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押中考数学第25-26题（解答压轴题：几何探究）-备战2023年中考数学临考题号押题（全国通用）
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押中考数学第25-26题（解答压轴题：几何探究）
专题诠释：几何探究题型是中考数学常见的题型，常以压轴题的形式出现，是数学学习中的重点也是难点。探索的问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，尤其是对基本图形和基本结构的认识，大题可以小作，拆分成基础问题再进行解答！
目录
模块一 〖真题回顾〗 1
知识点一：和旋转有关的几何探究 1
知识点二：和图形性质有关的探究 8
模块二 〖押题冲关〗 14
模块一 〖真题回顾〗
知识点一：和旋转有关的几何探究
1．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE
(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
2．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1=36，S3=100时，S2=______．
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是______．
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN=S四边形PMFG；
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB=4，柱体的高ℎ=8，直接写出V1+V2的值．
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B'E'D（点B'，E'分别与点B，E对应），连接CE'、AB'，在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE'与AD、AB'分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB'的长．
4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
5．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=32时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
6．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．
(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求：CEDG的值为多少；
(3)AB=82，AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
7．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG,BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．
请你证明：AG=BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
8．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；
(2)如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌△FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
9．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=25,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF．
(1)如图1，求证：DF=52DE；
(2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
10．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为t(s)(0
(1)当EQ⊥AD时，求t的值；
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
知识点二：和图形性质有关的探究
11．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．
【问题解决】
(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．
∴∠EFA=∠BFA=45°．
∴AF=2AB=AD．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
12．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
(1)问题解决：
如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN=______；
(2)问题探究：
如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
(3)拓展延伸：
当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
13．（2022·天津·统考中考真题）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，点C(0,6)，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ=30°，点O的对应点O'落在第一象限．设OQ=t．
(1)如图①，当t=1时，求∠O'QA的大小和点O'的坐标；
(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，O'Q,O'P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O'E的长，并直接写出t的取值范围；
(3)若折叠后重合部分的面积为33，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）．
14．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
15．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
16．（2022·山东东营·统考中考真题）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
17．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝12∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC的长．
18．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证：∠DBG=90°.
(2)若BD=6，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积.
②求tan∠BDE的值.
(3)若BE=AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
19．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
20．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=3AB；
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值．
模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)操作判断：
在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作EF∥BC交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，△PMN是________三角形．
(2)迁移探究：
如图②，若BE=5，且ME⋅MF=10，求正方形ABCD的边长．
如图③，若MNBC=1n(n>1)，直接写出CQBC的值为_______．
2．（2023·安徽亳州·统考一模）综合与实践
(1)问题解决：已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE=BF，连接AE．如图1，当点E在BC上时，请判断AE和CF的关系，并说明理由．
(2)问题探究：如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：AH−CH=2BH；
(3)问题拓展：将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB=45°时，若AB=3，BE=1，请直接写出线段CH的长．
3．（2023·陕西西安·统考二模）问题提出
（1）如图1，⊙O是△ABC的内接圆，∠A=60°，BC=4，则⊙O半径长等于______；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，若在边CD上存在一点P，使得∠APB=90°，求矩形ABCD面积的最大值；
问题解决
（3）如图3，是一个矩形广场，其中AB=60m，BE足够长．为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场ABCD，其中C，D分别在边BE，AF上，且∠BCD=45°．在具体施工中安全联防小组要求在CD上找到一点Q，使得∠AQB=45°，以便安装摄像头对市场进行安全监管．请问满足上面要求的市场ABCD是否存在，若存在，请求出市场ABCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
4．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
(1)求证：MF=NF；
(2)若AB=6，BC=10时，求MF的长；
(3)若NF=12AN+FD时，求ABBC的值．
5．（2023·广东广州·统考一模）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；
(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
6．（2023·安徽合肥·校考一模）（1）【初步体验】如图1，正方形ABCD中，点E，F分别是AD、AB边上，且BE⊥CF于点O，求证：BE=CF．
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，连接AO并延长交BC于点G，若点G为BC边中点，求证：AE2=AF⋅AB．
（3）【灵活运用】如图3，在（2）的条件下，连接EF并延长交CB的延长线于点H，求AEGH的值．
7．（2023·山东菏泽·统考一模）实践与探究
操作一：如图①，将矩形纸片ABCD对折并展开，折痕PQ与对角线AC交于点E，连接BE，则BE与AC的数量关系为______．
操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、ME．求证：DM=ME．
拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、ME、DE．已知正方形纸片ABCD的边长为5，正方形纸片ECGF的边长为22，求△DME的面积．
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点E是线段AC上的动点（点E不与点A和点C重合），点F在线段BC上，线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FD，点D恰好落在AB上．
(1)如图1，若EF∥AB，请直接写出线段DB和CE的数量关系；
(2)如图2，若EF与AB不平行．
①请写出线段BF，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；
②连接DE，若AC=4，tan∠EDA=12，请直接写出线段CF的长．
9．（2023·河南洛阳·东方二中校考二模）（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE，BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：
①DFAG=____________；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于____________度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG.
