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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算优秀测试题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算优秀测试题，文件包含61空间向量及其运算十一大题型解析版docx、61空间向量及其运算十一大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
6．1 空间向量及其运算
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的概念
题型二：空间向量及其线性运算
题型三：共线向量（或平行向量）
题型四：空间向量的夹角
题型五：空间向量的数量积
题型六：空间向量的投影向量
题型七：共面向量
题型八：共面向量定理
题型九：空间四点共面的条件
题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型十一：利用空间向量的数量积证垂直
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1、空间向量
（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
（2）长度或模：空间向量的大小．
（3）表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或．
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量．
2、几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
的相反向量：
的相反向量：
相等向量
相同
相等
知识点二：空间向量的线性运算
（1）向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
减法
加法运算律
①交换律：
②结合律：
（2）空间向量的数乘运算
①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与向量方向相同；
当时，与向量方向相反；
当时，；的长度是的长度的倍．
②运算律
结合律：．
分配律：，．
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
（1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
（2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有．
（3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使．
（4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线．
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
知识点四：向量共面问题
共面向量
（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
（2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有．
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）．
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即．
规定：零向量与任何向量的数量积为．
（2）常用结论（，为非零向量）
①．
②．
③．
（3）数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当时，．
知识点七：夹角问题
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图．
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦．
知识点诠释：
（1）规定：
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作．
2、利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到．
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角．
知识点八：空间向量的长度
1、定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；．
2、利用向量求线段的长度．
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解．
【典型例题】
题型一：空间向量的概念
例1．（2022·山西·高二期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【方法技巧与总结】
（1）平面向量是一种特殊的空间向量．
（2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
（3）向量不能比较大小．
例2．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
例3．（2022·北京·首都师范大学附属密云中学高二阶段练习）给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；
③在正方体中，必有 ；
④若空间向量 满足，，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：空间向量及其线性运算
例4．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
（1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
例5．（2022·陕西商洛·高二期末（理））在平行六面体中，点在上，且，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
例6．（2022·湖北·高二期中）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·福建省福州第八中学高二阶段练习）空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：共线向量（或平行向量）
例7．（2022·山东·高考真题（理））已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使．
例8．（2022·北京房山·高二期中）如果空间向量不共线，且，那么的值分別是（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2022·全国·高二单元测试）如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.
变式2．（2022·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？
变式3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
题型四：空间向量的夹角
例10．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是．
(1)若，求线段的长度；
(2)求直线与所成角的余弦值．
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
例11．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期中（理））在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
例12．（2022·全国·高二单元测试）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，
（1）用，，表示和；
（2）求直线与夹角的余弦值.
题型五：空间向量的数量积
例13．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【方法技巧与总结】
由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确．
例14．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）如图，平行六面体中，，，，点满足
(1)求的长度
(2)求
例15．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点．
(1)试用，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
题型六：空间向量的投影向量
例16．（2022·北京·中央美术学院附属实验学校高二期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在．
例17．（2022·广西·梧州市黄埔双语实验学校高二期中（理））已知为标准正交基底，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
例18．（2022·山东·新泰市第一中学高二期中）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
变式4．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高二阶段练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
题型七：共面向量
例19．（2022·陕西·府谷县第三中学高二期中（理））若构成空间的一个基底，则（ ）
A．不共面 B．不共面
C．不共面 D．不共面
【方法技巧与总结】
若与不共线且同在平面内，则与，共面的意义是在内或．
例20．（2022·全国·高二期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例21．（2022·北京铁路二中高二期中）已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线 B．，共线
C．，，共面 D．，，不共面
题型八：共面向量定理
例22．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面．
【方法技巧与总结】
如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使．在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量，不共线”的要求．
例23．（2022·全国·高二专题练习）已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．
例24．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
变式5．（2022·全国·高二课时练习）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：
(1)；
(2)．
题型九：空间四点共面的条件
例25．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二阶段练习）对于空间一点和不共线三点 ，，，且有，则（ ）
A．，，，四点共面 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，，五点共面
【方法技巧与总结】
（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
例26．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
变式6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度
例28．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【方法技巧与总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解．
例29．（2022·浙江·杭州四中高二期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
(1)用向量表示；
(2)求．
例30．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)求的模．
题型十一：利用空间向量的数量积证垂直
例31．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
(1)求的长；
(2)证明：．
【方法技巧与总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零．
例32．（2022·山东枣庄·高二期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
(1)求证：共面；
(2)当为何值时，.
