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初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式学案及答案
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这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式学案及答案，共64页。学案主要包含了数学建模的一般思路，正确认识实际问题的应用，选择最佳方案问题，一次函数最值问题，方案选择问题，一次函数与不等式与最值，一次函数中的分类讨论思想等内容，欢迎下载使用。
19.6 一次函数的应用
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略. 在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现. 函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点三、选择最佳方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
要点四、一次函数最值问题
一次函数求取最值，一定要考虑自变量的取值范围，若一次函数中，则一次函数是一个递减函数，越大，越小；越小，越大. 若一次函数中，则一次函数是一个递增函数，越大，越大；越小，越小. 重点注意取最值时的取值.
类型一、一次函数简单应用
例1、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x(册)
5000
8000
10000
15000
……
成本y(元)
28500
36000
41000
53500
……
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y (元)是印数x (册)的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
练习：某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元.
（1）试写出总费用y (元)与销售套数x (套)之间的函数关系式.
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
类型二、分段函数
例2、一次时装表演会预算中票价定为每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：
（1）求当观众人数不超过1000人时，毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)的函数解析式和成本费用s (百人)关于观众人数x (百人)的函数解析式；
（2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？
（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润门票收入成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润门票收入成本费用平安保险费）
练习: 甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：
（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s (千米)与时间t (时)的函数解析式；
（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
（3）在（2）的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？
例3、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品. 经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克. 每毫升血液中含药量y (微克)随时间x (小时)的变化如图所示. 在成人按规定剂量服药后：
（1）分别求出时y与x之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？
练习：某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元.
（1）写出每月电话费y (元)与通话次数x (次)之间的函数关系式；
（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；
（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数.
类型三、读取函数信息
例4、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；
（2）请你求出：①甲队在的时段内，与之间的函数关系式；
②乙队在的时段内，与之间的函数关系式；
（3）当为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
练习：一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的
时间为x (时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y
与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象.
例5、春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票. 售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y (人)与售票时间x (分钟)的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．
（1）求a的值；
（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？
练习：在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x (h)后，与B港的距离分别为(km)，与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km， ；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
类型四、求一次函数最值问题
例6、某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%. 经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)符合一次函数且时，；时，.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，
商场可获得最大利润，最大利润是多少？
练习：已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套. 已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元. 若设生产N种型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
类型五、方案选择问题
例7、某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产A，B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元．
（1）请问工厂有哪几种生产方案？
（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？
练习：某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
例8、双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元.
（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获得30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售完后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？
练习：荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元.
（1）设运输这批货物的总运费为y (万元)，用A型货厢的节数为x (节)，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来.
（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
类型六、一次函数与不等式与最值
例9、日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域，贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表（单位：千元/吨）：
品种
先期投资
养殖期间投资
产值
西施舌
9
3
30
对虾
4
10
20
养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x吨.
（1）求x的取值范围；
（2）设这两个品种产出后的总产值为y (千元)，试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值？最大值是多少？
练习：某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：
信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等.
信息二：如下表：
树苗
杨树
丁香树
柳树
每棵树苗批发价格（元）
3
2
3
两年后每棵树苗对空气的净化指数
0.4
0.1
0.2
设购买杨树、柳树分别为x株、y株.
（1）用含x的代数式表示y；
（2）若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于120，试求w的取值范围.
类型七、一次函数中的分类讨论思想
例10、某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生. 为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理. 现有两种方案可供选择.
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理. 每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.
（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式（利润总收入总支出）；
（2）如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.
练习：某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水
性笔一律按9折优惠. 书包每个定价20元，水性笔每支定价5元. 小丽和同学需买4个书包，水
性笔若干（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y (元)与所买水性笔支数x (支)之间的函数关系式；
（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
1. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
2. 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球时，量桶中水面升高______cm；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y (cm)与小球个数x (个)之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
3. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家订月租车合同. 设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主月租费是y1元，应付给出租车公司的月租费是y2元，y1和y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营出租车公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？
4. 某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，如图是甲、乙两车间的距离y (千米)与乙车出发x (时)的函数的部分图象.
（1）A、B两地的距离是 千米，甲车出发 小时到达C地；
（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图象；
（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米？
5. 张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (升)与行驶时间t (小时)之间的关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：
（1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升；
（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．
6. 某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产两种产品共40件，生产两种产品用料情况如下表：设生产产品x件，请解答下列问题：
需要甲原料
需要乙原料
一件种产品
7kg
4kg
一件种产品
3kg
10kg
（1）求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；
（2）若甲种原料50元／kg，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？
7. 小亮妈妈下岗后开了一家糕点店．现有10.2千克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋．
（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；
（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？
8. 我市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子1吨，乙种货车可装李子1吨和桃子3吨．
（1）共有几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元. 请选出最佳方案，此方案运费是多少?
9. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产两种产品共50件. 已知生产一件种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.
（1）按要求安排两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产两种产品获总利润为y (元)，生产种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
10. 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元每立方米的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元每立方米的城市污水处理费，设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y (元).
（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关系式；
（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
11. 近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：
［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名.
［信息二］工资待遇：机械制造类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月.
