新教材2023年高中数学第1章直线与圆检测题北师大版选择性必修第一册

第一章检测题

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(　B　)

A．3　　 B．－2　　

C．2　　 D．不存在

[解析]　由斜率公式得，直线AB的斜率k＝＝－2.

2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是(　A　)

A．－　　 B．－　　

C．　　 D．2

[解析]　由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y＝2x＋3.令y＝0，则x＝－，

∴直线在x轴上的截距为－，故选A．

3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　D　)

A．a<－2或a>　　 B．－<a<2

C．a>1　　 D．a<1

[解析]　由题意知，a2＋(2a)2－4＝－4a＋4>0.

∴a<1.故选D．

4．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　C　)

A．1或3　　 B．1或5

C．3或5　　 D．1或2

[解析]　当k＝3时，两直线显然平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－＝.解得k＝5，故选C．

5．直线3x－2y＋m＝0与直线(m2－1)x＋3y＋2－3m＝0的位置关系是(　C　)

A．平行　　 B．垂直

C．相交　　 D．与m的取值有关

[解析]　由3×3－(－2)×(m2－1)＝0，即2m2＋7＝0无解．故两直线相交．

6．若点(2,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝16的内部，则实数a的取值范围是(　A　)

A．－2<a<2　　　　　　　　 B．0<a<2

C．a<－2或a>2　　 D．a＝±2

[解析]　由题意，得(2＋a)2＋(2－a)2<16，

∴－2<a<2.

7．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　B　)

A．内切　　 B．相交　　

C．外切　　 D．相离

[解析]　因为圆M：x2＋y2－2ay＝0的圆心为M(0，a)，半径为a，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离为.

由直线x＋y＝0被圆M截得的弦长为2知，a2－＝2，

又a>0，故a＝2，即M(0,2)且圆M的半径为2.

又圆N的圆心N(1,1)，且半径为1，所以|MN|＝，

故1<|MN|<3，所以两圆相交，故选B．

8．已知圆C方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线l的方程为3x－4y－12＝0，在圆C上到直线l的距离为1的点有几个(　B　)

A．4　　 B．3　　

C．2　　 D．1

[解析]　圆心C(2,1)，半径r＝3，

圆心C到直线3x－4y－12＝0的距离d＝＝2，

即r－d＝1.

∴在圆C上到直线l的距离为1的点有3个．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列四组直线中，不互相垂直的是(　ACD　)

A．2x＋y－1＝0与2x－y－1＝0

B．2x＋y－1＝0与x－2y＋1＝0

C．x＋2y－1＝0与x－y－1＝0

D．x＋y＝0与x＋y－3＝0

[解析]　对于A,2x＋y－1＝0与2x－y－1＝0，有2×2＋1×(－1)≠0，两直线不垂直，符合题意；

对于B,2x＋y－1＝0与x－2y＋1＝0，有2×1＋1×(－2)＝0，两直线垂直，不符合题意；

对于C，x＋2y－1＝0与x－y－1＝0，有1×1＋2×(－1)≠0，两直线不垂直，符合题意；

对于D，x＋y＝0与x＋y－3＝0，两直线平行，符合题意．

10．若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则实数a的取值可以是(　ABD　)

A．2　　 B．3　　

C．0　　 D．4

[解析]　当a≠0时，方程为2＋2＝，由于a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0恒成立，∴a≠0时方程表示圆．

当a＝0时，易知方程为x＋y＝0，表示直线．

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

11．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝9表示(　BD　)

A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)

D．半径为3的圆

[解析]　把圆的方程化为标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝9，由此可知圆心为(－a，－b)，半径为3.

12．已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　ABD　)

A．圆M的圆心为(4，－3)

B．圆M被x轴截得的弦长为8

C．圆M的半径为25

D．圆M被y轴截得的弦长为6

[解析]　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，

则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.

显然选项C不正确，A，B，D均正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于_－2或8__.

[解析]　由题意，得＝4，

∴k＝－2或8.

14．若直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为_－1或3__.

[解析]　圆心为(1,0)，半径r＝1，由题意，得＝1，∴a＝－1或3.

