北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质随堂练习题

第二章　§1　1.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　B　)

A．8,6　　 B．4,3　　

C．2，　　 D．4,2

[解析]　由题意知a＝2，b＝，c＝1，最长弦过两个焦点，长为2a＝4，最短弦垂直于x轴，长度为当x＝c＝1时，纵坐标的绝对值的2倍为3.

2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　B　)

A．　　 B．　　

C．2　　 D．4

[解析]　椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，半短轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故＝2，解得m＝.

3．已知A＝{1,2,4,5}，a、b∈A，则方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　∵a、b∈A，∴不同的方程＋＝1共有16个．

由题意a2<b2，∴a＝1时，b＝2,4,5；a＝2时，b＝4,5；

a＝4时，b＝5，共6个，∴所求概率P＝＝.

4．已知椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则其焦距为(　B　)

A．　　 B．2　　

C．　　 D．2

[解析]　由题意得＝，

∴a2＝4，又b2＝1，

∴c2＝3，∴焦距为2c＝2.

5．方程 ＋＝1(a>b>0，k>0且k≠1)与方程＋＝1(a>b>0)表示的椭圆，那么它们(　A　)

A．有相同的离心率

B．有共同的焦点

C．有等长的短轴、长轴

D．有相同的顶点

[解析]　椭圆＋＝1(a>b>0，k>0且k≠1)的离心率e1＝＝，

椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e2＝，故选A．

6．(多选)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的半长轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(　ABD　)

A．a1＋c1>2(a2＋c2)　　 B．a1－c1＝a2－c2

C．a1c2>a2c1　　 D．e1＝

[解析]　由题图知，a1＝2a2，c1>2c2，

∴a1＋c1>2(a2＋c2)，2a1c2<2a2c1，即a1c2<a2c1，故A正确，C不正确；

∵椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，

∴a1－c1＝a2－c2，故B正确；

由图知，c1＝a2＋c2，

∴e1＝＝＝，故D正确．

二、填空题

7．已知点P(1，k)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_∪__.

[解析]　依题意得，＋>1，解得k2>，

即k<－或k>.

8．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为___.

[解析]　

如图，|AB|＝2c＝4，

∵点C在椭圆上，

∴|CB|＋|CA|＝2a＝3＋5＝8，

∴e＝＝＝.

三、解答题

9．求长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)的椭圆的标准方程．

[解析]　a＝2b，当焦点在x轴上时，设方程为＋＝1，则＋＝1，∴b2＝17，即＋＝1.

当焦点在y轴上时，设方程为＋＝1，则＋＝1，∴b2＝8.

椭圆方程为＋＝1，

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．

[解析]　方法1：设焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为.

在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，

即4c2＋b2＝|MF1|2，

而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，

整理，得3c2＝3a2－2ab.

又c2＝a2－b2,3b＝2a.∴＝.

∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.

方法2：设M，代入椭圆方程，得＋＝1，

∴＝，∴＝，即e＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．求经过点A(，－2)和点B(－2，1)的椭圆的方程(　A　)

A．＋＝1　　 B．＋＝1

C．＋＝1　　 D．＋＝1

[解析]　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，

则有解得∴＋＝1.

2．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　B　)

A．－　　　　　　 B．－1

C．　　　　　　 D．

[解析]　设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|＝2c，则|DF1|＝c，|DF2|＝c.由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝c＋c，

所以离心率e＝＝＝－1.故选B．

3．(2021·新高考Ⅰ卷，5)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　)

A．13　　 B．12　　

C．9　　 D．6

[解析]　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝6，

|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．

4．已知点P(x，y)在椭圆x2＋4y2＝4上，则x2＋2x－y2的最大值为(　B　)

A．8　　 B．7　　

C．2　　 D．－1

[解析]　点P(x，y)在椭圆x2＋4y2＝4上，可得x∈[－2,2]．

可得y2＝1－x2.

则x2＋2x－y2＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≤9－2＝7，当且仅当x＝2时取得最大值7.故选B．

二、填空题

5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_＋＝1__.

[解析]　设椭圆G的标准方程为＋＝1　(a>b>0)，半焦距为c，则∴

∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，

∴椭圆G的方程为＋＝1.

6．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若直线l：x＝上存在一点P，使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率的范围是___.

[解析]　方法1：由题意得  F1(－c,0))，F2 (c,0)，设点P，则由中点公式可得线段PF1的中点K，

∴线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于－1，

∴·＝－1，

∴m2＝－·≥0，

∴a4－2a2c2－3c4≤0，∴3e4＋2e2－1≥0，

∴e2≥，或e2≤－1(舍去)，∴e≥.

又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故答案为.

方法2：设P，则2＋m2＝4c2，∴4c2－2≥0，∴e≥，

又0<e<1，∴≤e<1.

三、解答题

7．已知点P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．

[解析]　设M(x，y)，则∴

∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.

把代入＋＝1，得＋＝1，

即＋y2＝1为所求．

8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．

[解析]　(1)由题意得：

解得：

所以椭圆的标准方程为：＋＝1.

(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)，设直线l：x＝2上的不同两点A、B的坐标分别为A(2，y1)、B(2，y2)，则＝(－3，－y1)、＝(－，－y2)，由·＝0得y1y2＋6＝0，

即y2＝－，不妨设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2，当y1＝、y2＝－时取等号，所以|AB|的最小值是2.