初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形精品课件ppt

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定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，则AB，AC为腰，BC为底边，两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角.
1、了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.2、探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点.
剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.
把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角.由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出你的猜想.
重合的线段：AB和AC，BD和CD；重合的角：∠BAD=∠CAD， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC.
猜想：等腰三角形的两个底角相等，折痕AD为∠BAC的角平分线，为底边BC的中线，为底边BC的高.
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.
（1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法，这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便.（2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
几何语言：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD.②∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC ，BD=CD.③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC .
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）. ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC.
证明：∵AD是底边BC的中线， ∴BD=CD.在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. ∴AD平分∠BAC.∵ ∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：∠BAD=∠CAD ，BD=CD.
证明：∵AD是底边BC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC， AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD .
（1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直.（2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.（2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.（3）等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一点到两腰的距离相等.
解：∵AB=AC，∠BAC=90° , ∴∠B=∠C=45°. ∵AB=AC，AD是底边BC上的高， ∴AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=45°. ∴AD是底边BC上的中线，则BD=CD.
如图，△ABC是等腰三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，请写出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并说明BD=CD.
如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A.35° B.45° C.55° D.60°
解：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C，AD⊥BC. ∵∠B=90°-∠BAD=55°, ∴∠C=55°.
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA,则∠B的大小为（ ） A.40° B.36° C.80° D.25°
解：∵AB=AC， ∴∠C=∠B. ∵BD=BA，DA=DC， ∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B. 设∠C=∠B=x，则∠BAD=∠BDA=2x. ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°, ∴x=36°. ∴∠B=36°.
如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A.50° B.60° C.65° D.70°
解：∵AB//CD，∠1=65°, ∴∠ACD=∠1=65°. ∵AD=CD， ∴∠DCA=∠DAC=65°. ∴∠2的度数为：180°- 65°-65°=50°.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= （180°-26°）=77°. ∵AD=CD， ∴∠C=∠DAC. ∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC， ∴∠C的度数为 ∠ADB=38.5°.
（1）已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？（2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
（1）已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？
解：因为等腰三角形的两个底角相等， 所以这个已知的角只能是顶角， 则两个底角的度数都是 （180°-130°）=25°, 所以另外两个内角的度数分别为25°，25°.
（2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？
解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角. 则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°, 所以另外两个内角的度数分别为70°，70°. ②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角， 一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°.
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论：①12厘米，8厘米 ②12厘米，18厘米还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边.