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押中考数学第23-24题（解答中档题：圆、二次函数的实际应用）-备战2023年中考数学临考题号押题（全国通用）
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这是一份押中考数学第23-24题（解答中档题：圆、二次函数的实际应用）-备战2023年中考数学临考题号押题（全国通用），文件包含押中考数学第23-24题解答中档题圆二次函数的实际应用解析版docx、押中考数学第23-24题解答中档题圆二次函数的实际应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共114页， 欢迎下载使用。
押中考数学第23-24题（解答中档题：圆、二次函数的实际应用）
专题诠释：圆和二次函数的实际应用在了历年的中考中均有所考察，分值一般在20-24之间，分值较高且有一定的难度。圆常常会结合勾股定理、全等、相似或锐角三角函数一起考察；二次函数的实际应用考察最多的是利润问题。能根据题意进行合理的转化是做题的关键！
目录
知识点一：圆 1
模块一 〖真题回顾〗 1
模块二 〖押题冲关〗 6
知识点二：二次函数的实际应用 13
模块一 〖真题回顾〗 13
模块二 〖押题冲关〗 17
知识点一：圆
模块一 〖真题回顾〗
1．（2022·福建·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF,CF．
(1)求证：AC=AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长（结果保留π）．
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
(1)求证：∠PCB=∠PAD；
(2)若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．
5．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=23，求BD的长．
6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
7．（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
8．（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CE的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
9．（2022·宁夏·中考真题）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
10．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·四川成都·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BO平分∠ABC，交AC于点O．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交BO于点D，连接AD．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)若OA=3，OC=277，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求tan∠BAD的值．
2．（2023·四川达州·统考一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2=AB⋅AF．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB=10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F．
(1)求证：EF=DF；
(2)连接OD交BC于点G，若EG=FG，求BC的长．
4．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．
(1)求证：AC与⊙O相切于点D．
(2)若BC=3，AC=4，求⊙O的半径．
5．（2023·广东东莞·校考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
(1)求证：CH是⊙O的切线：
(2)若点D为AH的中点，求证：AD=BE；
(3)若cos∠DBA=45，CG=10，求BD的长．
6．（2023·四川成都·统考二模）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，延长BF交AD的延长线于点C．
(1)求证：AB=BC；
(2)若⊙O的直径为5，sinA=35，求线段BF和BE的长．
7．（2023·陕西西安·统考二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
(1)OM⊥CD，OM=6，⊙O的半径为10，求弦CD的长；
(2)过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE=EF．
8．（2023·北京房山·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E．
(1)求证：∠BAC=2∠DBC；
(2)若cos∠BAC=35，DE=4，求BE的长．
9．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC=BC，∠CAB=∠BDE．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，AB=BE，求劣弧AC的长．
10．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．
(1)求证：∠C=∠CED．
(2)若CE=83，AD=4，求半圆O的半径r．
11．（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），点D在⊙O上，且满足AC=AD，直线BP切⊙O于点B，连接DC并延长交BP于E点，过点D作DF⊥BE，垂足为点F．
(1)求证：BE=BD．
(2)若OC=3，AO=5，求DF的长．
12．（2023·四川成都·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AB交于点E，连接AD，DE，AD平分∠BAC．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)若AE=10，AC=8，求BE和DE的长．
13．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相交于点M，连接DM，求证：DM=DC；
(3)若sin∠BAD=33，求证：AM=CE．
14．（2023·江西上饶·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP，交⊙O于点D，连接AD，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接PC和AC，AC交OP于点E．
(1)求证：PC是⊙O切线；
(2)若sin∠BAC=13，且AD=23，求切线PA的长．
15．（2023·四川成都·统考二模）AB为⊙O直径，AB=8，点C为AB的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD=3，点E是BC上一点，连接BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O于点F，垂足为点H．
(1)求AD和FH的长；
(2)延长FC、BE交于点G，若CEBE=35，求CG的长．
知识点二：二次函数的实际应用
模块一 〖真题回顾〗
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
2．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
3．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=ax2+bx+c(0≤x≤8)640,(8
0
1
2
3
…
8
8
0
150
280
390
…
640
640
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
4．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m=12x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量ykg与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量ykg
…
33
30
26
…
(1)求y与x的函数解析式；
(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
5．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
7．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
8．（2022·湖北荆门·统考中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
9．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
10．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·陕西西安·统考二模）近期某水果店以每千克12元的价格购进一批芒果，规定每千克芒果售价不低于进价又不高于36元．经市场调研发现，芒果的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
15
20
25
…
日销售量y（千克）
…
140
120
100
…
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当芒果的日销售量为130千克时，每千克芒果的售价应定为多少元？
