新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.1平面素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.4　8.4.1

A组·素养自测

一、选择题

1．若一直线a在平面α内，则正确的表示图形是(　A　)

[解析]　选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．

2．给出以下命题，其中真命题是(　C　)

A．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚

B．平面的形状是平行四边形

C．任何一个平面图形都可以表示平面

D．空间图形中，后作的辅助线都是虚线

[解析]　平面是平滑、无厚度、可以无限延展的，故A是假命题．平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的，所以B是假命题．有时根据具体情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正方形等表示平面，故C正确．在空间图形中，我们一般把看得见的线画成实线，把被遮住的线画成虚线或不画，故D是假命题．

3．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：

①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；

②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；

③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；

④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α．

其中表述方式和推理都正确的结论的序号是(　C　)

A．①④ B．②③

C．④ D．③

[解析]　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．

4．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(　D　)

A．0 B．1

C．0或1 D．1或3

[解析]　当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．

5．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于 (　C　)

A．直线AC B．直线BC

C．直线CR D．以上都不对

[解析]　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR．

二、填空题

6．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条．

[解析]　由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__(2)(3)(4)__(填序号)．

(1)直线AC1在平面CC1B1B内．

(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．

(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1．

(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．

[解析]　(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．

(2)正确．如图所示．

因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．

(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，

所以A，B1，C1，D共面．

8．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__共线__．

[解析]　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．

∵l∩α＝O，∴O∈α．

又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．

三、解答题

9．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E．求证：B，E，D三点共线．

[解析]　因为AB∥CD，

所以AB，CD可确定一个平面，设为平面β，

所以AC在平面β内，即点E在平面β内．

而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，

可知点B，D，E为平面α与平面β的公共点，

根据基本事实3可得，B，D，E三点共线．

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：

(1)E、C、D1、F、四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

[解析]　(1)分别连接EF、A1B、D1C，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，

∴EF∥A1B且EF＝A1B．

又∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴四边形A1D1CB是平行四边形，

∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．

EF与CD1确定一个平面．

∴E、F、D1、C四点共面．

(2)∵EF綊CD1，

∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，

∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．

又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．

而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，

∴P∈直线AD(基本事实3)，∴直线CE、D1F、DA三线共点．

B组·素养提升

一、选择题

1．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个结论，其中正确的结论是(　D　)

①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①② B．②③

C．①④ D．③④

[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，

∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．

2．(多选题)空间不共线的四点，可以确定平面的个数可能是(　BD　)

A．0 B．1

C．2 D．4

[解析]　若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4．故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个．故选BD．

3．(多选题)下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是(　ABC　)

[解析]　在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选ABC．

4．(多选题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则(　ACD　)

A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，F四点共面

C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，O2四点共面

[解析]　因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，故D正确．

二、填空题

5．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α、n⊂β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__．

[解析]　因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β．又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l．

6．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是__0__．

[解析]　如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0．

三、解答题

7．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．

[解析]　因为a∥b，所以a和b确定一个平面α．因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α，故l⊂α．

又a∥c，所以a和c确定一个平面β．同理l⊂β．

即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．

8．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l．

(1)画出直线l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．

[解析]　(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，

∴AD＝A1E＝A1D1＝a．

∵A1P∥D1N，且D1N＝a，

∴A1P＝D1N＝a，

于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a．