初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程学案及答案，共82页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，知识点五等内容，欢迎下载使用。




第七讲 一元二次方程的解法与应用


研真题 知考向

1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.一元二次方程的相关概念
了解
2.用直接开平方法解一元二次方程
理解
3.用配方法和公式法解一元二次方程
理解并掌握
4.用因式分解法解一元二次方程
灵活运用
5.一元二次方程的实际应用
理解并掌握

2.实时考向
本讲内容是一元二次方程的基础知识，难度不大，但学生要理解透相关的概念。用配方法和公式法解一元二次方程是本章的重点。
解重点 固根基




基





【知识点一】一元二次方程的相关概念

1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
（2）任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式 ()．
要特别注意对于关于x的方程．当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．
（3）关于x的一元二次方程式的项与各项的系数．
为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项．
题型一 一元二次方程的相关概念

例1、（2020师博八下期末）下列方程属于一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
变式1、（2020长培八下期中）下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
变式2、（2020广益八下期末）关于的方程是一元二次方程，则方程的一次项系数是( )
A. B. C. D.或
变式3、已知方程，当满足__________时，它是一元一次方程；当满足_________时，它是一元二次方程.
例2、将下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项
（1） （2）


变式1、一元二次方程没有一次项，则有（ ）
A. B. C. D.
例3、一元二次方程，有一个根，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
变式1、若是方程的一个根，试求代数式的值。




【知识点二】直接开平方法

1．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程．
（2）配方法：解形如的一元二次方程，
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①二次项系数化为1． ②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．
④化成的形式．⑤若，直接开平方得出方程的解．
（3）公式法：将进行配方可以得到：．
当时，两个根为，其中时，两根相等为；当时，没有实数根．
可以用表示，称为根的判别式．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③计算的值；
④若，则代入公式求方程的根； ⑤若，则方程无实数根．
（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．
2．一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．
（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，）转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．
（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值．
（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．
题型二 一元二次方程的解法

例4、（2020广益八下期中）解方程：

变式1、请用直接开方法解下列方程
　(1) (2)；

例5、用配方法解方程：
（1） （2）

变式1、(1) (2)

例6、（2020长郡八下期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
变式1、（2020中雅八下第三次月考）用配方法解方程，下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
变式2、（2020长郡八下期中）把一元二次方程通过配方化成的形式为__________.
例7、若代数式，，则的值（　　）
A. 一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数
变式1、求代数式的最小值.


例8、（2020广益八下期中）解方程：(运用公式法，明确写出求根公式)



变式1、请用公式法解下列方程
(1)； (2)；

例9、（2020长培八下期中改编）请用因式分解法解下列方程(需要写文字过程)：
(1) (2)

(3) (4)

例10、（2020明德八下期末）解方程：

变式1、（2020中雅八下期中）解下列方程：
(1)； (2)

例11、（2020师博八下期末）方程的解是( )
A. B. C.或 D.无解
变式1、（2020郡维八下期中）和为根且二次项系数为的一元二次方程是___________.

【知识点三】平均变化率问题

1.增长率问题：
平均增长率公式为：(为原来数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量.)
储蓄问题：此为增长率问题的一种：表示本金，表示年利率，表示存款年限，表示年后的本息和.
传播问题：要明确问题中传播(染)源的数量，每次传播(染)的个数，传播(染)源只参加一轮传播(染)还是每一轮传播(染).
2.降低率问题：
平均降低率公式为(为原来数，为平均降低率，为降低次数，为降低后的量.)
题型三 求平均增长率或减少率

例12、（2020明德八下期末）某件羊毛衫的售价为元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价后，售价降为元，则为( )
A. B. C. D.
变式1、（2020南雅八下期末）我市某家快递公司，今年月份与月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，设快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
变式2、（2020年长郡九上入学考）某市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称.优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种.某种植户年投资万元种植中药材，到年三年共累计投资万元，若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求该种植户每年投资的增长率；
(2)按这样的投资增长率，请你预测年该种植户投资多少元种植中药材.






