高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时训练

《空间直线、平面的垂直》链接高考

一、选择题

1.(2020·广西梧州模拟)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,,.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体,使平面平面BCD,则下列结论正确的是(    )

A.

B.

C.与平面所成的角为

D.四面体的体积为

2.(2020·河北石家庄模拟)已知,是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是(    )

①,,且m//n,则;

②,,且,则;

③,,且m//n,则;

④,,且,则.

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.③④

3.(多选题)(2020·山东济宁兖州区模拟)如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,,侧面PAD为正三角形,且平面平面ABCD,则下列说法正确的是(    )

A.在棱AD上存在点M,使平面PMB

B.异面直线AD与PB所成的角为

C.二面角的大小为

D.平面PAC

二、解答题

4.(2020·全国卷III)如图,在长方体中,点E,F分别在棱,上,且,.

证明:(1)当AB=BC时,;

(2)点在平面AEF内.

5.(2020·全国卷I)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,是底面的内接正三角形,P为DO上一点,.

(1)证明:平面平面PAC;

(2)设,圆锥的侧面积为,求三棱锥的体积.

答案解析

一、选择题

1.答案:B

解析:若A成立可得,矛盾,故A不正确;由题设知:,平面,,得平面,于是正确;由与平面所成的角为,知不正确;,D不正确.

2.答案:D

解析:本题为空间中的直线、平面的平行与垂直位置关系的判断,解决此类题的关键是清楚空间平行、垂直之间的相互转化,能够灵活应用判定定理和性质定理去判断直线、平面的位置关系.

对于①,当,,且m//n时,有或,相交,所以①错误;对于②,当,,且时,有或或、相交且不垂直,所以②错误;对于③,当,,且m//n时,得出,所以,③正确;对于④,当,且时,成立,所以④正确.综上知,正确的命题序号是③④.

3.答案:ABC

解析:本题主要考查空间中线面垂直的判定与性质定理,异面直线所成的角、二面角的平面角,解决此类题的关键是逐项分析判断.

如图所示,.取AD的中点M,连接PM,BM,连接对角线AC,BD相交于点侧面PAD为正三角形,∴.又底面ABCD为菱形,,∴是等边三角形.∴.又,平面平面平面PMB,因此A正确.

B.由可得,平面PMB,∴,∴异面直线AD与PB所成的角为,正确.

C.∵平面平面ABCD=BC,BC//AD,∴平面PBM,∴,.

∴是二面角的平面角,设AB=1,则,在Rt中,,∴,因此正确.

D.∵与PA不垂直,∴与平面PAC不垂直,因此D错误.

二、解答题

4.答案:见解析

解析:证明:(1)因为长方体,所以平面ABCD,,因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,所以.因为,,平面,所以平面.因为平面,所以.

(2)在上取点M使得,连接DM,MF.

因为,,,所以,,所以四边形为平行四边形,所以.

因为MF//DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形,∴,∴,所以E,,F,A四点共面,因此在平面AEF内.

5.答案:见解析

解析:(1)证明:连接OA,OB,OC,∵为圆锥顶点,O为底面圆心,∴平面ABC.

∵在DO上,OA=OB=OC,∴.

∵是圆内接正三角形,∴,,

∴,即,.

∵平面PAB,平面PAB,,

∴平面PAB.又平面PAC,

∴平面平面PAC.

(2)解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆锥的侧面积为,,

,解得r=1,,.

在等腰直角三角形APC中,,

在Rt中,,

∴三棱锥的体积为.