(3)当某一天售价为最高时，求当日的销售利润．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第x天与该天销售量y（件）之间满足函数关系式为：y=2x+200（1≤x≤30且x为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天成一次函数关系，当x=1时，z=98，当x=2时，z=96．已知该头盔进价为40元／件．
(1)求z与x之同的函数关系式；
(2)求这30天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)在实际销售的前15天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价a元（a>2）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．
3．（2023·陕西西安·校考二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中xm是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，ym是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由，
4．（2023·四川成都·统考二模）2022年卡塔尔世界杯期间，某网点直接从工厂购进A，B两款拉伊卜吉祥物手办，A款的购进单价比B款贵20元，用400元购进A款手办的数量比用400元购进B款手办的数量少一件．A，B两款手办的销售单价分别是120元和95元．（注：利润=销售价-购进价）
(1)求A，B两款手办的购进单价分别是多少元？
(2)世界杯结束后，为了尽快减少库存，加快资金周转，网店决定对A款拉伊卜吉祥物手办进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售5件，经调查发现，每降价2元就可以多销售1件，试问将销售价定为每件多少元时，才能使A款手办平均每天的销售利润最大？
5．（2023·安徽蚌埠·校考二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．
(1)如果要求设计成水流在离OA距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？
6．（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）超市需购进某种商品，每件的进价为10元，该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系：
(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？
8．（2023·陕西西安·统考二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s
0
0.5
1
4.5
……
飞行高度h/m
2
9.5
16
33.5
……
(1)求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．王毅发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
9．（2023·湖北武汉·统考一模）某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件）
50
60
70
y（件）
1000
900
800
(1)求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
(3)规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m>0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
10．（2023·河南郑州·校考一模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：
售价x（元/件）
30
45
月销售量y（件）
300
270
(1)①求y关于x的函数表达式；
②该商品的进价为30元，当售价是多少元时，月销售利润w(元)最大？并求出最大利润； [注：月销售利润=月销售量×(售价−进价)]
(2)利润不低于10000时候的售价最少需要多少？
11．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为0，tt≥0．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若t=1时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足4a−19t+89=0，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
12．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）某公司推出一款5G手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量y（部）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，y与x的几组对应值如下表：
销售单价x/元
2700
2900
3200
3300
日销售量y/部
80
60
30
m
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）．
(2)请根据以上信息填空：
①表格中，m=______；
②当x=______时，日销售利润W（元）最大，最大利润是______元．
注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求x的取值范围．
13．（2023·北京平谷·统考一模）如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y（单位：m）与距离喷射口的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka<0．
(1)谷粒距离喷射口的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
3
4
5
竖直高度y/m
3.5
4.3
4.4
4.3
4.0
根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车厢的中心点．若货车车厢的中心点距地面1.9米，则货车车厢的中心点应距离喷射口几米？
(2)谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线①被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为A：y=−0.09x−3.22+4.42；B：y=−0.12x−2.82+4.44，则A、B对应的抛物线分别为A：______；B：______（写①或②即可）．
14．（2023·宁夏银川·校考一模）跳绳是一项很好的健身活动，如图①是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图②所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B，C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D，E离地均为80cm．点A，B，C，D，E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计，小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B，C两点，且甩绳形状始终保持不变．
(1)求经过脚底B，C 时绳子所在抛物线的解析式；
(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
15．（2023·北京顺义·统考一模）铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），由电子监测获得的部分数据如下：
水平距离x/m
0
3
6
9
12
15
18
…
竖直高度y/m
2.00
4.25
5.60
6.05
5.60
4.25
2.00
…
(1)根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=ax−ℎ2+k a<0；
(2)请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
(3) 请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
16．（2023·黑龙江大庆·统考一模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
(1)①图中点D所表示的实际意义是 ；
②产量每增加1kg，销售价格降低 元；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
17．（2023·广东深圳·校联考二模）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
18．（2023·山东临沂·统考一模）“Water Slide”（水滑梯）是广泛深受人们欢迎的娱乐项目．如图所示，该设备电脑系统会根据游客的身体各项指标喷出适量的水流，以满足游客（看成一个点）在空中和水中的运动轨迹能形成如图所示的两段抛物线，以确保安全．
如图所示：游客在高速水流和重力的作用下，从C点脱离滑道，做抛物线运动，经过最高点D后，在点E处入水，入水后的运动轨迹仍然是抛物线，且与入水前的抛物线关于点E成中心对称，经过最低点F后在H处游出水面．已知OC=5米，DN⊥x轴，ON=2米，DN=9米，FP⊥x轴，为节约用水，水池底部做成斜坡AM，坡度i=1：1，OA=2米，解答下列问题：
(1)求入水后抛物线的解析式（即E点右侧的抛物线），不必写出自变量的取值范围．
(2)当游客与水池底部斜坡AM的竖直距离超过0.7米时，不会发生危险．问：游客在此次入水的过程中是否会发生危险？请说明理由.