例33．（2022·河南洛阳·高二阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·湖南岳阳·高二期中）平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2022·浙江·高二阶段练习）已知空间非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要不充分条件
3．（2022·山东临沂·高二期中）四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南洛阳·高二期中（文））若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
7．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2022·辽宁·大连八中高二期中）如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离等于（ ）
A． B．1 C．或2 D．1或
二、多选题
9．（2022·广东江门·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高二期中）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高二期中）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2022·贵州·高二期中）如图，在四棱锥中，，分别是和的中点，下列表达式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·上海师大附中高一期末）如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为___________.
14．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为____________
15．（2022·浙江·余姚中学高二期中）在平行六面体中，°，则=___________．
16．（2022·全国·高二期中）在正方体中，，则__________．
四、解答题
17．（2022·河南·新安县第一高级中学高二阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
18．（2022·广西·浦北中学高二期中）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.
19．（2022·北京市第十二中学高二期中）在平行六面体中，四边形为正方形，且，，．
(1)求的值；
(2)求线段的长．
20．（2022·安徽·马鞍山二中高二期中）棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，若是的中点，在上且，记，，.
(1)用向量，，表示向量；
(2)若，求.
21．（2022·江西抚州·高二期中）已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求的值.
22．（2022·四川·绵阳市开元中学高二阶段练习（理））如图，在平行六面体中，，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，有.
(1)求的长；
(2)将用基向量来表示，设，求的值.
6．1 空间向量及其运算
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的概念
题型二：空间向量及其线性运算
题型三：共线向量（或平行向量）
题型四：空间向量的夹角
题型五：空间向量的数量积
题型六：空间向量的投影向量
题型七：共面向量
题型八：共面向量定理
题型九：空间四点共面的条件
题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型十一：利用空间向量的数量积证垂直
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1、空间向量
（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
（2）长度或模：空间向量的大小．
（3）表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或．
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量．
2、几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
的相反向量：
的相反向量：
相等向量
相同
相等
知识点二：空间向量的线性运算
（1）向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
减法
加法运算律
①交换律：
②结合律：
（2）空间向量的数乘运算
①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与向量方向相同；
当时，与向量方向相反；
当时，；的长度是的长度的倍．
②运算律
结合律：．
分配律：，．
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
（1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
（2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有．
（3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使．
（4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线．
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
知识点四：向量共面问题
共面向量
（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
（2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有．
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）．
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即．
规定：零向量与任何向量的数量积为．
（2）常用结论（，为非零向量）
①．
②．
③．
（3）数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当时，．
知识点七：夹角问题
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图．
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦．
知识点诠释：
（1）规定：
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作．
2、利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到．
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角．
知识点八：空间向量的长度
1、定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；．
2、利用向量求线段的长度．
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解．
【典型例题】
题型一：空间向量的概念
例1．（2022·山西·高二期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【方法技巧与总结】
（1）平面向量是一种特殊的空间向量．
（2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
（3）向量不能比较大小．
例2．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
例3．（2022·北京·首都师范大学附属密云中学高二阶段练习）给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；
③在正方体中，必有 ；
④若空间向量 满足，，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：空间向量及其线性运算
例4．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
（1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
例5．（2022·陕西商洛·高二期末（理））在平行六面体中，点在上，且，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
例6．（2022·湖北·高二期中）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·福建省福州第八中学高二阶段练习）空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：共线向量（或平行向量）
例7．（2022·山东·高考真题（理））已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使．
例8．（2022·北京房山·高二期中）如果空间向量不共线，且，那么的值分別是（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2022·全国·高二单元测试）如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.
