人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教案设计

《充要条件》教学设计

1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．

2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．

教学重点：充要条件的意义；

教学难点：充要条件和数学定义之间关系．

PPT课件

（一）确定方案

问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？

师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．

预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念．

抽象概念：什么是充要条件？

概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？

应用概念：如何判断充要条件？

设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．

（二）问题导入

问题2：阅读教科书第20页右下角的边框内容，完成下列问题：

（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？

（2）请分别写出下列命题的逆命题．

①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

③若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；

④若A∪B是空集，则A与B均是空集．

师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．

预设的答案：

（1）“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，而且它们是互逆的；

（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；

②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；

④若与B均是空集，则是空集．

设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．

（三）新知探究

1．形成概念

问题3：对于下列“若p，则q”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；

（4）若是空集，则与B均是空集．

师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正．

追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？

师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．

预设的答案：（1）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；

（2）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为假，所以p不是q的必要条件；

（3）原命题为假，所以p不是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；

（4）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件．

追问2：阅读教科书第20页最后一段到第21页第一段完，你能说说什么是充要条件吗？

师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．

预设的答案：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，则记作．此时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q充分必要条件，简称为充要条件．

设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．

2．辨析概念

问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p是q的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p应该称为q的什么条件？你认为如何判断p是q的什么条件？

师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．

预设的答案：上述命题（1）（4）中的p是q充要条件．

对于命题（2），p是q的充分条件，p不是q的必要条件，称p是q的充分不必要条件；

对于命题（3），p不是q的充分条件，p是q的必要条件，称p是q的必要不充分条件．

如果p不是q的充分条件，也不是q的必要条件，称p是q的既不充分又不必要条件．

如果“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为真命题，则p是q充要条件；

如果“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为假命题，则p是q充分不必要条件；

如果“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为真命题，则p是q必要不充分条件；

如果“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为假命题，则p是q即不充分又不必要条件．

设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p是q的充要、充分不必要等条件与p是q的充分条件、p是q的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．

3．应用概念

例3  下列各题中，p是q的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．

（1）p：两个三角形全等，q：两个三角形三边成比例；

（2）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分；

（3）p：，q：；

（4）p：是一元二次方程的一个根，q：．

追问1：判断p是q的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）

师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．

设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．

追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）

师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．

追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？

师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．

预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．

数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．

设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．

例4  已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件．

追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．

师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．

预设的答案：

需要证明的命题以及证明思路：

（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”“直线l与⊙O有且只有一个公共点”先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.

（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”“直线l与⊙O有且只有一个公共点P”“”“d=r”．这一步称为“必要性”．

证明：（1）充分性(): 如图，作OPl于点P，则OP=d．

若d=r，则点P在⊙O上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．

在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r．

所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．

所以直线l与⊙O相切．

（2）必要性（）：若直线l与⊙O相切，不防设切点为P，则OPl．

因此d=OP=r．

由（1）（2）得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件．

设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．

（四）梳理总结

问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是q的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？

师生活动：师生一起总结．

预设的答案：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，则记作．此时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q充分必要条件，简称为充要条件．

判断方法：通过判断“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”的真假，从而得出p是q的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．

数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．

设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．

作业布置：教科书第22页练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．

（五）目标检测设计

1．（2015浙江）设，是实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件

设计意图：考查充要条件的判断方法．

2．已知集合A，B，则“A∩B=B”的一个充分不必要条件是（    ）

A．A=         B．AB          C．BA          D．A=B

设计意图：考查充分不必要条件的判断方法．

3．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．

设计意图：考查充要条件的证明．

参考答案：1．D    2．D

3．证明：设p：方程有两个同号且不相等的实根；q：．

（1）必要性（）：若方程有两个同号且不相等的实根，设其两根为，则解得．

（2）充分性（）：若，则，所以一元二次方程有两个不相等的实根．

又因为，所以则方程有两个同号且不相等的实根．