【全套精品专题】初中数学同步 8年级下册 第01课 二次根式（教师版含解析）

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第01课 二次根式

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课程标准
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．

知识精讲

知识点01 二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．

要点诠释：

正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（1） 二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“”，我们一般 ，写作“”。如可以写作 。

（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。

（3） 式子表示 的 ，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。

（4） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了 这一隐含条件。

（5） 形如b(a≥0)的式子也是二次根式，b与是 的关系。要注意当b是分数时 ，例如可写成，但不能写成2 。

2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把 和表示数的 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
列代数式的常用方法：
（1） ：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2） ：根据公式列出代数式。
（3） ：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

知识点02 二次根式的性质

二次根式的性质
符号语言
文字语言
应用与拓展
(a≥0)
的性质
即
一个 的算术平方根是 。
(1)二次根式的非负性应用较多，如：
+=0，则a+1= ，b-3= ，即a= ，b= ；
又如+，则x的取值范围是
，解得 ；
(2)具有非负性的性质：① ；
② ；③≥0(a≥0)；
(3)若a2+｜b｜+=0，则a= ，b= ，c= ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于 ；
(4)的最小值为 ；例如：当a= 时，有最小值是 .
(a≥0)
的性质
= (a≥0)
一个非负数的算术平方根的平方等于 。
正用公式：()2 = ；()2= 逆用公式：若a≥0，则a=()2，
如：2=()2，=()2
逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-()2 =(a+)(a-)
的性质
或

一个数的平方的算术平方根等于这个数的 。
(1)正用公式： = = ；
(2)逆用公式：=3=3

(3)化简形如的式子时，先转化为
形式，再根据a的符号去掉绝对值号。





注意：与的区别与联系：




区 别
表示的意义不同
表示
表示
取值范围不同
a
a
读法不同
读作“ ”或
“ ”
读作“ ”或
“ ”
被开方数不同
被开方数是
被开方数是
运算顺序不同
先 后
先 后
运算结果，运算依据不同
()2 =a，依据平方与开平方 得到
依据算术平方根的定义得到
作用不同
()2 = a(a≥0)，正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式
=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内
联 系
①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方
②结果都是 ；③a 时，()2=

能力拓展

考法01 二次根式的判断
【典例1】在式子(x＞0)，，，，(x＞0)中，二次根式有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是(　　)
A． B． C．2 D．

考法02 二次根式有意义的条件
【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【典例3】式子中x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2
【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3
【典例5】如果，那么的值是______．
考法03 二次根式非负性的逆用
【典例6】如果，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【即学即练】若， 则x的取值范围是( )
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是(　　)
A． B． C． D．
考法04 利用二次根式的非负性化简求值
【典例8】计算：______．
【即学即练】化简______．
【典例9】已知+(y﹣3)2＝0，则＝_____．
【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．
【即学即练】化简＝_______________．

考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值
【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________

【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．

【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．


【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.


考法06 利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用
【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【即学即练】设a，b，c为△ABC的三边，化简： .

考法07 逆用= a(a≥0)在实数范围内分解因式
【典例12】在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【即学即练】分解因式(在实数范围内)：．
分层提分


题组A 基础过关练
1．在式子中，二次根式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使有意义的x的取值范围是(　　)
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
3．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
4．已知，则的值为( )
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为(　　)

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
6．如果，那么(　　　)
A． B． C． D．
7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( 　)
A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5
8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
9．化简的结果是( )
A． B． C． D．1
题组B 能力提升练
1．化简得( )．A．2 B． C．－2 D．
2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是(　　)
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
3．把(2-x) 的根号外的(2-x)适当变形后移入根号内，得( )
A． B． C． D．
4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．
5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．
6．把的根号外因式移到根号内得____________．
7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．
8．-1的最小值是______．
9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．
10．在实数范围内因式分解：________．
11．观察下列各式：
，
，
，

请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．

题组C 培优拔尖练
1．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．

2．阅读理解题，下面我们观察：

反之，
所以，所以
完成下列各题：
(1)在实数范围内因式分解：；
(2)化简：；
(3)化简：．
3．阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a3，
∴π−3>0；
∴．
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【典例9】已知+(y﹣3)2＝0，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝2，y＝3，
则原式＝＝＝2．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．
【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
直接运用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】
解：∵
∴，
∴
=
=
=
=
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查了化简二次根式，其依据是二次根式的性质．
【即学即练】化简＝_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先利用二次根式的性质，再利用求绝对值的法则，即可求解．
【详解】
解：∵4＜5，
∴2＜，
∴＝．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键．

考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值
【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________

【答案】a
【解析】
【分析】
利用数轴表示数的方法得到a＜b＜0＜c， |b|＞c，再根据二次根式的性质得到原式=|b|-|b+c|-|c-a|，然后去绝对值后合并即可．
【详解】
解：由数轴得a＜b＜0＜c，|b|＞c，
∴b+c＜0，c-a＞0，
原式=|b|-|b+c|-|c-a|
=-b+(b+c)-(c-a)
=-b+b+c-c+a
=a．
故答案为：a．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．

【答案】﹣2b
【解析】
【详解】
由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣(a+b)]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
故答案为﹣2b．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．
【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

【答案】2．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜2，
则a+=a+=a+(2﹣a)=2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．

【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.

【答案】
【解析】
【分析】
直接利用数轴判断得出：a0，a-b-c