课后素养落实(二)　空间向量的数量积

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量与在平面ADD1A1上的投影向量为(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[由题图可知，向量与在平面ADD1A1上的投影向量为．]

2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于(　　)

A．    B．－    C．±    D．1

A　[∵a⊥b，∴a·b＝0，

∵3a＋2b⊥λa－b，

∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，

即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，

∴12λ－18＝0，解得λ＝．]

3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)

A．a2    B．a2    C．a2    D．a2

C　[·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2．]

4．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是(　　)

A．·   B．·

C．·   D．·

D　[对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有·＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有·＝0；对于选项C，由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有·＝0；对于选项D，由长方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即·≠0．故选D．]

5．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[∵＝＋＋，

∴2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°)

＝14＋2×＝23，

∴||＝，即AC′的长为．]

二、填空题

6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________．

　[将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7．

因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝．

又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝．]

7．已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·＝___________．

3　[因为向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，

所以(6a)·＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)

＝3×(3e＋6e1·e3＋2e1·e2＋4e2·e3－e1·e3－2e)＝9|e1|2－6|e3|2＝3．]

8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．

(－1－，－1＋)　[由题意知

即

得λ2＋2λ－2<0．∴－1－<λ<－1＋．]

三、解答题

9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长．

[解]　因为＝＋＋，

所以||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2×4×3×cos 120°＝49，所以||＝7．∴PC＝7．

10．如图，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

(1)求证：CE ⊥A′D；

(2)求向量与所成角的余弦值．

[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，

根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0．

∴＝b＋c，＝－c＋b－a．

∴·＝·

＝－c2＋b2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D．

(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，

∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝．

∴向量和所成角的余弦值为．

11．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的有(　　)

A．(＋＋)2＝32

B．·(－)＝0

C．与的夹角为60°

D．正方体的体积为|··|

AB　[如图，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；

·(－)＝·＝0；

与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；

正方体的体积为||||||．故选AB．]

12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若E是底面正方形A1B1C1D1的中心， 则与(　　)

A．重合   B．平行但不重合

C．垂直   D．无法确定

C　[＝＋＋，＝＋＝－(＋)，于是·＝(＋＋)·＝·－2－·＋·－·－2＋2－·－·＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，

故⊥．]

13．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则·＝________，与所成角的大小为________．

1　60°　[法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°．因此·＝××cos 60°＝1．

法二：根据向量的线性运算可得

·＝(＋)·＝2＝1．

由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°．]

14．已知在正四面体D­ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________．

　[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，

∵G是△ABC的重心，

∴AG＝AM，

∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，

∴||＝．]

15．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．

(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；

(2)求〈，〉．

[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，

则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，

＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，

所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0，

所以⊥，

即AO⊥BO．同理，AO⊥CO，BO⊥CO．

所以AO，BO，CO两两垂直．

(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，所以||＝＝．

又||＝＝，

·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，

所以cos〈，〉＝＝．

又〈，〉∈[0，π]，

所以〈，〉＝．