数学选择性必修第二册8.3 正态分布精品一课一练

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8．3 正态分布
【题型归纳目录】
题型一：正态曲线的图象的应用
题型二：利用正态分布的对称性求概率
题型三：正态分布的实际应用
题型四：正态分布标准化
【知识点梳理】
1、正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
3、正态分布的期望与方差
若，则，．
4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率
（1）；
（2）；
（3）．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．
【典型例题】
题型一：正态曲线的图象的应用
【方法技巧与总结】
利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式．
例1．（2023·全国·高二专题练习）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（    ）．
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
【答案】B
【解析】因为，所以，
即正态总体的平均数与标准差分别为与.
故选：B．
例2．（2023·全国·高二专题练习）下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（    ）
A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤
【答案】A
【解析】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确；
只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确；
正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确；
曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；
故①④⑤说法正确.
故选：A.
例3．（2023·全国·高二专题练习）下列函数是正态分布密度函数的是（    ）
A．f(x)=，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)=
C．f(x)=
D．f(x)=
【答案】B
【解析】对照正态分布密度函数：f(x)=(x∈R)，
指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数.
故选：B
变式1．（2023春·全国·高三竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】或，因为，
所以或，即或，
或或
因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC；
当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B；
故选：D
变式2．（多选题）（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知随机变量X的概率密度函数为(，)，且的极大值点为，记，，则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得，
因为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故错误；
对于B，因为二次函数在上递增，在上递减，
由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得(，)在上递增，在上递减，
所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故正确；
对于C，因为，，又，
所以，即，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确；
故选：BCD
变式3．（多选题）（2023春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线的峰值为
C．越大，曲线越“矮胖”
D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1
【答案】ACD
【解析】对于A，根据正态密度曲线可知，，
，故，所以曲线关于直线对称正确；
对于B，当时，的峰值为，故不正确；
对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；
对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.
故选：ACD
题型二：利用正态分布的对称性求概率
【方法技巧与总结】
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如：
①；
②．
（2）“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．
例4．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设随机变量，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为随机变量，
所以，
因为，
所以，
所以，根据正态分布的对称性，.
故选：A
例5．（2023·全国·高三专题练习）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，且，则有，即，
不等式为：，则，，
所以，，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若函数是偶函数，则实数（    ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，
所以，即，
所以.
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X服从正态分布N(1，)，若，则（    ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】C
【解析】由题，因为，故关于对称，故
故选：C
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则（       ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【解析】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故选：D.
变式6．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量，若，则a的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由正态分布的特征知与关于直线对称，所以，解得.
故选：C.
题型三：正态分布的实际应用
【方法技巧与总结】
解题时，应当注意零件尺寸应落在之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
例7．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：），数据如下表所示：
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
62
56
68
62
58
61
61
52
61
59
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，经计算可得.
(1)求；
(2)假设路线一的全程时间服从正态分布，路线二的全程时间服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人的要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
【解析】（1），
.
（2）由（1）知.
因为，且.，
所以.
因为，，
，所以，
所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二.
例8．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）长沙某中学发现越来越多的学生就餐时间不去食堂，而是去面包房或校园商店考虑到学生的饮食健康及身体营养问题，校领导要求教育处就学生对食堂的菜品及服务质量等问题进行满意程度调查.教育处从三个年级中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：，，，，统计结果如图所示．

(1)由直方图可认为学生满意度得分单位：分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得若该学校有名学生，试估计该校学生中满意度得分位于区间内的人数每组数据以区间的中点值为代表
(2)为吸引学生就餐时间去食堂，教育处协同后勤处举行为期一周的活动，每天每位学生可去食堂，领取一盒早餐奶券价值元或参加抽奖活动只能二选一，其中抽奖活动规则如下：每人最多有轮抽奖，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为，每一轮抽奖，若中奖，可获用餐券一张价值元，用餐时抵扣若未中奖，则抽奖活动结束.李同学参与了此次活动．
①若李同学选择抽奖，求他获得元用餐券的概率；
②李同学选择哪种活动更合算请说明理由．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
【解析】（1）由题意知样本平均数为，
所以，
又，
故该校得分位于区间内的人数约为.
（2）①由题意可得李同学连续三次都抽中奖，第四次不中奖，李同学会获得元用餐券，
故他获得元用餐券的概率为；
②设李同学参加抽奖活动获得用餐券金额为，的可能取值为，，，，，
则，，，
，，
所以的分布列为