例13、（2020郡维八下期中）六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互送份小礼品，则该班有___________名同学.
例14、有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？



变式1、（2020雅礼八上期末）年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心。雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则方程列为( )
A. B. C. D.
变式2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？




【知识点四】经济利润问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：
总价=售价×总件数 利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数

题型四 经济利润问题

例15、（2020广益八下期中）“蓝宝石”是葡萄优质新品种，在某省被广泛种植，某葡萄种植基地年种植“蓝宝石”亩，到年“蓝宝石”的种植面积达到亩.
(1)求该基地这两年“蓝宝石”种植面积的年平均增长率；
(2)市场调查发现，当“蓝宝石”售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，已知该基地“蓝宝石”的平均成本价位元/千克，若使销售“蓝宝石”每天获利元，则售价应降低多少元？




变式1、（2020麓山八下期中）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋.
(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可在九月份的销售量基础上增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利元？(若农产品每袋进价元，原售价为每袋元)






变式2、（2020年雅礼八下期末）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产万个，第三天生产万个，若每天增长的百分率相同.试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率；
(2)经调查发现，条生产线最大产能是万个/天，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/天，现该厂要保证每天生产口罩万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？






【知识点五】 其他应用

1.形积问题：此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
2.动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，把变化量表示为时间的函数，再根据几何知识列出方程。
题型五 形积问题

例16、（2020南雅八下期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何.翻译成数学问题是：如图1，有一个水池，水面是边长为尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺

图1 图3
变式1、如图3，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使花草的面积为468m2，那么通道的宽应设计成　 　m．
题型六 动点问题

例17、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
①如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
②点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.




勤练习 促掌握

1、（2020明德八下期末）下列方程中，关于的一元二次方程是( )
A. B. C. D.
2、（2020长郡八下期末）若方程是一元二次方程，则的值为( )
A. B. C. D.
3、（2020郡维八下期中）一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
4、若是一元二次方程，则不等式的解集应是( ).
A． B．a＜-2 C．a＞-2 D．a＞-2且a≠0
5、不论为何实数，代数式的值 ( )
A．总小于2 B．总不小于7 C．为任何实数 D．不能为负数
6、若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
7、已知是一元二次方程的一个根，则的值为________．
8、把一元二次方程化成的形式是 ；若多项式是一个完全平方式，则_________.
9、请用合适的方法解下列一元二次方程：
(1) (2) (3)


（4）； (5) （6）


10、如图是长30m，宽20m的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)


11、（2020年师大博才八下期末）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿铺导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生万人次，第三批公益课受益学生万人次.
①如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
②按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？




12、（2020长培八下期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件.
(1)每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元.
(2)要想平均每天赢利元，可能吗？请说明理由.


13、（2019年周南九上入学考）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
























第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴





例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）


课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴

第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略

例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．

当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．



第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，

，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．

，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，

四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、







例10、（1）

例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、






例13、



例14、





课后练习：1-3 B C D
4、


5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：

6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，

则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.



（2）如图2，连接交于点，连接交于点，

由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，

∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形

在中，


第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，

故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：

（2）设，过点C作CD交AB于点D 则

(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称

设直线解析式为

令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小

11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为


第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、

















































例3、

（1）令，则
设BC直线解析式

解得
(2)

(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线

③以PF为对角线

综上所述：，，



















变式1、


























变式2、

































变式3、


例4、




















例5、





例6、










例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；


综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．

课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．

第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九




第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、

第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2

第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）

勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、

第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、

例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、

第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、



勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、


第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），

勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，

第十四讲 二次函数与面积专题
例1、


变式1、（1）；
变式2、

变式3、（1）

（2）



变式4、



例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．

勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或

第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、




例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）







变式2、






变式3、




例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．

勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，

2.（1） （2）

3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．

第十六讲 二次函数与平行四边形专题

例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、





勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或

第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5





勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.