苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数教学设计及反思

第6章   幂函数、指数函数和对数函数

 6.1幂函数

1.了解幂函数的概念.

2.掌握y＝xα的图象与性质.

3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．

教学重点：幂函数图象与性质的理解．

教学难点：掌握幂函数在第一象限的分类特征．

PPT课件．

一、整体概览

问题1：阅读课本第130页，回答下列问题：

（1）本章将要研究哪类问题？

（2）本章研究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．

预设的答案：（1）本章将要研究幂函数、指数函数、对数函数．（2）起点是函数的概念，目标是教会学生通过画幂函数、指数函数、对数函数的图象，学会观察函数的图象，借助函数的图象来研究函数性质并解决相关的问题．

设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．

二、新课导入

数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方．1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．

大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．

1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习幂函数．（板书：6.1幂函数）

设计意图：情境导入，引入新课．

【探究新知】

问题1：阅读教材第131页，回答所给的三个函数有什么共同特征？

师生活动：学生阅读分析，给出答案．

预设的答案：解析式都是指数幂的形式，且幂底数是自变量，幂指数是常数．

追问：幂函数的特征是什么？

预设的答案：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为1，且只有一项．

问题2：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x， ，y＝x2，y＝x3，y＝x-1的图象．

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：

追问1：在第一象限，图象有何特点？

预设的答案：都过点(1,1)；只有y＝x-1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．

追问2：一般幂函数的图象特征有哪些？

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)当α>0时，幂函数的图象经过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；

(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力．

【巩固练习】

例1. (1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；

⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)

A．1       B．2       C．3        D．4

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1) 幂函数有①⑥两个；

(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.

设计意图：熟悉幂函数的概念，并能正确判断函数是幂函数．

例2. 点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)?

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ．因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，

所以f(x)＝x2，g(x)＝x-1．分别作出它们的图象，如图所示．

由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．

设计意图：熟悉幂函数的图象，并能运用幂函数的图象解决问题．

例3. 比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1）；  （2）；  （3）．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：（1）∵为上的增函数，且，∴．

（2）∵为上的减函数，且，∴．

（3）∵为R上的偶函数，∴．

又函数为上的增函数，且，∴，即．

设计意图：利用幂函数的性质比较大小．

【课堂小结】

1.板书设计：

6.1幂函数

1. 幂函数的概念            例1

2. 幂函数的图像与应用      例2

3. 幂函数性质的综合应用    例3

2．总结概括：

问题：1.如何判断函数是否是幂函数？

2. 解决幂函数图象问题应把握的原则是什么？

3.比较幂值大小的基本方法有哪些？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：

1.判断函数为幂函数的方法：(1)自变量x前的系数为1；(2)底数为自变量x；(3)指数为常数．

2.解决幂函数图象问题应把握的两个原则：(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）；(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断．

3.比较幂值大小的两种基本方法

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确幂函数的有关知识．

【目标检测】

1. 已知点在幂函数图像上，则的表达式为（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固幂函数的概念．

2. 若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A．或3 B．3 C． D．0

设计意图：巩固幂函数的性质．

3. 有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

设计意图：巩固幂函数的性质．

4. 幂函数在区间上是减函数，则__________．

设计意图：巩固幂函数的性质．

5.比较下列各组中幂值的大小：

(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.

设计意图：巩固幂函数的性质，并运用比较大小．

6. 已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．

设计意图：巩固幂函数的性质．

参考答案：

1. 设，由条件可知，所以，所以，故选：B．

2. 因为幂函数在上是减函数，

所以，

由，得或，

当时，，所以舍去，

当时，，

所以，故选：B．

3. 对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；

对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，函数在上为减函数，②不满足条件；

对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，当时，；当时，，则函数的值域为，函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；

对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件．故选：A．

4. 因幂函数在区间上是减函数，则，

解得，而，则0．故答案为：0．

5. (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233．

(2)0.9＝，．

∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，

∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.

6. ∵幂函数经过点，∴，

即，

∴=．解得=或=．

又∵，∴=.

∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数．

由得解得．

∴的取值范围为．