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【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第一讲 平行四边形（一）（知识梳理+含答案）
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这是一份【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第一讲 平行四边形（一）（知识梳理+含答案），共83页。
第一讲 平行四边形（一）
研真题 知考向
1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.平行四边形的判定与性质
理解并掌握
2.矩形的判定与性质
理解并掌握
3.平行四边形的应用
理解并掌握
4.矩形的应用
理解并掌握
2.实时考向
本讲内容为中考必考内容，一般体现为中等难度的证明题，如果出现在选择题和填空题中，难度不会很大。在校考中，考查的难一点，会出压轴。
解重点 固根基
基
【知识点一】平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2、平行四边形的性质
①平行四边形的对边平行且相等
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分
④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四边形面积分成相等的两部分．
⑤平行四边形面积=底高
3、平行四边形的判定
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4、 三角形的中位线
①定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
②定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一般.
题型一 平行四边形的判定与性质
例1、（2020明德八下期中）如图1，平行四边形中，已知，则的度数是( )
A. B. C. D.
变式1、（2020师博八下期中）如图2，中，平分，若，则等于( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
例2、（2020明德八下期末）如图3，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是________.
例3、（2020中雅八下期中）如图4，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为( )
A. B. C. D.
变式1、（2020明德八下期末）如图5，的对角线、相交于点，是中点，且，则的周长为( )
A. B. C. D.
变式2、（19-20中雅八下第一次月考）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
例4、（2020麓山八下期中）如图6，在四边形中，，对角线，交于点，，，，则四边形的面积为__________.
图4 图5 图6
【随堂练习】
1、（2020中雅八下期中）如图7，在中，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
2、（2020南雅八下期末）如图8，在中，，交于点，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
图7 图8 图9
3、（2020明德八下期中）如图9，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则________.
例5、（2020师博八下期中）下列能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一对邻角的和为 B.两条对角线互相垂直
C.一组对角相等 D.两条对角线互相平分
变式1、（2020明德八下期末）在四边形中，与相交于点，且，给出下列条件：①；②；③；④.从中选个作为条件，能使四边形为平行四边形的选法有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
例6、（2020师博八下期末）如图，是的对角线，.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积.
例7、（2020长芙八下第一次月考）如图10，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
例8、（2020长培八下第一次月考）如图11，四边形中，，，，是的中点，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动.当运动时间__________秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.
图10 图11
例9、（2020长郡八下期中）在平行四边形中，，，点，分别是线段、上的点，且，的延长线交于点.
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若是的中点，连接，求证：.
例10、（2020中雅八下入学考）如图1，在平行四边形中，，，，是射线上一点，连接，沿将折叠，得到
(1)如图所示，当时，求线段的长度；
(2)当时，求的度数.
【随堂练习】
1、（2020长郡八下期末）如右图，在中，点，分别在边，上，有下列条件：①；②；③；④.
其中，能使四边形是平行四边形的条件有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
2、（2020麓山八下期中）已知：如图，平行四边形中，，分别为和的中点.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积.
3、（2020广益八上期末）如图，在中，对角线，交于点，是上任意一点，连接并延长，交于点.连接，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，.求出的边上的高的值；
【知识点二】 矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2、矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：
①矩形的四个内角都相等，且为．
②矩形的两条对角线相等．
③矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线．
另外，由矩形的性质可以得出：
（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形．
3、矩形的判定
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是的四边形是矩形．
④对于平行四边形，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形．
题型二 矩形的判定与性质
例11、（2020师博八下期中）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是( )
A.测量两条对角线，是否相等 B.测量两条对角线，是否互相平分
C.测量两条对角线，是否互相垂直 D.测量门框的三个角，是否都是直角
变式1、（2020中雅八下期中）如图12所示，在中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是( )
A. B.
C. D.
例12、（2020师博八下期末）如图13，过矩形的四个顶点作对角线、平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
变式1、（2020南雅八下期末）如图14，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，则应添加的条件是( )
A. B. C. D.
图12 图13 图14
例13、（2020南雅八下期末）如图15，在矩形中，是中点，是上一点，且，，，则矩形的面积为( )
A. B. C. D.
图15 图16
例14、（2020师博八下期中）如图16，矩形的对角线与相交点，，、分别为、的中点，则的长度为__________.