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE=4，请求出AB的长；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若AB=4PB，则DEEF的值是__________.
10．（2023·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）【问题探究】（1）如图（1）在正方形ABCD中，AB=6，点E为DC上的点，DE=2CE，连接BE，点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，则MN的长度为 ．
【类比迁移】（2）如图（2）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连接BD，过BD的中点O作MN⊥BD交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．
【拓展应用】（3）如图（3）李大爷家有一块平行四边形ABCD的菜地，测得AB=52米，BC=7米，∠ABC=45°，为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计），求新开出的小路MN的长度．
11．（2023·陕西西安·校考三模）问题提出：
(1)如图①，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．
问题探究：
(2)如图②，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点D为AB边的中点，且∠EDF=90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决：
(3)某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区．根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM=FM，∠EMF=60°，四边形AEMF的面积为2003平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
12．（2023·四川成都·统考二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，点D，E分别是AB，AC中点，连接DE．在同一平面内，将△ADE绕点A逆时针旋转，射线BD，CE相交于点P．
(1)如图2，在旋转过程中，∠BPC的角度是否不变？若不变，请求出∠BPC的度数．
(2)如图2，当∠BAD=120°时，求线段PC的长．
(3)连接DC，当线段PC取得最小值时，求线段DC的值．
13．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．
(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如 是等邻角四边形；
(2)问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
(3)应用拓展：如图2，在△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将△ABD绕着点A顺时针旋转角α0°<∠α<∠BAC得到△AB'D'（如图3），当四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
14．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）问题探究：
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是____________；
(2)如图②，菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点M在AD上，点N在BC上，若MN平分菱形ABCD的面积，且线段MN的长度最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN的长度.
间题解决：
(3)合理开发利用土地资源能为人类持续创造更多财富，如图③，现有一块四边形空地ABCD计划改造利用，经测量AB=60m，AD=80m，AB∥CD，∠ABC=∠C=90°，∠D=60°，P是BC边上的一个移动观测点，过AB边上一点E修一条垂直于AP的笔直小路EF（小路宽度不计），交CD边于点F，在垂足M处建一凉亭，在凉亭M和顶点B之间修一条绿化带（宽度不计），请问是否存在EF平分四边形土地ABCD的面积？若存在，求出在EF平分四边形土地ABCD的面积时绿化带BM长度的最小值；若不存在，请说明理由.