19．（2023·山东青岛·校联考一模）青岛市是远近闻名的“中国蛤蜊之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的蛤蜊经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
(1)求蛤蜊每次降价的百分率．
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天蛤蜊（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x/天
1≤x<9
9≤x<15
售价/（元/千克）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量/千克
105−3x
120−x
储存和损耗费用/元
40+3x
3x2−68x+300
已知蛤蜊的进价为8.2元/千克，设销售蛤蜊第x（天）的利润为y（元）
①求y与x(1≤x<15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？
②问这14天中，哪几天的销售利润不低于930元？请说明理由．
20．（2023·江苏扬州·统考一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如右表：
销售单价x（元/件）
⋅⋅⋅
60
70
75
⋅⋅⋅
每天销售量y（件）
⋅⋅⋅
240
180
150
⋅⋅⋅
（注：利润率=利润/成本）
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n<2）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
押中考数学第23-24题（解答中档题：圆、二次函数的实际应用）
专题诠释：圆和二次函数的实际应用在了历年的中考中均有所考察，分值一般在20-24之间，分值较高且有一定的难度。圆常常会结合勾股定理、全等、相似或锐角三角函数一起考察；二次函数的实际应用考察最多的是利润问题。能根据题意进行合理的转化是做题的关键！
目录
知识点一：圆 1
模块一 〖真题回顾〗 1
模块二 〖押题冲关〗 6
知识点二：二次函数的实际应用 13
模块一 〖真题回顾〗 13
模块二 〖押题冲关〗 17
知识点一：圆
模块一 〖真题回顾〗
1．（2022·福建·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF,CF．
(1)求证：AC=AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长（结果保留π）．
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
(1)求证：∠PCB=∠PAD；
(2)若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．
5．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=23，求BD的长．
6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
7．（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
8．（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CE的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
9．（2022·宁夏·中考真题）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
10．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·四川成都·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BO平分∠ABC，交AC于点O．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交BO于点D，连接AD．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)若OA=3，OC=277，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求tan∠BAD的值．
2．（2023·四川达州·统考一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2=AB⋅AF．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC内接于半圆O，已知AB是半圆O的直径．AB=10，AD平分∠BAC，分别交半圆O和BC于点D，E，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，交BC于点F．
(1)求证：EF=DF；
(2)连接OD交BC于点G，若EG=FG，求BC的长．
4．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．
(1)求证：AC与⊙O相切于点D．
(2)若BC=3，AC=4，求⊙O的半径．
5．（2023·广东东莞·校考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
(1)求证：CH是⊙O的切线：
(2)若点D为AH的中点，求证：AD=BE；
(3)若cos∠DBA=45，CG=10，求BD的长．
6．（2023·四川成都·统考二模）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，延长BF交AD的延长线于点C．
(1)求证：AB=BC；
(2)若⊙O的直径为5，sinA=35，求线段BF和BE的长．
7．（2023·陕西西安·统考二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
(1)OM⊥CD，OM=6，⊙O的半径为10，求弦CD的长；
(2)过点A作AN⊥BD交CD于点F，求证：CE=EF．
8．（2023·北京房山·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E．
(1)求证：∠BAC=2∠DBC；
(2)若cos∠BAC=35，DE=4，求BE的长．
9．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC=BC，∠CAB=∠BDE．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，AB=BE，求劣弧AC的长．
10．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．
(1)求证：∠C=∠CED．
(2)若CE=83，AD=4，求半圆O的半径r．
11．（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），点D在⊙O上，且满足AC=AD，直线BP切⊙O于点B，连接DC并延长交BP于E点，过点D作DF⊥BE，垂足为点F．
(1)求证：BE=BD．
(2)若OC=3，AO=5，求DF的长．
12．（2023·四川成都·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AB交于点E，连接AD，DE，AD平分∠BAC．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)若AE=10，AC=8，求BE和DE的长．
13．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相交于点M，连接DM，求证：DM=DC；
(3)若sin∠BAD=33，求证：AM=CE．