例15、（2020麓山八下期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，任意长为半轻画弧交，于，.再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接，交边于则的长为__________.
图17 图18
例16、（2020长培八下期中）如图18，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
例17、（2020明德八下期末）如图19，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
变式1、（2020长郡八下期末）如图20，矩形纸片中，点、分别在线段、上，将沿翻折，点落在上的点处，且，，则的长为( )
A. B.
C. D.
变式2、（2020青一八下入学考）如图21，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，的长为__________.
图20 图21
例18、（2020雨花区统考八下期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为( )
A. B.
C. D.
例19、（2020青一八下期末）如图，平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，是的平分线，若，求的长度.
变式1、（2020郡维八下期中/中雅八下入学）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连接，，并延长至，使，连接.
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由.
例20、（2020长郡八下期末）如右图22，在中，，，，为边上一动点(点不与、重合)，于，于，为中点，则的取值范围是________.
图22 图24
例21、（2020青一八下入学考）如图24，将矩形的一个角翻折，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若为的平分线，和的延长线交于点.下列结论中：①；②；③；④和的面积相等；⑤若，则.以上命题，正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
例22、（2020青一八上期末）已知：如图，在矩形中，，，为直线上一点
(1)如图1，当在线段上，且时，求的长；
(2)如图2，点为边延长线上一点，若，连接，为的中点，连接、，求证：；
(3)如图3，在(2)条件下，、为边上的两个动点，且，连接、、、，求四边形的周长的最小值.
勤练习 促掌握
1、（2020明德八下期中）如图，四边形中，对角线和交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.， B.，
C.， D.，
2、（2020麓山八下期中）在中，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3、（2020长培八下期中）如图1，的对角线与相交于点，且.若是边的中点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4、（2020青一八下期中）如图2，在中，，，平分交于点，则的长是( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
5、（2020长培八下期中）如图3，在平行四边形中，，，，则比的周长长( )
A. B. C. D.
6、（2020雅礼八上期末）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
7、（2020师博八下期末）如图4，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长为________.
图4 图5 图6 图7
8、（2020中雅八下入学考）如图5，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则___________.
9、（2020雅境八下入学考）如图6，四边形是矩形，于点，交于点，，，则的度数为__________.
10、（2020中雅八下期中改编）如图7，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足.下面结论：①平分；②为等腰三角形；③；④.其中正确的结论有 。
11、（2020长郡八下期中）如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，，垂足分别为、，延长、分别交、于点、.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，求的长.
第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴
例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）
课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴
第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略
例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．
当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．
第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，
，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．
，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，
四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、
例10、（1）
例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、
例13、
例14、
课后练习：1-3 B C D
4、
5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：
6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，
则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.
（2）如图2，连接交于点，连接交于点，
由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，
∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形
在中，
第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，
故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：
（2）设，过点C作CD交AB于点D 则
(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称
设直线解析式为
令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小
11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为
第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、
例3、
（1）令，则
设BC直线解析式
解得
(2)
(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线
③以PF为对角线
综上所述：，，
变式1、
变式2、
变式3、
例4、
例5、
例6、
例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．
课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．
第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九
第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、
第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2
第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）
勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、
第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、
例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、
第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、
勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、
第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），
勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，
第十四讲 二次函数与面积专题
例1、
变式1、（1）；
变式2、
变式3、（1）
（2）
变式4、
例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．
勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或
第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、
例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）
变式2、
变式3、
例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．
勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，
2.（1） （2）
3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．
第十六讲 二次函数与平行四边形专题
例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、
勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或
第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5
勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.