15．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
(1)求线段CE的长．
(2)判断四边形AFGD是什么特殊四边形，并说明理由．
(3)如图，M、N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设DN=x．是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
16．（2023·湖北宜昌·校考一模）已知：在矩形ABCD中，ABBC=k，点P是BC上一动点（不与端点B，C重合），连接AP，PQ⊥AP于点P，交CD于点Q，连接AQ．
(1)如图1，当点P运动到BC的中点时．
①求证：△ABP∽△PCQ∽△APQ；
②若∠DAQ=60°，求k的值；
(2)如图2，当k>12时，点P在运动的过程中，是否存在点Q和点D重合的情况？若存在，试确定此时P点的位置；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，当k=1时，PQ的延长线交正方形外角∠DCI的平分线于点G，连接AG交边CD于点H，连接PH，当AQ最小时，求PHHQ的值．
17．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连接AC，作BE⊥射线CD于点E．
(1)猜想∠BDE的度数，并说明理由
(2)连接OD，若OD∥AC，求证：CD=2DE．
(3)如图2，作正方形OBFC，连接OE，EF，OE交BD于点G．若OG=2GE，EF=2，求BE的长．
18．（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）已知△ABC和△DEB都是等腰三角形，AB=6，BD=2．
(1)当∠A=∠BDE=60°时：
①如图1，当点D在边AB上时，请直接写出CE和AD的数量关系：___________；
②如图2，当点D不在AB边上时，判断线段CE和AD的数量关系，并说明理由．
(2)如图3，当∠A=∠BDE=90°时，请直接写出CE和AD的数量关系：____________________；
(3)在(1)的条件下，将△DEB绕点B逆时针旋转α(0∘<α<360∘)，当BC=CD时，请直接写出AD的长度．
19．（2023·山西晋城·统考一模）综合与实践
动手操作：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在BC边上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为BO、CO，如图②；
第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线OB与直线OC重合，且O、E、C三点在同一条直线上，折痕分别为OG、OH，如图③；
第三步：在图③的基础上继续折叠，使△OGB与△OHC重合，得到图④，展开铺平，连接FH，MG交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．
问题解决：
(1)在图⑤中，∠BGO的度数是 ；
(2)在图⑤中，请判断四边形OFNM的形状，并说明理由；
(3)试判断线段ON与GH的数量关系，并证明；
(4)若AB=1，则AF的长是 ．（提示：12+1=2−1）
20．（2023·湖南岳阳·统考一模）（1）【问题情境】如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，且AE⊥BF于点G，求证：BFAE=ABAD；
（2）【变式思考】如图②，在（1）的条件下，连接CG，若CG=CB，求证：点E是DC的中点；
（3）【深入探究】如图③，在矩形ABCD中，点E、F、H分别在边CD、AD、BC上，且AE⊥HF于点G，连接CG，设∠HCG=2α，且sinα=1010，若CG=CH,BHCH=m，求DEHG的值（用含m的代数式表示）
押中考数学第25-26题（解答压轴题：几何探究）
专题诠释：几何探究题型是中考数学常见的题型，常以压轴题的形式出现，是数学学习中的重点也是难点。探索的问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，尤其是对基本图形和基本结构的认识，大题可以小作，拆分成基础问题再进行解答！
目录
模块一 〖真题回顾〗 1
知识点一：和旋转有关的几何探究 1
知识点二：和图形性质有关的探究 8
模块二 〖押题冲关〗 14
模块一 〖真题回顾〗
知识点一：和旋转有关的几何探究
1．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE
(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
2．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1=36，S3=100时，S2=______．
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是______．
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN=S四边形PMFG；
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB=4，柱体的高ℎ=8，直接写出V1+V2的值．
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B'E'D（点B'，E'分别与点B，E对应），连接CE'、AB'，在△BED旋转的过程中CE'与AB'的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE'与AD、AB'分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB'的长．
4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
5．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=32时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
6．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．
(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求：CEDG的值为多少；
(3)AB=82，AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
7．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG,BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．
请你证明：AG=BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
8．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；
(2)如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌△FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
9．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=25,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF．
(1)如图1，求证：DF=52DE；
(2)如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
10．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为t(s)(0
(1)当EQ⊥AD时，求t的值；
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
知识点二：和图形性质有关的探究
11．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．
【问题解决】
(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．
∴∠EFA=∠BFA=45°．
∴AF=2AB=AD．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
12．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
(1)问题解决：
如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN=______；
(2)问题探究：
如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
(3)拓展延伸：
当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
13．（2022·天津·统考中考真题）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，点C(0,6)，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ=30°，点O的对应点O'落在第一象限．设OQ=t．
(1)如图①，当t=1时，求∠O'QA的大小和点O'的坐标；
(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，O'Q,O'P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O'E的长，并直接写出t的取值范围；
(3)若折叠后重合部分的面积为33，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）．
14．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
15．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
16．（2022·山东东营·统考中考真题）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
17．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝12∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC的长．
18．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证：∠DBG=90°.
(2)若BD=6，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积.
②求tan∠BDE的值.