14．（2023·江西上饶·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP，交⊙O于点D，连接AD，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接PC和AC，AC交OP于点E．
(1)求证：PC是⊙O切线；
(2)若sin∠BAC=13，且AD=23，求切线PA的长．
15．（2023·四川成都·统考二模）AB为⊙O直径，AB=8，点C为AB的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD=3，点E是BC上一点，连接BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O于点F，垂足为点H．
(1)求AD和FH的长；
(2)延长FC、BE交于点G，若CEBE=35，求CG的长．
知识点二：二次函数的实际应用
模块一 〖真题回顾〗
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
2．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
3．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=ax2+bx+c(0≤x≤8)640,(8
0
1
2
3
…
8
8
0
150
280
390
…
640
640
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
4．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m=12x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量ykg与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量ykg
…
33
30
26
…
(1)求y与x的函数解析式；
(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
5．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
7．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
8．（2022·湖北荆门·统考中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
9．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
10．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·陕西西安·统考二模）近期某水果店以每千克12元的价格购进一批芒果，规定每千克芒果售价不低于进价又不高于36元．经市场调研发现，芒果的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
15
20
25
…
日销售量y（千克）
…
140
120
100
…
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当芒果的日销售量为130千克时，每千克芒果的售价应定为多少元？
(3)当某一天售价为最高时，求当日的销售利润．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第x天与该天销售量y（件）之间满足函数关系式为：y=2x+200（1≤x≤30且x为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天成一次函数关系，当x=1时，z=98，当x=2时，z=96．已知该头盔进价为40元／件．
(1)求z与x之同的函数关系式；
(2)求这30天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)在实际销售的前15天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价a元（a>2）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．
3．（2023·陕西西安·校考二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中xm是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，ym是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由，
4．（2023·四川成都·统考二模）2022年卡塔尔世界杯期间，某网点直接从工厂购进A，B两款拉伊卜吉祥物手办，A款的购进单价比B款贵20元，用400元购进A款手办的数量比用400元购进B款手办的数量少一件．A，B两款手办的销售单价分别是120元和95元．（注：利润=销售价-购进价）
(1)求A，B两款手办的购进单价分别是多少元？
(2)世界杯结束后，为了尽快减少库存，加快资金周转，网店决定对A款拉伊卜吉祥物手办进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售5件，经调查发现，每降价2元就可以多销售1件，试问将销售价定为每件多少元时，才能使A款手办平均每天的销售利润最大？
5．（2023·安徽蚌埠·校考二模）如图，蚌埠花博园要建造一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如图1，由柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方面沿形状相同的抛物线落下．
(1)如果要求设计成水流在离OA距离为1米处达到最高点，且与水面的距离是4米，那么水池的内部半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外；（利用图2所示的坐标系进行计算）
(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池内部的半径为5米，要使水流不落到池外，此时水流达到的最高点与水面的距离应是多少米？
6．（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）超市需购进某种商品，每件的进价为10元，该商品的销售单价不低于进价，且不高于20元，在销售过程中发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系：
(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？
8．（2023·陕西西安·统考二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s
0
0.5
1
4.5
……
飞行高度h/m
2
9.5
16
33.5
……
(1)求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．王毅发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
9．（2023·湖北武汉·统考一模）某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件）
50
60
70
y（件）
1000
900
800
(1)求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
(3)规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（m>0）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
10．（2023·河南郑州·校考一模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：
售价x（元/件）
30
45