第一讲 平行四边形（一）
研真题 知考向
1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.平行四边形的判定与性质
理解并掌握
2.矩形的判定与性质
理解并掌握
3.平行四边形的应用
理解并掌握
4.矩形的应用
理解并掌握
2.实时考向
本讲内容为中考必考内容，一般体现为中等难度的证明题，如果出现在选择题和填空题中，难度不会很大。在校考中，考查的难一点，会出压轴。
解重点 固根基
基
【知识点一】平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2、平行四边形的性质
①平行四边形的对边平行且相等
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分
④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四边形面积分成相等的两部分．
⑤平行四边形面积=底高
3、平行四边形的判定
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4、 三角形的中位线
①定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
②定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一般.
题型一 平行四边形的判定与性质
例1、（2020明德八下期中）如图1，平行四边形中，已知，则的度数是( )
A. B. C. D.
变式1、（2020师博八下期中）如图2，中，平分，若，则等于( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
例2、（2020明德八下期末）如图3，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是________.
例3、（2020中雅八下期中）如图4，在中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为( )
A. B. C. D.
变式1、（2020明德八下期末）如图5，的对角线、相交于点，是中点，且，则的周长为( )
A. B. C. D.
变式2、（19-20中雅八下第一次月考）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
例4、（2020麓山八下期中）如图6，在四边形中，，对角线，交于点，，，，则四边形的面积为__________.
图4 图5 图6
【随堂练习】
1、（2020中雅八下期中）如图7，在中，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
2、（2020南雅八下期末）如图8，在中，，交于点，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
图7 图8 图9
3、（2020明德八下期中）如图9，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则________.
例5、（2020师博八下期中）下列能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一对邻角的和为 B.两条对角线互相垂直
C.一组对角相等 D.两条对角线互相平分
变式1、（2020明德八下期末）在四边形中，与相交于点，且，给出下列条件：①；②；③；④.从中选个作为条件，能使四边形为平行四边形的选法有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
例6、（2020师博八下期末）如图，是的对角线，.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积.
例7、（2020长芙八下第一次月考）如图10，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
例8、（2020长培八下第一次月考）如图11，四边形中，，，，是的中点，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动.当运动时间__________秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.
图10 图11
例9、（2020长郡八下期中）在平行四边形中，，，点，分别是线段、上的点，且，的延长线交于点.
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若是的中点，连接，求证：.
例10、（2020中雅八下入学考）如图1，在平行四边形中，，，，是射线上一点，连接，沿将折叠，得到
(1)如图所示，当时，求线段的长度；
(2)当时，求的度数.
【随堂练习】
1、（2020长郡八下期末）如右图，在中，点，分别在边，上，有下列条件：①；②；③；④.
其中，能使四边形是平行四边形的条件有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
2、（2020麓山八下期中）已知：如图，平行四边形中，，分别为和的中点.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积.
3、（2020广益八上期末）如图，在中，对角线，交于点，是上任意一点，连接并延长，交于点.连接，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，.求出的边上的高的值；
【知识点二】 矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2、矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：
①矩形的四个内角都相等，且为．
②矩形的两条对角线相等．
③矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线．
另外，由矩形的性质可以得出：
（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形．
3、矩形的判定
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是的四边形是矩形．
④对于平行四边形，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形．
题型二 矩形的判定与性质
例11、（2020师博八下期中）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是( )
A.测量两条对角线，是否相等 B.测量两条对角线，是否互相平分
C.测量两条对角线，是否互相垂直 D.测量门框的三个角，是否都是直角
变式1、（2020中雅八下期中）如图12所示，在中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为矩形的是( )
A. B.
C. D.
例12、（2020师博八下期末）如图13，过矩形的四个顶点作对角线、平行线，分别相交于、、、四点，则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
变式1、（2020南雅八下期末）如图14，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，则应添加的条件是( )
A. B. C. D.
图12 图13 图14
例13、（2020南雅八下期末）如图15，在矩形中，是中点，是上一点，且，，，则矩形的面积为( )
A. B. C. D.
图15 图16
例14、（2020师博八下期中）如图16，矩形的对角线与相交点，，、分别为、的中点，则的长度为__________.
