【精品同步】数学同步培优练习年八级下册第五讲 一次函数与代数综合（知识梳理+含答案）

这是一份【精品同步】数学同步培优练习年八级下册第五讲 一次函数与代数综合（知识梳理+含答案），共86页。



第五讲 一次函数与代数综合


研真题 知考向

1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.一次函数的图象变换
理解并掌握
2.一次函数和方程（组）综合
理解并掌握
3.一次函数和不等式综合
理解并掌握
4.一次函数的实际应用
理解并掌握
2.实时考向
一次函数与方程（组）或不等式（组）的结合，是考试的必考点，学生应引起重视，理解透相关的知识点。线段最值问题常考垂线段最短和将军饮马模型；一次函数的实际应用注意需要考虑变量的实际意义，其中分段函数是高频考点。
解重点 固根基




基





【知识点一】一次函数的图象变换

一次函数图象的变换及特殊位置关系：
1．平移：上加下减常数项，左加右减自变量；
2．对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数；
3．中心对称：x和y值都变原来的相反数．
4．三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点），进行相应变化后，确定解析式．
5．特殊位置关系：
（1）若两直线平行：k（斜率）相等（b值不等）．
（2）若两直线垂直：两直线k（斜率）互为负倒数，即．
题型一 一次函数的图象变换

例1、（2020中雅八下第三次月考）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移一个单位长度，那么平移后的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
变式1、（2020麓山八下期中）正比例函数的图象向左平移个单位后所得函数解析式为( )
A. B. C. D.
变式2、（2020雅礼八上期末）如果通过平移使得直线变化得到，那么直线必须( )
A.向上平移个单位 B.向下平移个单位 C.向上平移个单位 D向下平移个单位
例2、（2020师博八下期中改编）已知一次函数的图象平行于直线，且过点，求这个一次函数的解析式为 。
变式1、（2020雨花区统考八下期末）已知直线与直线平行，且直线过点.
(1)求直线的解析式；
(2)求直线与轴的交点坐标.





例3、（2020明德八下期中）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为________.





变式1、（2019广益八上期末）如图，直线与相交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点，与x轴交于点，与y轴交于点A，下列说法正确的个数有(　　)
①的解析式为；
②；③；
④；⑤.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个

【知识点二】 一次函数与方程（组）综合


解一元一次方程

一次函数
当时，求的值
确定直线与轴交点的横坐标


解二元一次方程组


求一次函数
与图象的交点坐标
两条直线与相交


题型二 一次函数与方程（组）综合

例4、（2020师博八下期中）如图1，已知一次函数和的图象交于点，则关于的一元一次方程的解是__________.
例5、（2020广益八下期末）如图2，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是________.

图1 图2
变式1、（19-20广益八下入学考）如图，直线与相交于点.若点的横坐标为，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C.当时， D.

【知识点三】一次函数和不等式综合

解一元一次不等式

或

一次函数
求当或时
的取值范围
当时，直线上的点在轴上方时，点在轴下方


解一元一次不等式

一次函数与，求当时的取值范围
以交点为界限，直线位于直线上方的那部分

题型三 一次函数与不等式综合

例6、（2020师梅八下期末）如图3，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
变式1、（2020雨花区统考八下期末）如图4，直线与坐标轴的两交点分别为和，则不等式的解为( )
A. B. C. D.
变式2、（2020青一八下期中）如图5，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.

图3 图4 图5
变式3、（3020青一八下第一次月考）如图6，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
变式4、（2020麓山八下期中）如图7，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则关于的不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
变式5、（2019广益八上期末）如图8，直线与分别交x轴于点、，则不等式的解集为(　　)
A. B. C. D.或

图6 图7 图8
变式6、（2019长郡期中）如图，直线与直线相交于点，并且直线经过轴上点.
①求直线的解析式.
②求两条直线与轴围成的三角形的面积.
③结合图象，直接写出不等式的解集.