设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人.
（1）用含x的代数式表示y；
（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p元，要使本次招聘的规划设计类人员不少于机械制造类人员的2倍，求p的取值范围.
12. 国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度.某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销. 医疗费的报销比例标准如下表：
费用范围
500元以下
（含500元）
超过500元且不超过10000元的部分
超过10000元的部分
报销比例标准
不予报销
70%
80%
（1）设某农民一年的实际医疗费为x元()，按标准报销的金额为y元，试求y与x的函数关系式；
（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？
八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS)；
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：
证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.
例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵
∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..
例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
平行四边形单元测试
1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.60°,120°
14.32
15.5
16.8
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,
所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,
∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.
理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.
第十九章 一次函数
19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。
巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图
(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a
答案：1-9：BCBBABCBC 10.1． 11.-1 12.y=﹣x(答案不唯一)．
13. (0，0)(答案不唯一)．14. 2．(答案不唯一) 15.-2 16.> ；<
17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小．
19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵它图象经过点P(﹣1，2)，
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，
∴m+3=2m．
∴m=3．
20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2
21.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：．
22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元
23.P1(，4)P2(，-4)
19.3一次函数
例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C
练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三
例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4
二、选择题
1-13：D A A B B C DCCBAAB
三、解答题
1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)
2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 4
19.4一次函数与一次方程(组)
例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15
例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3)
19.5一次函数与一次不等式
例1、 D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B
例3、3
1. C 2.A 3.A 4.< 5.①A(3,3) ②x>3 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.
19.6一次函数的应用
例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册
练习：(1) (2)至少100套
例2、(1)
(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。
练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．
例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。
练习：(1)
(2)∵50<60，
∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；
∵100>60，
∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；
(3)该月通话的次数是120次。
例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4
练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.
甲乙两地之间的距离为280千米。
(2)3.5小时
(3)
例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。
练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。
例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。
练习：(1)
(2)当x=44时，ymax=3820，
即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；
选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。
练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得
190⩽12x+8(20−x)⩽200，
解得7.5⩽x⩽10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件。
(2)设利润为w元，
则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；
②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。
例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．
练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为
；
(2)根据题意可列不等式组
解得28⩽x⩽30
所以，方案有以下几种
①A 28 B 22
②A 29 B 21
③A 30 B 20；
(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小
因此方案③运费最少
y=−0.3×30+40=31，
所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。
例9、(1)30⩽x⩽32.
(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。
练习：(1).
(2)根据题意列出不等式得,且，
解得200⩽x⩽250
250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，
即1250⩽w⩽1300.
例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：
选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，
选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；
(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，
解得x>400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)
(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得
由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
课后巩固
1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
课后巩固
一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。
19.6 一次函数的应用
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略. 在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现. 函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点三、选择最佳方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
要点四、一次函数最值问题
一次函数求取最值，一定要考虑自变量的取值范围，若一次函数中，则一次函数是一个递减函数，越大，越小；越小，越大. 若一次函数中，则一次函数是一个递增函数，越大，越大；越小，越小. 重点注意取最值时的取值.
类型一、一次函数简单应用
例1、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x(册)
5000
8000
10000
15000
……
成本y(元)
28500
36000
41000
53500
……
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y (元)是印数x (册)的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
练习：某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元.
（1）试写出总费用y (元)与销售套数x (套)之间的函数关系式.
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
类型二、分段函数
例2、一次时装表演会预算中票价定为每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：
（1）求当观众人数不超过1000人时，毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)的函数解析式和成本费用s (百人)关于观众人数x (百人)的函数解析式；
（2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？
（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润门票收入成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润门票收入成本费用平安保险费）
练习: 甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：
（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s (千米)与时间t (时)的函数解析式；
（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
（3）在（2）的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？
例3、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品. 经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克. 每毫升血液中含药量y (微克)随时间x (小时)的变化如图所示. 在成人按规定剂量服药后：
（1）分别求出时y与x之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？
练习：某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元.
（1）写出每月电话费y (元)与通话次数x (次)之间的函数关系式；
（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；
（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数.
类型三、读取函数信息
例4、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；
（2）请你求出：①甲队在的时段内，与之间的函数关系式；
②乙队在的时段内，与之间的函数关系式；
（3）当为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
练习：一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的
时间为x (时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y
与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象.
例5、春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票. 售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y (人)与售票时间x (分钟)的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．
（1）求a的值；
（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？
练习：在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x (h)后，与B港的距离分别为(km)，与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km， ；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
类型四、求一次函数最值问题
例6、某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%. 经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)符合一次函数且时，；时，.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，
商场可获得最大利润，最大利润是多少？
练习：已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套. 已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元. 若设生产N种型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
类型五、方案选择问题
例7、某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产A，B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元．
（1）请问工厂有哪几种生产方案？
（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？
练习：某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
例8、双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元.
（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获得30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售完后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？
练习：荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元.
（1）设运输这批货物的总运费为y (万元)，用A型货厢的节数为x (节)，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来.
（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
类型六、一次函数与不等式与最值
例9、日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域，贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表（单位：千元/吨）：
品种
先期投资
养殖期间投资
产值
西施舌
9
3
30
对虾
4
10
20
养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x吨.
