数学必修 第一册1.3 集合的基本运算教案

《1.3.2 集合的基本运算》教学设计

1．能举例说明全集；对于具体的集合，能写出其补集；并会用符号语言、图形语言表示补集运算．

2．在具体问题情景中，用三种语言表示集合的基本运算，并能进行转换，有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验．

教学重点：全集、补集的含义．

教学难点：补集的含义，利用Venn图解决一些与集合运算有关的问题．

PPT．

一、问题导入

问题1：上一节课学习了交集和并集，请你默写定义，并用符号语言和图形语言表示．集合的并集是类比了实数的加法运算，实数也有减法运算，那么集合是否也可以“相减”呢？如集合A＝{1，2，3}，B＝{3}，则集合A“减去”集合B应该是什么呢？请写出你的猜想．

师生活动：学生先默写，之后互相检查，再写出猜想，以小组交流，教师适时引导．

设计意图：通过回顾并集概念，寻找集合运算与实数运算之间的相似性，为类比引入补集做好铺垫．

二、全集

1．形成概念

问题2：小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到整数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．思考下面两个集合中元素是否相同？为什么？

A＝{x∈Q|(x－1)(x2－2)＝0}；B＝{x∈R|(x－1)(x2－2)＝0}．

师生活动：学生独立完成，之后展示交流，教师补充．

预设的答案：两个集合中的元素不相同．原因如下：

A＝{x∈Q|(x－1)(x2－2)＝0}＝{1}；

B＝{x∈R|(x－1)(x2－2)＝0}＝{1，，－}．

教师讲解：在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果，如上述方程(x－1)(x2－2)＝0的根在不同数集范围下是不同的．因此，在研究问题时，经常要确定研究对象的范围．即：

一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U．

设计意图：利用已有的知识类比学习新知识，学生容易接受，举例说明让学生体会到在研究对象时，确定研究范围的重要性．

2．初步理解

追问：你能再举出几个全集的例子吗？

师生活动：学生举例，展示交流，教师补充．

预设的答案：上操站队时，全校学生构成的集合是全集；班主任分配宿舍时，我班所有学生构成的集合就是全集；参加学校运动会按班级报参赛项目时，我班的运动员构成的集合就是全集．

设计意图：通过举例，让学生初步理解全集的概念．

三、补集

3．形成概念

问题3：阅读教科书第13页，什么是补集？默写定义．在问题1中，你的猜想正确吗？有哪些值得肯定之处？

师生活动：学生阅读课本获得定义，并通过比较发现自己的猜想与教科书中定义的一致之处，以及不同之处．

预设的答案：在学生默写的基础上教师修正，给出答案（如图1）．

设计意图：阅读获得定义，默写记忆定义，并通过比较，肯定学生猜想中的合理之处，激发学生的兴趣．

4．精致定义

问题4：学习了集合的三种运算，它们之间有哪些异同，你是如何区别的？

师生活动：学生先独立梳理，再展示交流，教师设计表格帮助学生进行整理．

预设的答案：

设计意图：集合的三种运算（并集、交集、补集）的定义相近，符号语言表示相似，易混淆，通过将三者放在一起对比，异同点一目了然，帮助学生进一步理解概念．

四、概念应用

问题5：自己独立完成教科书第13页的例5、例6，然后对比教材批改．每一个题目求解的依据是什么？

师生活动：学生独立完成，教师巡视观察学生做的情况，有个别问题个别纠正，共性问题教师再针对性讲解．

答案略．

设计意图：练习补集运算，巩固集合运算．

五、运算律

问题6：定义了一种运算之后，为简便计算会研究其运算律．回忆一下并集、交集运算律有哪些？通过类比猜想补集运算有哪些运算律？

师生活动：学生思考交流，教师给出如下提示：

A∪（CUA）＝________，A∩（CUA）＝________，CU（CUA）＝________．（其中U为全集）

预设的答案：

A∪（CUA）＝U，A∩（CUA）＝，CU（CUA）＝A ．（其中U为全集）

设计意图：通过类比并集、交集的运算律，探索发现补集的运算律．

六、巩固应用

例1  （1）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则CUM＝（    ）

A．U      B．{1，3，5}      C．{3，5，6}      D．{2，4，6}

（2）设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则CUA＝________．

（3）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝（    ）

A．{2}                      B．{1，2，4}

C．{1，2，4，6}             D．{x∈R|－1≤x≤5}

（4）设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则CR(A∪B)＝________，(CRA)∩B＝________．

师生活动：学生独立完成之后展示交流．

预设的答案：（1）C；

（2）{x|x≤2，或x＞5}；

（3）B；

（4）{x|x≤2，或x≥10}，{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}

解：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：

由图2知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，

∴CR(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．

∵CRA＝{x|x＜3，或x≥7}，

∴(CRA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．

设计意图：巩固集合的基本运算．

问题7：本题求解的依据是什么？每个题目中所给集合有什么特点？你获得了什么求解经验？

师生活动：学生观察总结，展示交流，师生完善补充．

预设的答案：求解的依据是定义．对于用列举法给出的集合，可直接观察或借助于Venn图写出结果．对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助数轴表示结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集，要注意端点是否在集合中．

设计意图：通过应用加深对概念的理解，并提升数学运算素养．

例2  设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(CUA)∩B＝，则m＝__________．

问题8：本题中两个集合可否化简？集合B化简之后有几种情况？待求解的问题是否可以化简？

师生活动：学生根据问题7的引导，对题目进行化简，教师引导学生对集合B要分类讨论写出其化简后的情况．然后再对化简后的问题进行求解就比较容易了．

解：A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝，得B⊆A，

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠．

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，

且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2．

经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2．

设计意图：通过两个集合的运算，转化为两个集合间的关系，利用学生熟悉的一元二次方程根的情况，分类讨论求解，培养学生分析问题的能力，提升数学运算素养．

七、归纳总结、布置作业

问题9：本节课你有哪些收获？可以从以下几方面思考：

（1）两个集合间的基本运算有哪些？

（2）求解集合运算问题，你获得了哪些经验？

师生活动：相互讨论、概括总结．

预设的答案：（1）略；

（2）①集合中的元素若是离散的，一般采用什么方法；集合中的元素若是连续的实数，则用什么方法，此时要注意端点的情况．②已知集合的运算结果求参数，要注意检验参数的值是否满足题意，或者是否满足集合中元素的互异性．

设计意图：梳理总结，深化理解．

布置作业：教科书习题1.3的第4，5，6题．

八、目标检测设计

1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，则CUA等于（    ）

A．{1，2，5，6}    B．{5，6}    C．{2}         D．{1，2，3，4}

2．如图所示，阴影部分表示的集合是______________，全集是_______________．

3．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且CU(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩CUB等于（    ）

A．{3}            B．{4}       C．{3，4}       D．

4．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(CRS)∪T等于（    ）

A．{x|－2＜x≤1}            B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1}                D．{x|x≥1}

答案：1．B

2．{7，9}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}或写成 {n∈N|1≤n≤10}

3．A

4．C

设计意图：1，2题考查集合的全集集和补集的概念，3，4题考查集合的运算的综合应用．