(3)若BE=AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
19．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
20．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=3AB；
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值．
模块二 〖押题冲关〗
1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)操作判断：
在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作EF∥BC交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，△PMN是________三角形．
(2)迁移探究：
如图②，若BE=5，且ME⋅MF=10，求正方形ABCD的边长．
如图③，若MNBC=1n(n>1)，直接写出CQBC的值为_______．
2．（2023·安徽亳州·统考一模）综合与实践
(1)问题解决：已知四边形ABCD是正方形，以B为顶点作等腰直角三角形BEF，BE=BF，连接AE．如图1，当点E在BC上时，请判断AE和CF的关系，并说明理由．
(2)问题探究：如图2，点H是AE延长线与直线CF的交点，连接BH，将△BEF绕点B旋转，当点F在直线BC右侧时，求证：AH−CH=2BH；
(3)问题拓展：将△BEF绕点B旋转一周，当∠CFB=45°时，若AB=3，BE=1，请直接写出线段CH的长．
3．（2023·陕西西安·统考二模）问题提出
（1）如图1，⊙O是△ABC的内接圆，∠A=60°，BC=4，则⊙O半径长等于______；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，若在边CD上存在一点P，使得∠APB=90°，求矩形ABCD面积的最大值；
问题解决
（3）如图3，是一个矩形广场，其中AB=60m，BE足够长．为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场ABCD，其中C，D分别在边BE，AF上，且∠BCD=45°．在具体施工中安全联防小组要求在CD上找到一点Q，使得∠AQB=45°，以便安装摄像头对市场进行安全监管．请问满足上面要求的市场ABCD是否存在，若存在，请求出市场ABCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
4．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，作∠ABF的角平分线交EF的延长线于点M，BM交AD于点N．
(1)求证：MF=NF；
(2)若AB=6，BC=10时，求MF的长；
(3)若NF=12AN+FD时，求ABBC的值．
5．（2023·广东广州·统考一模）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．
①若CD=3，AC⊥CD于点C，求AD的长；
②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的长；
(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
6．（2023·安徽合肥·校考一模）（1）【初步体验】如图1，正方形ABCD中，点E，F分别是AD、AB边上，且BE⊥CF于点O，求证：BE=CF．
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，连接AO并延长交BC于点G，若点G为BC边中点，求证：AE2=AF⋅AB．
（3）【灵活运用】如图3，在（2）的条件下，连接EF并延长交CB的延长线于点H，求AEGH的值．
7．（2023·山东菏泽·统考一模）实践与探究
操作一：如图①，将矩形纸片ABCD对折并展开，折痕PQ与对角线AC交于点E，连接BE，则BE与AC的数量关系为______．
操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、ME．求证：DM=ME．
拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、ME、DE．已知正方形纸片ABCD的边长为5，正方形纸片ECGF的边长为22，求△DME的面积．
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点E是线段AC上的动点（点E不与点A和点C重合），点F在线段BC上，线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FD，点D恰好落在AB上．
(1)如图1，若EF∥AB，请直接写出线段DB和CE的数量关系；
(2)如图2，若EF与AB不平行．
①请写出线段BF，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；
②连接DE，若AC=4，tan∠EDA=12，请直接写出线段CF的长．
9．（2023·河南洛阳·东方二中校考二模）（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE，BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：
①DFAG=____________；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于____________度；
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG.
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE=4，请求出AB的长；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若AB=4PB，则DEEF的值是__________.
10．（2023·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）【问题探究】（1）如图（1）在正方形ABCD中，AB=6，点E为DC上的点，DE=2CE，连接BE，点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，则MN的长度为 ．
【类比迁移】（2）如图（2）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连接BD，过BD的中点O作MN⊥BD交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．
【拓展应用】（3）如图（3）李大爷家有一块平行四边形ABCD的菜地，测得AB=52米，BC=7米，∠ABC=45°，为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计），求新开出的小路MN的长度．
11．（2023·陕西西安·校考三模）问题提出：
(1)如图①，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．
问题探究：
(2)如图②，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点D为AB边的中点，且∠EDF=90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决：
(3)某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区．根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM=FM，∠EMF=60°，四边形AEMF的面积为2003平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
12．（2023·四川成都·统考二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，点D，E分别是AB，AC中点，连接DE．在同一平面内，将△ADE绕点A逆时针旋转，射线BD，CE相交于点P．
(1)如图2，在旋转过程中，∠BPC的角度是否不变？若不变，请求出∠BPC的度数．
(2)如图2，当∠BAD=120°时，求线段PC的长．
(3)连接DC，当线段PC取得最小值时，求线段DC的值．
13．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．
(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如 是等邻角四边形；
(2)问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
(3)应用拓展：如图2，在△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将△ABD绕着点A顺时针旋转角α0°<∠α<∠BAC得到△AB'D'（如图3），当四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
14．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）问题探究：
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是____________；
(2)如图②，菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点M在AD上，点N在BC上，若MN平分菱形ABCD的面积，且线段MN的长度最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN的长度.
