【全套专题】初中数学同步 8年级上册 第29课 十字相乘法及分组分解法（教师版含解析）

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第29课  十字相乘法及分组分解法  课程标准熟练掌握首项系数为 1 的形如 x2  ( p  q)x  pq 型的二次三项式的因式分解.基础较好的同学可进一步掌握首项系数非 1 的简单的整系数二次三项式的因式分解.对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)掌握好简单的分组分解法.  知识点01  十字相乘法利用               来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.要点诠释：(1)在对 x2  bx  c 分解因式时，要先从常数项 c 的正、负入手，若c  0 ，则 p、q 同号(若c  0 ，则 p、q 异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定 p、q 的符号(2)若 x2  bx  c 中的b、c 为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 知识点02  首项系数不为 1 的十字相乘法在二次三项式 ax2  bx  c ( a ≠0)中，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即a  a1a2 ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c  c1c2 ，把 a1，a2，c1，c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c   a c ，若它正好等于二次三项式 ax2  bx  c 的1  2 2  1一次项系数 b ， 即 a1c2  a2c1  b ， 那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1 x  c1 与【要点诠释】知识点03  分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点    分组分解法 四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式 六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式 知识点03  添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 考法01   十字相乘法【典例1】【即学即练1】【典例2】【即学即练2】分解因式： (x2  3x)2  2(x2  3x)  8 ；【典例3】分解下列因式(1) (x2  x 1)(x2  x  2) 12 (2) (x2  3x  3)(x2  3x  4)  8 考法02  分组分解法【典例4】分解因式： x2  2xy  y2  3x  3y  2【即学即练3】分解因式：(1) a2  b2  ac  bc (2) 5a2  5b2  3a  3b(3) 3xy  y2  3x  4 y  5 考法03  拆项或添项分解因式【典例5】阅读理解：对于二次三项式 x2+2ax+a2 可以直接用公式法分解为(x+a)2 的形式，但对于二次三项式 x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式 x2+2ax﹣8a2 中先加上一项 a2，使其成为完全平方式，再减去 a2 这项，使整个式子的值不变，于是又：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=(x2+2ax+a2)﹣8a2﹣a2=(x+a)2﹣9a2=[(x+a)+3a][(x+a)﹣3]=(x+4a)(x﹣2a)像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．（1）  请认真阅读以上的添(拆)项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2 分解因式．（2）  直接填空：请用上述的添项法将方程的 x2﹣4xy+3y2=0 化为(x﹣   )•(x﹣      )=0 并直接写出 y 与 x 的关系式．(满足 xy≠0，且 x≠y) （3）  先化简﹣﹣ ，再利用(2)中 y 与 x 的关系式求值．  题组A  基础过关练1．下列因式分解正确的是(　　)A．x2＋9＝(x＋3)(x﹣3) B．x2＋x﹣6＝(x﹣2)(x＋3)C．3x﹣6y＋3＝3(x﹣2y) D．x2＋2x﹣1＝(x﹣1)22．下列分解因式正确的是(　　)A．﹣100p2﹣25q2＝(10p+5q)(10p﹣5q)B．x2+x﹣6＝(x﹣3)(x+2)C．﹣4m2+n2＝﹣(2m+n)(2m﹣n)D．3．下列因式分解结果正确的是(    )A．B．C．D．4．若，则的值为(    )A． B． C． D．5．如果二次三项式(为整数)在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是(    )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．下列因式分解正确的是(　　)A．x2﹣4=(x+4)(x﹣4) B．﹣2x+4=﹣2(x﹣2)C．x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4 D．x2+x+1=(x+1)27．下列从左到右的变形正确的是(  )A． B．C． D．8．下列分解因式正确的是(    )A． B．C． D． 题组B  能力提升练9．分解因式：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；(5)________；(6)________；(7)________；(8)________；(9)________．10．将下列各式因式分解：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；(5)________；(6)________．11．分解因式：______．12．因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．利用因式分解计算：(﹣2)2022+(﹣2)2021﹣22020＝___．13．填空：(1)((_______))(__________)(__________)；(2)(__________)(__________)(__________)．14．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为()米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是________米.题组C  培优拔尖练15．求下列各式的值：(1)若，互为相反数，求的值；(2)已知，求的值．16．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．例2．(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：．17．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝(x3﹣3x2)﹣(x2﹣x﹣6)第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；＝x2(x﹣3)﹣(x+2)(x﹣3)第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)；＝(x﹣3)(x2﹣x﹣2)第4步：提公因式法(整体)；＝(x﹣3)(x﹣2)(x+1)第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．(1)请你试一试分解因式x3﹣7x+6．(2)请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．18．(1)将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．①分解因式：；②若都是正整数且满足，求的值；(2)若为实数且满足，，求的最小值．19．观察下列式子的因式分解做法：①②③(1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解；(2)观察以上结果，猜想_______；(为正整数，直接写结果，不用验证)(3)根据以上结论，试求的值．