顺势引出课题．

预设的答案：图象的共同特征是它们都有对称性．

设计意图：直接引出课题，形成对函数奇偶性的直观感受．

引语：奇偶性是刻画函数对称性的一个性质．本节课我们一起来学习函数的奇偶性．（板书：奇偶性）

二、新知探究

1．确定研究思路

问题2：你能说说如何研究奇偶性吗？

师生活动：学生思考，老师在学生回答的基础上进行补充．

预设的答案：先分析具体函数的图象特征（对称性），获得函数奇偶性的直观定性认识，然后利用动图或表格研究发现数量变化特征，再用符号语言定量刻画，抽象出奇偶性的定义，

设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数性质的一般方法．

2．定性刻画偶函数

问题3：观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的图象（图2），思考以下问题：

（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？

（2）你能用符号语言描述该特征吗？

师生活动：问题（1）学生容易回答，但是观察流于表面，并不能进行深入的分析，所以直接回答问题（2）对学生来说难度较大，老师进行追问（追问1、追问2和追问3），启发学生深入思考，直至完成问题（2）．

追问1：宏观上看，这两个图象关于y轴对称；微观上看，除了y轴上的点，其余的点都是成对出现．任取函数f(x)＝x2的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗？（若点A在y轴上，则对称点就是它本身；若点A不在y轴上，过A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A′，此时点A与点A′就是一组对称点．）

追问2：你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相同（如图3）．借助动态作图软件，老师在函数f(x)＝x2的图象上任意改变点A的位置，学生们随时观察点A与点A′的坐标，可以很清楚地找到规律．）

追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．）

预设的答案：（1）这两个的图象都关于y轴对称．（2）∀x∈R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．

教师点拨：∀x∈R，f(－x)＝f(x)，这时称函数f(x)＝x2为偶函数．

追问4：你能仿照上述过程，说明函数g(x)＝2－|x|也是偶函数吗？（首先，图象关于y轴对称，任取图象上的一组关于y轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标相同（如图4）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相等，即：∀x∈R，g(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝g(x)，g(x)＝2－|x|是偶函数．）

教师点拨：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数就叫做偶函数．

追问5：“∀x∈I，都有－x∈I”说明定义域I具有什么性质？（定义域关于原点对称．）

设计意图：以具体的函数为例，先借助图象直观感受偶函数的特征，定性刻画偶函数；再将图形语言转化为符号语言，实现定量偶函数的目标，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养．

3．定量刻画奇函数

问题4：观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象（图5），思考以下问题：

（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？

（2）你能用符号语言描述该特征吗？

师生活动：此处的活动与问题3的大致相同，学生类比完成．

追问1：宏观上看，这两个图象关于原点中心对称；微观上看，除了原点（如果原点在图象上），其余的点都是成对出现．任取函数f(x)＝x的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗？（若点A是原点O，则对称点就是它本身；若点A不是原点，将A绕原点O旋转180°得到A′，此时点A与点A′就是一组对称点．）

追问2：你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相反（图6）．借助动态作图软件，老师在函数f(x)＝x的图象上任意改变点A的位置，学生们随时观察点A与点A′的坐标，可以很清楚地找到规律．）

追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反．）

预设的答案：（1）两个的图象都关于原点成中心对称图形．（2）∀x∈R，f(－x)＝－x＝－f(x)．

教师点拨：∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，这时称函数f(x)＝x为奇函数．

追问4：你能仿照上述过程，说明函数g(x)＝也是奇函数吗？（首先，图象关于原点中心对称，任取图象上的一组关于原点轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标也相反（图7）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相反，即：∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(－x)＝＝－＝－g(x)，函数g(x)＝是奇函数．）

教师点拨：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数就叫做奇函数．

设计意图：类比定量刻画偶函数的过程，不仅得到奇函数的定量刻画，而且能熟悉研究函数性质的路径与方法．

4．奇偶性的判定

例1  判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝x4；      （2）f(x)＝x5；

（3）f(x)＝x＋；    （4）f(x)＝．

师生活动：老师引导学生寻找判定的依据——定义，根据定义，求出函数的定义域I后，需要判断两个条件：（1）∀x∈I，－x是否属于I；（2）f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立，只有（1）、（2）同时成立，才能判断函数的奇偶性．

预设的答案：

解：（1）函数f(x)＝x4的定义域为R．

∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x) ，

函数f(x)＝x4为偶函数．

（2）函数f(x)＝x5定义域为R．

∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x) ，

函数f(x)＝x5为奇函数．

（3）函数f(x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

且f(－x)＝－x＋＝－（x＋）＝－f(x) ，

函数f(x)＝x＋为奇函数．

（4）函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

且f(－x)＝＝＝f(x) ，

函数f(x)＝为偶函数．

追问1：你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗？（第一步，求函数的定义域I．第二步，判断定义域是否关于原点对称．若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，∀x∈I，计算f(－x)．若f(－x)＝f(x)，则为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则为奇函数；若f(－x)与f(x)既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数．）

追问2：思考

（1）判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性．

（2）图8是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？

（3）一般地，如果知道y＝f(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？

（（1）∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－（x3＋x）＝－f(x) ，函数f(x)＝x3＋x为奇函数．

（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，我们可以先将图象沿着y轴翻折，再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的图象（图9）．

（3）一般我们只需要研究y轴一侧的性质，然后根据对称性推断得到它在整个定义域内的性质．）

设计意图：例1和追问1帮助学生掌握应用定义判定奇偶性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．追问2让学生利用函数的奇偶性画函数的图象，体会奇偶性对于研究函数性质时的简化作用，提升学生的直观想象素养．

三、归纳小结，布置作业

问题5：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：

（1）什么是奇（偶）函数？用定义判定奇偶性的步骤是怎样的？

（2）请你比较奇函数的定义与偶函数的定义，说说这两者的异同．

师生活动：师生一起总结．

预设的答案：（1）概念和步骤略；

（2）相同点：①定义域关于原点对称；②都是函数的整体性质．不同点：①偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称；②当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相同，而奇函数的函数值相反．

设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确函数奇偶性的内涵和判定．

四、目标检测设计

1．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整．

设计意图：训练学生根据奇偶性补全函数图象的能力，考查奇偶性的定义．

2．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝2x4＋3x2；    （2）f(x)＝x3－2x ．

设计意图：考查奇偶性的定义．

3．（1）从偶函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

（2）从奇函数的定义出发，证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 ．

设计意图：通过证明符号语言与图象语言的等价性，深化理解奇偶性的定义．

参考答案：

1．略．

2．（1）偶函数．（2）奇函数．

3．（1）充分性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点Q(－x，y)也在函数f(x)图象上，即y＝f(－x)，所以对任意的x，都有f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数．

必要性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．记点P关于y轴对称点为Q，则Q(－x，y)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即y＝f(－x)，所以点Q在函数图象上，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．

（2）类比（1）中的证明过程可证．