课后素养落实(一)　　空间向量的线性运算

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)

A．   B．

C．   D．

D　[＋－＝＋＝．]

2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形   B．空间四边形

C．等腰梯形   D．矩形

A　[∵＋＝＋，

∴＝．

∴∥且||＝||．

∴四边形ABCD为平行四边形．]

3．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A．a＋b－c   B．c－a－b

C．c＋a－b   D．c＋a＋b

B　[如图，∵＋＋＋＝0，

即a＋b＋－c＝0，

∴＝c－a－b．]

4．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)

A．P∈AB

B．P∉AB

C．点P可能在直线AB上

D．以上都不对

A　[因为m＋n＝1，所以m＝1－n，

所以＝(1－n)＋n，

即－＝n(－)，

即＝n，所以与共线．

又，有公共起点A，

所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB．]

5．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点， 点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝(　　)

A．＋＋

B．＋＋

C．＋＋

D．＋＋

D　[如图所示，＝，＝＋，

＝，＝＋，＝，＝，所以＝＝＋＋，故选D．]

二、填空题

6．设M是△ABC的重心，记＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)

(a＋b)　[＝×＝(a＋b)．]

7．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________．

a－b＋c　[＝＋

＝＋(＋)

＝c＋(－＋)

＝a－b＋c．]

8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)

平行　[设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)，

所以2＝＋，

从而∥(＋)．]

三、解答题

9．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式：

(1)＋(＋)；

(2)－(＋)．

[解]　(1)∵M，G分别是BC，CD的中点，

∴＋(＋)＝＋×2

＝＋＝．

(2)－(＋)＝(－)＋(－)

＝＋

＝－(＋)

＝－×2＝－＝．

10．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式：

(1)＋；

(2)＋＋；

(3)－－；

(4)＋－．

[解]　(1)＋＝．

(2)＋＋＝＋＋＝．

(3)－－＝＋＋＝．

(4)＋－＝＋＋＝＋＋＝0．

11．(多选题)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　)

A．＋2＋2＋

B．2＋2＋3＋3＋

C．＋＋

D．－＋－

BD　[A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0；C中，＋＋＝＋＝；D中，－＋－＝＋＋＋，表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0．]

12．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)

A．a＝－b   B．a∥b

C．a＝2b   D．a∥b且|a|＝|b|

C　[表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，只有C项a＝2b满足题意．]

13．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若＝2＋μ，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．

－1　0　[由A、B、C三点共线，

∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，

又由λ＋m＋n＝0得＝－－，

由A，B，C三点共线知－－＝1，

则λ＋m＋n＝0．]

14．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________．

－8　[因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，

又A，B，D三点共线，

由共线向量定理得＝，

所以k＝－8．]

15．如图，在四面体ABCD中，E，F，H分别为棱CD，AD，BC的中点，连接BE，DH，交于点G，则G为△BCD的重心，连接AG，HF，化简下列各式：

(1)＋＋；

(2)(＋－)．

[解]　(1)如图，连接EF，

∵G是△BCD的重心，

∴||＝||．

又∵＝，

∴由向量加法的三角形法则可知

＋＋＝＋＋＝＋＝，

即＋＋＝．

(2)如图，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，AH，则四边形APHQ为平行四边形．

∵＝，＝，＋＝，

＝，

∴(＋－)＝＋－＝＋－＝－＝．