15．已知直线l垂直于直线3x＋4y－2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l的方程为_4x－3y＋5＝0或4x－3y－5＝0__.

[解析]　由题意可设直线l的方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b，

令y＝0，得x＝－b.

∴三角形的周长为|b|＋|b|＋|b|＝5，

解得b＝±，故所求直线方程为4x－3y＋5＝0或4x－3y－5＝0.

16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(x－1)2＋y2＝2__.

[解析]　直线mx－y－2m－1＝0可化为

m(x－2)＋(－y－1)＝0，

由得

∴直线过定点P(2，－1)．以点C(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0相切的所有圆中，最大的半径为|PC|＝＝，

故圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)直线l经过两点(2,1)、(6,3)．

(1)求直线l的方程；

(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．

[解析]　(1)直线l的斜率k＝＝，

∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，

即x－2y＝0.

(2)由题意可设圆心坐标为(2a，a)，

∵圆C与x轴相切于(2,0)点，

∴圆心在直线x＝2上，

∴a＝1.

∴圆心坐标为(2,1)，半径r＝1.

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

18．(本小题满分12分)已知一直线经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．

[解析]　设直线方程为y－2＝k(x＋2)，令x＝0得y＝2k＋2，令y＝0得x＝－2－，

由题设条件·＝1，

∴2(k＋1)2＝|k|，

∴或

∴k＝－2或－，

∴所求直线方程为：2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

19．(本小题满分12分)已知直线y＝－2x＋m，圆x2＋y2＋2y＝0.

(1)m为何值时，直线与圆相交？

(2)m为何值时，直线与圆相切？

(3)m为何值时，直线与圆相离？

[解析]　由得

5x2－4(m＋1)x＋m2＋2m＝0.

Δ＝16(m＋1)2－20(m2＋2m)＝－4[(m＋1)2－5]，

当Δ>0时，(m＋1)2－5<0，

∴－1－<m<－1＋；

当Δ＝0时，m＝－1±；

当Δ<0时，m<－1－或m>－1＋.

故(1)当－1－<m<－1＋时，直线与圆相交；

(2)当m＝－1±时，直线与圆相切；

(3)当m<－1－或m>－1＋时，直线与圆相离．

20．(本小题满分12分)正方形ABCD的对角线AC在直线x＋2y－1＝0上，点A，B的坐标分别为A(－5,3)，B(m,0)(m>－5)，求B，C，D点的坐标．

[解析]　如图，设正方形ABCD两顶点C、D坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．

∵直线BD⊥AC，kAC＝－，∴kBD＝2，直线BD方程为y＝2(x－m)，与x＋2y－1＝0联立

解得

点E的坐标为，

∵|AE|＝|BE|，

∴

＝，

平方整理得m2＋18m＋56＝0，

∴m＝－4或m＝－14(舍∵m>－5)，∴B(－4,0)．

E点坐标为(－3,2)，

∴∴

即点C(－1,1)，

又∵∴

即点D(－2,4)．

∴点B(－4,0)、点C(－1,1)、点D(－2,4)．

21．(本小题满分12分)已知圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

(1)若圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；

(2)在(1)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

[解析]　(1)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

∴m<5.

设M(x1，y1)、N(x2，y2)．

由得5y2－16y＋m＋8＝0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝.

x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，

∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝－1，

即x1x2＋y1y2＝0.

∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，

∴16－8×＋8＋m＝0，

∴m＝.

(2)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，

即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0.

又x1＋x2＝4－2y1＋4－2y2＝8－2(y1＋y2)＝，

∴以MN为直径的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.

22．(本小题满分12分)已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．

[解析]　(1)设圆心C(a，b)，a＞0，b＞0，半径为r，则b＝3a，r＝3a.

圆心C(a,3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝a，

(a)2＋()2＝(3a)2，即a2＝1.

∵a＞0，∴a＝1.  ∵圆心C(1,3)，半径为3，

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.

(2)∵直线l：kx－y－2k＋5＝0即(x－2)k－(y－5)＝0，

∴直线l过定点M(2,5)．kCM＝2，弦长最短时，kl＝－.

直线l：x＋2y－12＝0，|CM|＝，∴最短弦长为4.