所以，
所以李同学选领取早餐奶券更合算．
例9．（2023·安徽淮南·统考一模）年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布.
(1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求；
(2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，
【解析】（1）由题意知，，，则，
一件产品的质量指标值位于区间的概率即为
因为，，
所以
，
所以，所以.
（2）服从正态分布，由于，
则，，
所以内径在之外的概率为，为小概率事件而，且，
根据原则，机器异常，需要进一步调试.
变式7．（2023·北京·高三统考阶段练习）“西电东送”是我国西部大开发的标志性工程之一，也是我国实现全国电力资源优化配置的一项重要的战略举措.某工厂对同一型号的20根电缆依次进行耐压测试，测得数据如下：
变式8．0  225.5  132.0  246.7  867.9  86.4  610.4  125.7  150.4  117.6
变式9．9  207.2  189.8  585.8  153.1  565.4  511.0  567.0  222.3  141.5
为了检验这组观测值是否取自于同一总体，可以采用游程检验.设，，，为依时间顺序连续得到的一组样本观测值序列.记样本中位数为，把序列中小于的观测值替换为0，大于或等于的观测值替换为1，这样就得到了一个仅由0和1两个元素组成的序列，其中以0为界的一连串的1或以1为界的一连串的0称为一个游程.例如序列0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0，它有5个0的游程和4个1的游程，总游程数为9.当总游程数过小或过大时，可以认为这组数据受到非随机因素的干扰，反之则可以认为这组数据是随机取自于同一个总体.
(1)求这组数据0的游程数；
(2)已知总游程数满足，则是否有95%的把握认为这20根电缆是随机取自于同一总体？
(3)使用总游程数进行检验有什么优缺点？请简要说明.
【解析】（1）这组观测值的中位数是，
把序列中小于的观测值替换为0，大于或等于的观测值替换为1，
得到序列0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0，
其中0的游程数为7；
（2）这组观测值的总游程数为13，
由题设知，
因此有95%的把握认为这20根电缆是随机取自于同一总体；
（3）由题可知使用总游程数进行检验的优点：操作容易，计算量小，不受总体分布的限制；
缺点：对样本信息使用不充分，游程的取值为整数，易产生误差.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，把他们的得分（满分100分）分成以下7组：，，，，，，，统计得各组的频率之比为1∶6：8：10：9：4：2．同一组数据用该区间中点值代替．
(1)求这1000名幸运者成绩的第75百分位数和平均值（结果保留整数）﹔
(2)若此次知识竞赛得分，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分不超过93分的可获得2次抽奖机会，超过93分的有3次抽奖机会，试估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望．
参考数据：
，，．
【解析】（1）这1000名幸运者成绩的第75百分位数为x，则
所以，解得（分），
（分）．
所以这1000名幸运者成绩的第75百分位数约为76分，平均值为65分；
（2）设随机变量Y表示任意一名幸运者的抽奖次数，则Y的可能取值为1，2，3，
由已知及（1）得，，
，
，
，
其分布列为
Y
1
2
3
P
0.84135
0.1359
0.02275
所以．
所以可以估计任意一名幸运者获得抽奖次数的数学期望为1.1814次．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.
(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望；
(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.
①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02
9.78
10.04
9.92
10.14
10.04
9.22
10.13
9.91
9.95
10.09
9.96
9.88
10.01
9.98
9.95
10.05
10.05
9.96
10.12
经计算得，，，
其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）.
附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，.
【解析】（1）抽取的一件药品的主要成分含量在之内的概率为0.9974，
从而主要成分在该区间之外的概率为0.0026，故，
X的数学期望为.
（2）①由，得估计值为，
结合样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在之外，
因此需对本次的生产过程进行检查.
②设“在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查”为事件，
则，
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在区间外的药品，故概率为：
，
故确定一天中需要对原材料进行检测的概率为0.014.
(1)估计抽取的200份问卷的数据平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照县城高中和非县城高中两类随机抽取7份问卷，再从中选取3份问卷作进一步调研，设这3份问卷中包含县城高中问卷数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)根据教育部发布《<体育与键康>教学改革指导纲要》精神，指导全国中小学体育教师科学、规范、高质量地上好体育课，更好地帮助学生在体育锻炼中“享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，促进青少年学生身心健康全面发展具有积极指导作用．根据相关数据，体育教学综合质量指标服从正态分布（用样本平均数和方差作为，的近似值且取整数），若某市有65所中学学校，试估计该市中学学校体有教学综合质量指标在内的学校数量．（结果保留整数）
参考数据：若随机变量，则，，
可能用到的数据：．
【解析】（1）由题意得，
估计抽取的200份问卷的数据平均值．
（2）由于第五组总抽取7份问卷，县城高中占，
所以抽到的县城高中问卷有份，非县城高中问卷共4份，
再从中抽3份问卷中包含县城高中问卷数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
，
故其分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以得到随机变量X的数学期望．
（3）因为，所以，
．
则，
所以估计该市中学学校体育教学综合质量指标在内的学校数量约为53所.
题型四：标准正态分布
例10．（2023·全国·高二期末）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（i）利用直方图得到的正态分布，求；
（ii）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0．001），以及Z的数学期望（结果精确到0．01）．
参考数据：，，，，．若，则，，．
【解析】（1），
．
（2）（i）由题意并结合（1）可知，，，
∴，∴．
（ii）由（ⅰ）可知，，
∴，
∴，．
例11．（2023·全国·模拟预测）2019年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试．某学校在九年级上学期开始，就为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图．