间题解决：
(3)合理开发利用土地资源能为人类持续创造更多财富，如图③，现有一块四边形空地ABCD计划改造利用，经测量AB=60m，AD=80m，AB∥CD，∠ABC=∠C=90°，∠D=60°，P是BC边上的一个移动观测点，过AB边上一点E修一条垂直于AP的笔直小路EF（小路宽度不计），交CD边于点F，在垂足M处建一凉亭，在凉亭M和顶点B之间修一条绿化带（宽度不计），请问是否存在EF平分四边形土地ABCD的面积？若存在，求出在EF平分四边形土地ABCD的面积时绿化带BM长度的最小值；若不存在，请说明理由.
15．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
(1)求线段CE的长．
(2)判断四边形AFGD是什么特殊四边形，并说明理由．
(3)如图，M、N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设DN=x．是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
16．（2023·湖北宜昌·校考一模）已知：在矩形ABCD中，ABBC=k，点P是BC上一动点（不与端点B，C重合），连接AP，PQ⊥AP于点P，交CD于点Q，连接AQ．
(1)如图1，当点P运动到BC的中点时．
①求证：△ABP∽△PCQ∽△APQ；
②若∠DAQ=60°，求k的值；
(2)如图2，当k>12时，点P在运动的过程中，是否存在点Q和点D重合的情况？若存在，试确定此时P点的位置；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，当k=1时，PQ的延长线交正方形外角∠DCI的平分线于点G，连接AG交边CD于点H，连接PH，当AQ最小时，求PHHQ的值．
17．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，D是弧BC上的动点（不含点B，C），连接AC，作BE⊥射线CD于点E．
(1)猜想∠BDE的度数，并说明理由
(2)连接OD，若OD∥AC，求证：CD=2DE．
(3)如图2，作正方形OBFC，连接OE，EF，OE交BD于点G．若OG=2GE，EF=2，求BE的长．
18．（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）已知△ABC和△DEB都是等腰三角形，AB=6，BD=2．
(1)当∠A=∠BDE=60°时：
①如图1，当点D在边AB上时，请直接写出CE和AD的数量关系：___________；
②如图2，当点D不在AB边上时，判断线段CE和AD的数量关系，并说明理由．
(2)如图3，当∠A=∠BDE=90°时，请直接写出CE和AD的数量关系：____________________；
(3)在(1)的条件下，将△DEB绕点B逆时针旋转α(0∘<α<360∘)，当BC=CD时，请直接写出AD的长度．
19．（2023·山西晋城·统考一模）综合与实践
动手操作：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在BC边上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为BO、CO，如图②；
第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线OB与直线OC重合，且O、E、C三点在同一条直线上，折痕分别为OG、OH，如图③；
第三步：在图③的基础上继续折叠，使△OGB与△OHC重合，得到图④，展开铺平，连接FH，MG交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．
问题解决：
(1)在图⑤中，∠BGO的度数是 ；
(2)在图⑤中，请判断四边形OFNM的形状，并说明理由；
(3)试判断线段ON与GH的数量关系，并证明；
(4)若AB=1，则AF的长是 ．（提示：12+1=2−1）
20．（2023·湖南岳阳·统考一模）（1）【问题情境】如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，且AE⊥BF于点G，求证：BFAE=ABAD；
（2）【变式思考】如图②，在（1）的条件下，连接CG，若CG=CB，求证：点E是DC的中点；
（3）【深入探究】如图③，在矩形ABCD中，点E、F、H分别在边CD、AD、BC上，且AE⊥HF于点G，连接CG，设∠HCG=2α，且sinα=1010，若CG=CH,BHCH=m，求DEHG的值（用含m的代数式表示）
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