（1）求x的取值范围；
（2）设这两个品种产出后的总产值为y (千元)，试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值？最大值是多少？
练习：某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：
信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等.
信息二：如下表：
树苗
杨树
丁香树
柳树
每棵树苗批发价格（元）
3
2
3
两年后每棵树苗对空气的净化指数
0.4
0.1
0.2
设购买杨树、柳树分别为x株、y株.
（1）用含x的代数式表示y；
（2）若购买这三种树苗的总费用为w元，要使这500株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数之和不低于120，试求w的取值范围.
类型七、一次函数中的分类讨论思想
例10、某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生. 为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理. 现有两种方案可供选择.
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理. 每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.
（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式（利润总收入总支出）；
（2）如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.
练习：某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水
性笔一律按9折优惠. 书包每个定价20元，水性笔每支定价5元. 小丽和同学需买4个书包，水
性笔若干（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y (元)与所买水性笔支数x (支)之间的函数关系式；
（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
1. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
2. 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球时，量桶中水面升高______cm；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y (cm)与小球个数x (个)之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
3. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家订月租车合同. 设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主月租费是y1元，应付给出租车公司的月租费是y2元，y1和y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营出租车公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？
4. 某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，如图是甲、乙两车间的距离y (千米)与乙车出发x (时)的函数的部分图象.
（1）A、B两地的距离是 千米，甲车出发 小时到达C地；
（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图象；
（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米？
5. 张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (升)与行驶时间t (小时)之间的关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：
（1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升；
（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．
6. 某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产两种产品共40件，生产两种产品用料情况如下表：设生产产品x件，请解答下列问题：
需要甲原料
需要乙原料
一件种产品
7kg
4kg
一件种产品
3kg
10kg
（1）求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；
（2）若甲种原料50元／kg，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？
7. 小亮妈妈下岗后开了一家糕点店．现有10.2千克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋．
（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；
（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？
8. 我市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子1吨，乙种货车可装李子1吨和桃子3吨．
（1）共有几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元. 请选出最佳方案，此方案运费是多少?
9. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产两种产品共50件. 已知生产一件种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.
（1）按要求安排两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产两种产品获总利润为y (元)，生产种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
10. 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元每立方米的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元每立方米的城市污水处理费，设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y (元).
（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关系式；
（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
11. 近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：
［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名.
［信息二］工资待遇：机械制造类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月.
设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人.
（1）用含x的代数式表示y；
（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p元，要使本次招聘的规划设计类人员不少于机械制造类人员的2倍，求p的取值范围.
12. 国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度.某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销. 医疗费的报销比例标准如下表：
费用范围
500元以下
（含500元）
超过500元且不超过10000元的部分
超过10000元的部分
报销比例标准
不予报销
70%
80%
（1）设某农民一年的实际医疗费为x元()，按标准报销的金额为y元，试求y与x的函数关系式；
（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？
八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS)；
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：
证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.
例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵
∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..
例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
平行四边形单元测试
1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.60°,120°
14.32
15.5
16.8
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,
所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,
∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.
理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.
第十九章 一次函数
19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。
巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图
(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a
答案：1-9：BCBBABCBC 10.1． 11.-1 12.y=﹣x(答案不唯一)．
13. (0，0)(答案不唯一)．14. 2．(答案不唯一) 15.-2 16.> ；<
17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小．
19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵它图象经过点P(﹣1，2)，
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，
∴m+3=2m．
∴m=3．
20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2
21.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：．
22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元
23.P1(，4)P2(，-4)
19.3一次函数
例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C
练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三
例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4
二、选择题
1-13：D A A B B C DCCBAAB
三、解答题
1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)
2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 4
19.4一次函数与一次方程(组)
例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15
例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3)
19.5一次函数与一次不等式
例1、 D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B
例3、3
1. C 2.A 3.A 4.< 5.①A(3,3) ②x>3 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.
19.6一次函数的应用
例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册
练习：(1) (2)至少100套
例2、(1)
(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。
练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．
例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。
练习：(1)
(2)∵50<60，
∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；
∵100>60，
∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；
(3)该月通话的次数是120次。
例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4
练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.
甲乙两地之间的距离为280千米。
(2)3.5小时
(3)
例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。
练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。
例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。
练习：(1)
(2)当x=44时，ymax=3820，
即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；
选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。
练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得
190⩽12x+8(20−x)⩽200，
解得7.5⩽x⩽10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件。
(2)设利润为w元，
则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；
②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。
例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．
练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为
；
(2)根据题意可列不等式组
解得28⩽x⩽30
所以，方案有以下几种
①A 28 B 22
②A 29 B 21
③A 30 B 20；
(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小
因此方案③运费最少
y=−0.3×30+40=31，
所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。
例9、(1)30⩽x⩽32.
(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。
练习：(1).
(2)根据题意列出不等式得,且，
解得200⩽x⩽250
250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，
即1250⩽w⩽1300.
例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：
选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，
选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；
(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，
解得x>400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)
(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得
由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
课后巩固
1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
课后巩固
一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。
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