高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程随堂练习题

第二章　§2　2.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　C　)

A．－y2＝1　　 B．－y2＝1

C．－y2＝1　　 D．x2－＝1

[解析]　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.

2．已知定点M(－2，a)，N(2，a)，a为常数，且|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　D　)

A．一条射线　　 B．椭圆

C．双曲线　　 D．双曲线的一支

[解析]　由条件知|MN|＝4，又动点P满足|PM|－|PN|＝2<|MN|，所以根据双曲线的定义知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的一支(靠近点N的一支)．故选D．

3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为(　C　)

A．－y2＝1　　 B．－＝1

C．x2－＝1　　 D．－＝1

[解析]　由题意得

解得

则该双曲线的方程为x2－＝1.

4．已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　A　)

A．3或7　　 B．6或14　　

C．3　　 D．7

[解析]　设右焦点为F2，连接PF2，ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝|PF2|，

∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，

∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3.

5．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　A　)

A．双曲线的一支　　 B．圆

C．椭圆　　 D．双曲线

[解析]　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，

由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，

|MO2|＝r＋2.

∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，

∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．

6．(多选)方程＋＝1表示的曲线为C，下列四个命题是真命题的是(　CD　)

A．曲线C不可能是圆

B．若1<k<4，则曲线C为椭圆

C．若曲线C为双曲线，则k<1或k>4

D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<k<

[解析]　当4－k＝k－1，解得k＝，此时曲线C为圆，A错误；若曲线C为椭圆，则解得1<k<4，且k≠，B错误；若曲线C为双曲线，则(4－k)(k－1)<0，解得k<1或k>4，C正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则解得1<k<，D正确．

二、填空题

7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)，则双曲线的标准方程为_－＝1__.

[解析]　方法1：由已知得，c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点坐标是(0,6)．

因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即

2a＝

＝|13－5|＝8，

得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.

因此，所求的双曲线标准方程是－＝1.

方法2：由焦点坐标知c＝6，∴a2＋b2＝36，

∴双曲线方程为－＝1.

∵双曲线过点A(－5,6)，

∴－＝1，∴a2＝16，b2＝20.

双曲线方程为－＝1.

8．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为_－＝1__.

[解析]　椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.

由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，

由点A在双曲线上知，－＝1.

解方程组得

∴所求曲线的方程为－＝1.

三、解答题

9．已知双曲线经过两点M(1,1)、N(－2,5)，求双曲线的标准方程．

[解析]　设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得到

解得

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

10．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解析]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，

∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.

设动圆M的半径为R，则有

|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，

∴|MF2|－|MF1|＝3.

∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a＝，c＝5.∴b2＝c2－a2＝.

∴双曲线方程为－＝1.

B　组·素养提升

一、选择题

1．双曲线－＝1上P点到左焦点的距离是6，则点P到右焦点的距离是(　B　)

A．12　　 B．14　　

C．16　　 D．18

[解析]　双曲线－＝1中，a＝4，c＝5，当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点的最小距离为a＋c＝9.

∵点P到左焦点的距离是6，

∴点P在双曲线的左支上．

∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，

∴|PF2|＝8＋|PF1|＝8＋6＝14.

2．若双曲线上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此双曲线存在“L点”，下列双曲线中存在“L点”的是(　A　)

A．x2－＝1　　 B．x2－＝1

C．x2－＝1　　 D．x2－＝1

[解析]　若双曲线的方程为x2－＝1，

则a＝1，c＝，不妨设|PF1|＝2|PF2|，则由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，即(x－)2＋y2＝4，与双曲线方程4x2－y2＝4联立可得5x2－2x－3＝0，其判别式Δ＝20＋60＝80>0，且x12＝＝，当x＝≥1，故存在“L点”．

3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　D　)

A．　　　　　 B．1　　　　　

C．2　　　　　 D．4

[解析]　NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D．

4．设F为双曲线－＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，

|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，

所以|FN|－|FM|＝8，＝＝，选D．

二、填空题

5．数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程＝4的解为_±__.

[解析]　＝4，

即＝4.

其几何意义是动点(x,2)到定点(－4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为4，∴该曲线为双曲线，

∴2a＝4，a＝2，c＝4，b2＝12，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

∵点(x,2)在该双曲线上，∴－＝1，解得x＝±.

6．设F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于_24__.

[解析]　由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2|＝10，

∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.

三、解答题

7．当0°≤α≤180°时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？

[解析]　(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝1和x＝－1.

(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.

①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．

②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.

③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．

(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝1和y＝－1.

(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．

(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．

8．在△ABC中，A，B，C所对三边分别为a，b，c，B(－1,0)，C(1，0)，求满足sin C－sin B＝sin A时，顶点A的轨迹，并画出图形．

[解析]　∵sin C－sin B＝sin A，

∴c－b＝a＝×2＝1，

即|AB|－|AC|＝1<|BC|＝2.

∴动点A(x，y)的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，

∴∴

∴A点轨迹方程为－＝1.

由于c>b就是|AB|>|AC|，可知A点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点如图所示．