【知识点四】一次函数的实际应用

1. 正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
2. 选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
题型四 一次函数的实际应用

例7、（2020中雅八下期中）甲、乙两名同学骑自行车从地出发沿同一条路前往地，他们离地的距离与甲离开地的时间之间的函数关系的图象如图9所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是( )
A.甲、乙同学都骑行了 B.甲同学比乙同学先到达地
C.甲停留前、后的骑行速度相同 D.乙的骑行速度是
变式1、（2020广益八下期末）如图10，在长方形中，厘米，厘米，动点从出发，以厘米/秒的速度沿运动，到点停止运动；同时点从点出发，以厘米/秒的速度沿运动，到点停止运动.设点运动的时间为秒，当________时，.

图9 图10
变式2、（2020师博八下期中）如图，在一个内角为的菱形中，，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止，过点作，与边(或边)交于点，的面积与点的运动时间(秒)的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
例8、（2020青一八下第一次月考）在近期“抗疫”期间，某药店销售、两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元.
(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不少于型口罩的进货量且不超过它的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元.
①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
②该药店购进型、型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？





















变式1、（2020湘一芙蓉八下第一次月考）某土特产公司组织辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共吨去外地销售，按计划辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
土特产种类
甲
乙
丙
每辆汽车运载量(吨)
8
6
5
每吨土特产获利(百元)
12
16
10
(1)设装运甲种土特产的车辆数为，装运乙种土特产的车辆数为，求与之间的函数系式；
(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
(3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并求出最大利润的值.







例9、（2020麓山八下期中）合肥享有“中国淡水龙虾之都”的美称，甲，乙两家小龙虾美食店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家店都让利酬宾，在人数不超过人的前提下，付款金额，(单位：元)与人数之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出，关于的函数关系式；
(2)小王公司想在“龙虾节”期间组织团建，在甲，乙两家店就餐龙虾，如何选择才能更省钱？



例10、（19-20广益八下入学考）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市天全部销售完，爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象(所得图象均为线段)，日销售量(单位：千克)与上市时间(单位：天)的函数关系如图所示，草莓的价格(单位：元/千克)与上市时间(单位：天)的函数关系如图所示.
(1)观察图象，直接写出当时，日销售量与上市时间之间的函数解析式为________；当时，日销售量与上市时间之间的函数解析式为________.
(2)试求出第天的销售金额；
(3)若上市第天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克元，马叔叔到市场按照当日的价格元/千克将批发来的草莓全部销售完，他在销售的过程中，草莓总质量损耗了.那么，马叔叔支付完来回车费元后，当天能赚到多少元？








【知识点五】一次函数与最值问题

“将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3问，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察．
模型I：最小问题（和）


模型II：最大问题（差）


题型五 一次函数与最值问题

例11、如图11，等腰的底边长为4，腰长为6，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 6 C. 4 D. 2
变式1、如图12，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. 4 C. D. 5

图11 图12 图13 图14
变式2、（2019中雅八下期中）如图13，等边中，，点为中点，是线段上的一个动点，则的最小值是____________.
变式3、（2020青一八下期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，是的中点，点在上，当的周长最小时，点的坐标为____________.
变式4、（2020湘芙二中八下第一次月考改编）在如图15所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则的最小值是多少?








变式5、（2020青一八下第一次月考）已知，如图16，点坐标为，直线交轴于点B.
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点为直线上第四象限内一点，且满足的面积为，求点的坐标；
(3)在(2)中点坐标的条件下，在轴上取两点、，点在点的左侧，使得，求使得四边形周长最小时点、的坐标.





例12、（2020湘一芙蓉八下第一次月考）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直.如直线，与直线，因为，所以相互垂直.
根据以上定义内容，解答下面的问题：
(1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象；
(2)求(1)问中的两条直线与轴所围的三角形的面积；
(3)已知点点，分别是(1)问中直线和轴上的动点，求出周长的最小值.





勤练习 促掌握

1、（2020师博八下期中）正比例函数的图象向上平移个单位后所得函数解析式为( ).
A. B.
C. D.
2、（2020明德八下期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.

3、（2020中雅八下第三次月考）汽车从地出发以千米每小时的速度匀速前进，前往与地相距千米的地.则该汽车与地的距离(千米)与行驶的时间(小时)之间的函数图象是( )
A. B. C. D.