月销售量y（件）
300
270
(1)①求y关于x的函数表达式；
②该商品的进价为30元，当售价是多少元时，月销售利润w(元)最大？并求出最大利润； [注：月销售利润=月销售量×(售价−进价)]
(2)利润不低于10000时候的售价最少需要多少？
11．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为0，tt≥0．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若t=1时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足4a−19t+89=0，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
12．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）某公司推出一款5G手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量y（部）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，y与x的几组对应值如下表：
销售单价x/元
2700
2900
3200
3300
日销售量y/部
80
60
30
m
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）．
(2)请根据以上信息填空：
①表格中，m=______；
②当x=______时，日销售利润W（元）最大，最大利润是______元．
注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求x的取值范围．
13．（2023·北京平谷·统考一模）如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y（单位：m）与距离喷射口的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka<0．
(1)谷粒距离喷射口的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
3
4
5
竖直高度y/m
3.5
4.3
4.4
4.3
4.0
根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车厢的中心点．若货车车厢的中心点距地面1.9米，则货车车厢的中心点应距离喷射口几米？
(2)谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线①被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为A：y=−0.09x−3.22+4.42；B：y=−0.12x−2.82+4.44，则A、B对应的抛物线分别为A：______；B：______（写①或②即可）．
14．（2023·宁夏银川·校考一模）跳绳是一项很好的健身活动，如图①是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图②所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B，C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D，E离地均为80cm．点A，B，C，D，E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计，小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B，C两点，且甩绳形状始终保持不变．
(1)求经过脚底B，C 时绳子所在抛物线的解析式；
(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
15．（2023·北京顺义·统考一模）铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），由电子监测获得的部分数据如下：
水平距离x/m
0
3
6
9
12
15
18
…
竖直高度y/m
2.00
4.25
5.60
6.05
5.60
4.25
2.00
…
(1)根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=ax−ℎ2+k a<0；
(2)请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
(3) 请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
16．（2023·黑龙江大庆·统考一模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
(1)①图中点D所表示的实际意义是 ；
②产量每增加1kg，销售价格降低 元；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
17．（2023·广东深圳·校联考二模）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
18．（2023·山东临沂·统考一模）“Water Slide”（水滑梯）是广泛深受人们欢迎的娱乐项目．如图所示，该设备电脑系统会根据游客的身体各项指标喷出适量的水流，以满足游客（看成一个点）在空中和水中的运动轨迹能形成如图所示的两段抛物线，以确保安全．
如图所示：游客在高速水流和重力的作用下，从C点脱离滑道，做抛物线运动，经过最高点D后，在点E处入水，入水后的运动轨迹仍然是抛物线，且与入水前的抛物线关于点E成中心对称，经过最低点F后在H处游出水面．已知OC=5米，DN⊥x轴，ON=2米，DN=9米，FP⊥x轴，为节约用水，水池底部做成斜坡AM，坡度i=1：1，OA=2米，解答下列问题：
(1)求入水后抛物线的解析式（即E点右侧的抛物线），不必写出自变量的取值范围．
(2)当游客与水池底部斜坡AM的竖直距离超过0.7米时，不会发生危险．问：游客在此次入水的过程中是否会发生危险？请说明理由.
19．（2023·山东青岛·校联考一模）青岛市是远近闻名的“中国蛤蜊之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的蛤蜊经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
(1)求蛤蜊每次降价的百分率．
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天蛤蜊（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x/天
1≤x<9
9≤x<15
售价/（元/千克）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量/千克
105−3x
120−x
储存和损耗费用/元
40+3x
3x2−68x+300
已知蛤蜊的进价为8.2元/千克，设销售蛤蜊第x（天）的利润为y（元）
①求y与x(1≤x<15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？
②问这14天中，哪几天的销售利润不低于930元？请说明理由．
20．（2023·江苏扬州·统考一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如右表：
销售单价x（元/件）
⋅⋅⋅
60
70
75
⋅⋅⋅
每天销售量y（件）
⋅⋅⋅
240
180
150
⋅⋅⋅
（注：利润率=利润/成本）
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n<2）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
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