变式2．（2022·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？
变式3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
题型四：空间向量的夹角
例10．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是．
(1)若，求线段的长度；
(2)求直线与所成角的余弦值．
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
例11．（2022·四川·绵阳市开元中学高二期中（理））在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．
(1)求侧棱AA1的长；
(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．
例12．（2022·全国·高二单元测试）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，
（1）用，，表示和；
（2）求直线与夹角的余弦值.
题型五：空间向量的数量积
例13．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【方法技巧与总结】
由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确．
例14．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）如图，平行六面体中，，，，点满足
(1)求的长度
(2)求
例15．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点．
(1)试用，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
题型六：空间向量的投影向量
例16．（2022·北京·中央美术学院附属实验学校高二期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在．
例17．（2022·广西·梧州市黄埔双语实验学校高二期中（理））已知为标准正交基底，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
例18．（2022·山东·新泰市第一中学高二期中）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
变式4．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高二阶段练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
题型七：共面向量
例19．（2022·陕西·府谷县第三中学高二期中（理））若构成空间的一个基底，则（ ）
A．不共面 B．不共面
C．不共面 D．不共面
【方法技巧与总结】
若与不共线且同在平面内，则与，共面的意义是在内或．
例20．（2022·全国·高二期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例21．（2022·北京铁路二中高二期中）已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线 B．，共线
C．，，共面 D．，，不共面
题型八：共面向量定理
例22．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面．
【方法技巧与总结】
如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使．在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量，不共线”的要求．
例23．（2022·全国·高二专题练习）已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．
例24．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
变式5．（2022·全国·高二课时练习）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：
(1)；
(2)．
题型九：空间四点共面的条件
例25．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二阶段练习）对于空间一点和不共线三点 ，，，且有，则（ ）
A．，，，四点共面 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，，五点共面
【方法技巧与总结】
（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
例26．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
变式6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度
例28．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【方法技巧与总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解．
例29．（2022·浙江·杭州四中高二期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
(1)用向量表示；
(2)求．
例30．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
(1)用，，表示向量；
(2)求的模．
题型十一：利用空间向量的数量积证垂直
例31．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
(1)求的长；
(2)证明：．
【方法技巧与总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零．
例32．（2022·山东枣庄·高二期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
(1)求证：共面；
(2)当为何值时，.
例33．（2022·河南洛阳·高二阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·湖南岳阳·高二期中）平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2022·浙江·高二阶段练习）已知空间非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要不充分条件
3．（2022·山东临沂·高二期中）四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南洛阳·高二期中（文））若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
7．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2022·辽宁·大连八中高二期中）如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离等于（ ）
A． B．1 C．或2 D．1或
二、多选题
9．（2022·广东江门·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高二期中）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高二期中）如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，，均为正方形的顶点，为平面外一点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2022·贵州·高二期中）如图，在四棱锥中，，分别是和的中点，下列表达式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·上海师大附中高一期末）如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为___________.
14．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为____________
15．（2022·浙江·余姚中学高二期中）在平行六面体中，°，则=___________．
16．（2022·全国·高二期中）在正方体中，，则__________．
四、解答题
17．（2022·河南·新安县第一高级中学高二阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
18．（2022·广西·浦北中学高二期中）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.
19．（2022·北京市第十二中学高二期中）在平行六面体中，四边形为正方形，且，，．
(1)求的值；
(2)求线段的长．
20．（2022·安徽·马鞍山二中高二期中）棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，若是的中点，在上且，记，，.
(1)用向量，，表示向量；
(2)若，求.
21．（2022·江西抚州·高二期中）已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求的值.
22．（2022·四川·绵阳市开元中学高二阶段练习（理））如图，在平行六面体中，，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，有.
(1)求的长；
(2)将用基向量来表示，设，求的值.
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