4、（19-20长郡梅溪湖八下第一次月考）如图，在大长方形中截取两个相同的正方形作为长方体的上、下底面，剩余的长方形作为长方体的侧面，刚好能组成长方体.设大长方形的长和宽分别为和，则与之间的函数图象大致是图中的( )
A. B.
C. D.
5、（2020明德八下期中）将直线向上平移个单位长度，则所得直线的解析式是________.
6、（2020青一八下第一次月考）在平面直角坐标系中，把直线沿轴向右平移个单位长度，则平移后的函数解析式为__________.


7、（2020明德八下期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图1所示，则关于的不等式的解集为________.

图1 图2 图3
8、（19-20长郡梅溪湖八下第一次月考）如图2，已知一次函数和的图象交于点，则不等式的解集是__________.
9、（2019雅实八下期中）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，⊥轴于点，则周长的最小值为 。
10、（2020明德八下期中）年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中国始终同各国安危与共、风雨同舟，时至月，中国已经向多个国家和国际组织提供医疗物资援助.某次援助，我国组织架飞机装运口罩、消毒剂、防护服三种医疗物质共吨，按计划架飞机都要装运，每架飞机只能装运同一种医疗物资，且必须装满.根据下表提供的信息，解答以下问题：

防疫物质种类
口罩
消毒剂
防护服
每架飞机运载量(吨)
8
5
4
每吨物资运费(元)
1200
1600
1000

(1)若有架飞机装运口罩，有架飞机装运消毒剂，求的值；
(2)若有架飞机装运口罩，有架飞机装运消毒剂，求与之间的函数关系式；
(3)如果装运每种医疗物资的飞机都不少于架，那么飞机的安排方案有几种？这些方案中，若要使此次物资运费最小，应采取哪个方案？



11、（2020青一八下期中）临近端午节，某超市计划购进一批粽子礼盒，每盒进价为元，经过市场调研发现，当每盒售价为元时，月销售量为盒；售价每提高元，销量将减少盒；售价每降低元，销量将增加盒.假定该粽子礼盒的月销售量(单位：盒)和销售单价(单位：元)成一次函数关系.
(1)求月销售量与销售单价的函数关系式；
(2)根据相关规定，此类商品的单件利润率不得高于，如果该超市想通过销售该礼盒获得元的月利润，则该礼盒的销售单价应定为多少元？








12、(2019明德八下期中联考)对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“绝好点”.例如：，因为，所以是“绝好点”.
(1)点________“绝好点”；点_________“绝好点”(填“是”或“不是”)；
(2)已知一次函数(为常数)图象上有一个“绝好点”的坐标是，一次函数图象上是否存在其他“绝好点”？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由；
(3)点和点为一次函数(为常数且)图象上的两个“绝好点”，点在轴上运动，当最小时，求点的坐标.(用含字母的式子表示)

第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴





例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）


课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴

第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略

例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．

当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．



第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，

，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．

，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，

四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、







例10、（1）

例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、






例13、



例14、





课后练习：1-3 B C D
4、


5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：

6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，

则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.



（2）如图2，连接交于点，连接交于点，

由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，

∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形

在中，


第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，

故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：

（2）设，过点C作CD交AB于点D 则

(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称

设直线解析式为

令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小

11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为


第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、

















































例3、

（1）令，则
设BC直线解析式

解得
(2)

(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线

③以PF为对角线

综上所述：，，



















变式1、


























变式2、

































变式3、


例4、




















例5、





例6、










例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；


综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．

课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．

第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九




第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、

第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2

第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）

勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、

第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、

例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、

第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、



勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、


第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），

勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，

第十四讲 二次函数与面积专题
例1、


变式1、（1）；
变式2、

变式3、（1）

（2）



变式4、



例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．

勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或

第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、




例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）







变式2、






变式3、




例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．

勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，

2.（1） （2）

3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．

第十六讲 二次函数与平行四边形专题

例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、





勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或

第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5





勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.