押广东卷20题（作图与几何证明）-备战 中考数学临考题号押题（广东卷）

押广东卷第20题

作图与几何证明

广东中考对与尺规作图有关知识的考查要求不高，2019年和2021年广东中考均是以简答题6分题进行考查，难度不大。2020年与尺规作图有关知识考查在填空题中进行考查，要求考生熟练掌握与与尺规作图有关知识．纵观近几年的中考考试题，主要考查以下两个方面：一是垂直平分线或角平分线作图，二是进行一些简单证明或计算。

考生在备考此类型题目时，除了能画出一些图形（如：角平分线，垂直平分线，高，中线，圆等），还需要掌握角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，图形全等、相似，三角函数的定义及勾股定理等知识。

1．（2021•广东）如图，在中，，作垂直平分线交于点D，延长至点E，使．

（1）若，求的周长；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1；（2）

【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；

(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．

【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，

∵为垂直平分线，

∴，

∵，

∴．

(2)设，∴，

又∵，∴，

在中，．

∴．

2．（2019•广东）如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆

心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度

数为___________．

【分析】垂直平分线的性质、菱形的性质，菱形的对角线平分对角，可知∠ABC=150°，∠ABD=75°

【解答】菱形ABCD中，∠A=30°

∴∠ABC=150°，∠ABD=75°

∵AE=BE

∴∠A=∠ABE=30°

∴∠EBD=∠ABD－∠ABE=45°

故答案为：45°

3．（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．

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【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；

（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．

【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠B

∴DE∥BC，

∴＝＝2．

3．（2018广东）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；

（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；

【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．

∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，

∴∠C=∠A=30°，

∵EF垂直平分线线段AB，

∴AF=FB，

∴∠A=∠FBA=30°，

∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．

1．（2022年广东省佛山市禅城区中考数学一模）如图，在▱ABCD中，AD＞AB．

（1）尺规作图：作DC边的中垂线MN，交AD边于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度数．

【答案】（1）见解析    （2）∠AEC=100°

【分析】（1）分别与C、D为圆心，以大于二分之一CD长为半径，画弧，连接两焦点即可；

（2）根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求解；

【小问1详解】

如图：

【小问2详解】

如图：

在▱ABCD中

∵∠BAD＝130°；∠BAD+∠ADC=180°

∴∠ADC=50°

由线段垂直平分线的性质可知，ED=EC

∴∠ADC=∠ECD=50°

∴∠AEC=∠ADC+∠ECD=50°+50°=100°

2．（汕尾市2021-2022学年度义务教育学业质量监测九年级二模）如图，在平行四边形中，．

（1）在边上确定点，使点到边，的距离相等（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）中所作的图形中，若，，则_______．

【答案】（1）见详解；（2）2

【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；

（2）根据平行四边形的性质可知AB＝CD＝6，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAP＝∠BPA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．

【详解】解：（1）如图所示：

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝6，AD∥BC，

∴∠DAP＝∠APB，

∵AP是∠BAD的平分线，

∴∠DAP＝∠BAP，

∴∠BAP＝∠BPA，

∴BP＝BA＝6，

∴CP＝BC−BP＝AD-BP=8-6=2．

3．（2022年广东省广州市黄埔区中考一模）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，BC＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析    （2）⊙O的半径为．

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可；

（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE=ON=r，利用面积法构建方程求解即可．

【小问1详解】

解：如图，直线l，⊙O即为所求．

；

【小问2详解】

（2）过点O作OE⊥AB于E．

设OE=ON=r，
∵BM=，BC=2，MN垂直平分线段BC，

∴BN=CN=1，
∴MN= ，

∵S△BNM=S△BNO+S△BOM，

∴×1×=×1×r+××r，

解得，r=．

∴⊙O的半径为．

1．（2021·广东惠东·二模）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．

【分析】

（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；

（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．

【详解】

（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；

（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∵∠C=90°，

∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠CBA．

2．（2021·广东佛山·一模）如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°．

（1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．

（2）求证：△ABD是等腰三角形．

【分析】

（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可；

（2）由题意易得∠B＝∠C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解．

【详解】

解：（1）如图，点D即为所求；

（2）连接AD，

∵AB＝AC，∠A＝108°，

∴∠B＝∠C＝36°，

由（1）得：AD＝CD，

∴∠DAC＝∠C＝36°，

∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，

∴∠BAD＝∠BDA，

∴AB＝BD，

∴△ABD是等腰三角形．

3．（2021·广东韶关·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

【分析】

（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

【详解】

试题分析：

解：（1）如图所示：

（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，

理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF平分∠EAC，

∴∠EAF=∠FAC，

∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，

即△ADF是直角三角形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，

∴∠EAF=∠B，

∴AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDC，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，

∴AD=AF，

即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

3．（珠海市文园中学2022年中考第一次模拟考试）如图，已知锐角中，．

（1）请尺规作图：作的BC边上的高AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，若，，则经过A，C，D三点的圆的半径_____________．

【答案】（1）见解析    （2）

【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC为半径作弧，两弧交于点E\，连接AE交BC于D，则AD就是△ABC的高；

（2）由AD⊥BC可知，AC是经过A，C，D三点的圆的直径，根据垂径定理可知CD=BC=4，由勾股定理可求AC的长，进而可求半径．

【小问1详解】

解：作图如图：

【小问2详解】

解：∵AB=AC，AD⊥BC

∴AD是△ABC的中线

∴BD=CD=

∴AC=

∵∠ADC=90°

∵AC是经过A，C、D三点的圆的直径

∴半径r=

故答案为：．