高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质精练

第二章1.2　椭圆的简单几何性质

A级 必备知识基础练

1.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

2.已知椭圆C:=1(m>n>0)的右焦点和右顶点分别为F,A,离心率为,且|FA|=1,则n的值为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.

3.已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴,椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等,则(　　)

A.a2=25,b2=16

B.a2=9,b2=25

C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25

D.a2=25,b2=9

4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为(　　)

A. B. C.2 D.4

5.(多选题)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为8,离心率为,则此椭圆的标准方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

6.[2023四川成都新都一中高二联考期末]F1,F2是椭圆C的两个焦点,点P是椭圆C上异于顶点的一点,点I是△PF1F2的内切圆圆心,若△PF1F2的面积是△IF1F2的面积的4倍,则椭圆C的离心率为　　　　　. 

7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为　　　　. 

8.比较椭圆①x2+9y2=36与②=1的形状,则　　　　　更扁.(填序号) 

B级 关键能力提升练

9.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为(　　)

A.-1 B.2-

C. D.

10.(多选题)[2023江苏南通高二统考期末]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(异于左、右顶点),且△PF1F2的周长为6,则下列结论正确的是(　　)

A.椭圆C的焦距为1

B.椭圆C的短轴长为2

C.△PF1F2面积的最大值为

D.椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°

11.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列是“对偶椭圆”的方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

12.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

13.(多选题)如图,已知F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是该椭圆在第一象限内的点,∠F1PF2的平分线交x轴于Q点,且满足=4,则椭圆的离心率e可能是(　　)

A. B. 

C. D.

14.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为　　　　　. 

15.已知F是椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆x-2+y2=相切于点Q(其中c为椭圆的半焦距),且=2,求椭圆C的离心率.

C级 学科素养创新练

16.椭圆=1(a>b>0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1⊥QP,sin∠F1PQ=,求该椭圆离心率的取值范围.

参考答案

1.2　椭圆的简单几何性质

1.B　由条件知,椭圆的焦点在x轴上,且解得a=5,b=4,∴椭圆的标准方程为=1.

2.B　由题设,解得

3.D

4.B　因为椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,短半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故=2,解得m=

5.AB　由题得a=4,e=,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是=1或=1.

6　不妨设椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程为=1,如图,设P(m,n),F1(-c,0),F2(c,0),△PF1F2的周长为l,内切圆I的半径为r,则由椭圆的定义可得l=2a+2c,所以r=因为=4,所以2c·|n|=42c,解得,即e=

7.(2,4]

8.①　将①x2+9y2=36化为标准方程为=1,故离心率e1==1的离心率e2=因为e1>e2,故①更扁.

9.A

10.BC　由已知得e=,2a+2c=6,解得a=2,c=1.所以b2=a2-c2=3,即椭圆C的方程为=1.对于A,椭圆C的焦距为2c=2,故A错误;对于B,椭圆C的短轴长为2b=2,故B正确;对于C,设P(x0,y0),|F1F2|·|y0|=c|y0|,当点P为椭圆的上顶点或下顶点时△PF1F2的面积最大,此时|y0|=b=,所以△PF1F2面积的最大值为,故C正确;对于D,假设椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,设|PF1|=m,|PF2|=n,所以m+n=2a=4,m2+n2=16-2mn=4c2=4,得mn=6,所以m,n是方程x2-4x+6=0的两根,其判别式Δ=16-24<0,所以方程无解,故假设不成立,故D错误.

11.A

12.C　因为点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,

则|OM|==3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.

所以e=

13.CD　=4,∴||=c,||=c,

则||=c.

∵PQ是∠F1PF2的平分线,

,

又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=,|PF2|=

在△PF1F2中,

由余弦定理得cos∠F1PF2=e2,

∵-1<cos∠F1PF2<1,∴-1<e2<1,

解得<e<1.故选CD.

14.6　由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有=1,解得=31-,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+31-=+x0+3=(x0+2)2+2,此二次函数对应的图象的对称轴为直线x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值6.

15.解 设椭圆的左焦点为F',圆x-2+y2=的圆心为E,连接PF',QE,如图.

因为|EF|=|OF|-|OE|=c-,且=2,

所以,所以△FQE∽△FPF',PF'∥QE,所以,且PF'⊥PF.又因为|QE|=,所以|PF'|=b.根据椭圆的定义,知|PF'|+|PF|=2a,所以|PF|=2a-b.因为PF'⊥PF,所以|PF'|2+|PF|2=|F'F|2,所以b2+(2a-b)2=(2c)2,所以2(a2-c2)+b2=2ab,所以3b2=2ab,所以b=,c=a,,所以椭圆的离心率为

16.解 ∵QF1⊥QP,∴点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q在椭圆的内部,∴以F1F2为直径的圆在椭圆内,∴c<b.∴c2<a2-c2,∴e2<,故0<e<

∵sin∠F1PQ=,∴cos∠F1PQ=

设|PF1|=m,|PF2|=n,则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn

∴4c2=(m+n)2-2mn-2mn,即4c2=4a2-mn,

∴mn=(a2-c2).由基本不等式得mn=a2,当且仅当m=n时,等号成立,由题意知QF1⊥QP,∴m≠n,

∴mn<=a2,(a2-c2)<a2,∴a2<26c2.故e2>,∴e>

综上可得椭圆离心率的取值范围为.