例15、（2020麓山八下期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，任意长为半轻画弧交，于，.再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接，交边于则的长为__________.
图17 图18
例16、（2020长培八下期中）如图18，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
例17、（2020明德八下期末）如图19，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
变式1、（2020长郡八下期末）如图20，矩形纸片中，点、分别在线段、上，将沿翻折，点落在上的点处，且，，则的长为( )
A. B.
C. D.
变式2、（2020青一八下入学考）如图21，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，的长为__________.
图20 图21
例18、（2020雨花区统考八下期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为( )
A. B.
C. D.
例19、（2020青一八下期末）如图，平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连，.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，是的平分线，若，求的长度.
变式1、（2020郡维八下期中/中雅八下入学）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连接，，并延长至，使，连接.
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由.
例20、（2020长郡八下期末）如右图22，在中，，，，为边上一动点(点不与、重合)，于，于，为中点，则的取值范围是________.
图22 图24
例21、（2020青一八下入学考）如图24，将矩形的一个角翻折，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若为的平分线，和的延长线交于点.下列结论中：①；②；③；④和的面积相等；⑤若，则.以上命题，正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
例22、（2020青一八上期末）已知：如图，在矩形中，，，为直线上一点
(1)如图1，当在线段上，且时，求的长；
(2)如图2，点为边延长线上一点，若，连接，为的中点，连接、，求证：；
(3)如图3，在(2)条件下，、为边上的两个动点，且，连接、、、，求四边形的周长的最小值.
勤练习 促掌握
1、（2020明德八下期中）如图，四边形中，对角线和交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.， B.，
C.， D.，
2、（2020麓山八下期中）在中，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3、（2020长培八下期中）如图1，的对角线与相交于点，且.若是边的中点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4、（2020青一八下期中）如图2，在中，，，平分交于点，则的长是( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
5、（2020长培八下期中）如图3，在平行四边形中，，，，则比的周长长( )
A. B. C. D.
6、（2020雅礼八上期末）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
7、（2020师博八下期末）如图4，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长为________.
图4 图5 图6 图7
8、（2020中雅八下入学考）如图5，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则___________.
9、（2020雅境八下入学考）如图6，四边形是矩形，于点，交于点，，，则的度数为__________.
10、（2020中雅八下期中改编）如图7，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足.下面结论：①平分；②为等腰三角形；③；④.其中正确的结论有 。
11、（2020长郡八下期中）如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，，垂足分别为、，延长、分别交、于点、.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，求的长.
第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴
例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）
课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴
第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略
例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．
当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．
第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，
，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．
，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，
四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、
例10、（1）
例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、
例13、
例14、
课后练习：1-3 B C D
4、
5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：
6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，
则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.
（2）如图2，连接交于点，连接交于点，
由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，
∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形
在中，
第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，
故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：
（2）设，过点C作CD交AB于点D 则
(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称
设直线解析式为
令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小
11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为
第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、
例3、
（1）令，则
设BC直线解析式
解得
(2)
(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线
③以PF为对角线
综上所述：，，
变式1、
变式2、
变式3、
例4、
例5、
例6、
例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．
课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．
第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九
第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、
第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2
第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）
勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、
第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、
例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、
第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、
勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、
第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），
勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，
第十四讲 二次函数与面积专题
例1、
变式1、（1）；
变式2、
变式3、（1）
（2）
变式4、
例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．
勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或
第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、
例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）
变式2、
变式3、
例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．
勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，
2.（1） （2）
3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．
第十六讲 二次函数与平行四边形专题
例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、
勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或
第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5
勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.
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