（1）规定学生1分钟跳绳个数大于等于185为优秀．若在抽取的100名学生中，女生共有50人，男生1分钟跳绳个数大于等于185的有28人．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关．

（2）根据往年经验，该校九年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步．假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比九年级上学期开始时增加10个，全年级恰有2000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数X服从正态分布，用样本数据的平均值和标准差估计和，各组数据用中点值代替，估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数（结果四舍五入到整数）．
附：，其中．

0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001

2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
若随机变量X服从正态分布，则，，．．
【解析】（1）由频率分布直方图得样本中1分钟跳绳个数大于等于185的人数为
．
补充完整的2×2列联表如下表所示：

由公式可得．
因为，所以没有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关．
（2）由题知，训练后学生1分钟平均跳绳数比训练前学生1分钟平均跳绳数大10，方差不变．
由直方图计算可得训练前学生1分钟跳绳数的平均数为：，
所以．
训练前学生1分钟跳绳数的方差为：

所以
故X服从正态分布．
，．
故估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数约为1683．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．

0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
变式12．（2023·全国·高二专题练习）为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.
①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.
【解析】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

（分）.
（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，
根据题意，，
即.
由，得
解得，
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
②，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．
【同步练习】
一、单选题
1．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X，若，则买一个面包的质量大于900g的概率为（    ）
（附：①随机变量服从正态分布，则，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
【答案】C
【解析】由题意得，
故面包的质量大于900g的概率为.
故选：C
2．（2023·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知随机变量且，则 （    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】，.
因为，
所以，解得.
故选：B.
3．（2023·全国·高二专题练习）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布（单位：m），，则（    ）
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
故选:D.
4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（    ）
[附：若，则，
．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
【答案】A
【解析】使在R上单调递增的充要条件是，即，故.
由于随机变量，则，即，即，.
故，
，
所以
．
故选：A．
5．（2023·上海·高三专题练习）设随机变量，，其中，则下列等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为随机变量，所以此正态曲线关于直线对称，
因为，所根据对称性可得，
所以B正确；
由，，所以与不一定相等，所以A错误；
由，所以C错误；
由或，所以D错误．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ）. 附：随机变量服从正态分布，则，.
A．12 B．16 C．30 D．32
【答案】B
【解析】由题意可知，所以,所以每天学习时间超过10小时的人数为，
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布，如果规定竞赛成绩大于或等于90分为等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为（    ）（附：若，则，，）
A．0.0455 B．0.0214 C．0.0428 D．0.02275
【答案】D
【解析】由题意，正态分布的标准差为5，故，故在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（    ）
附：随机变量服从正态分布，则
A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】D
【解析】由正态分布的定义，为期望值，为方差，
选项A：该校学生成绩的均值为70.判断错误；
选项B：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
选项C：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
选项D：该校学生成绩及格率，判断正确.
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）下列命题中，说法正确的是（    ）
A．已知，若，则
B．若从小到大排列的一组数据为.则这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为
C．若两个事件独立，那么
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，
所以，又，
所以，
由对称性可得，A正确；
对于B：由已知样本数据中有10个数，
又，，
所以样本数据的第25百分位数为28，第60百分位数为，
所以这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为，B正确；
对于C：举例如下：
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
设“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币正面朝上”，
则，，，
所以两个事件独立，但是，C错误；
因为，所以，
又，
所以，
所以事件与事件相互独立，D正确.
故选：ABD.
10．（2023·江西宜春·高二校考期末）下列说法中，正确的命题是（    ）
A．对于任意两个事件与，如果，则事件与独立
B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
C．，
D．随机变量服从正态分布，若，则.
【答案】ABCD
【解析】对于A，由，根据独立事件的定义可得事件与独立；A正确；
对于B，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定为互斥事件，B正确；
对于C，由期望的性质可得，由方差的性质可得，C正确；
对于D，因为随机变量服从正态分布，所以，
又，又，D正确.
故选：ABCD.
11．（2023·辽宁·校联考一模）随机变量且，随机变量，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为且，
所以，故，，选项A正确，选项B错误；
因为，所以，
所以，解得，选项C正确；
，选项D正确.
故选：ACD.
12．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知随机变量服从正态分布，则下列说法中正确的有（    ）
A． B．
C． D．的方差为2
【答案】AB
【解析】因为随机变量服从正态分布，
所以，
即此正态分布的图象关于对称，由对称性可知，
所以，故A正确；
因为和关于对称，而和不关于对称，
由对称性可知，，故B正确，C错误；
的方差为4，故D错误．
故选：AB．
三、填空题
13．（2023·四川成都·川大附中校考二模）某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为______.
【答案】50
【解析】由已知可得，，所以.
又，根据正态分布的对称性可得，
所以.
所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为.
故答案为：.
14．（2023春·江西·高二校联考阶段练习）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得σ至多为____________．（若，则；；）
【答案】
【解析】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，
的解集，
由可得，所以，解得：，故σ至多为．
故答案为：．
15．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知随机变量,且，若,则的最小值为_________．
【答案】
【解析】，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，，即．
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则_______.
【答案】
【解析】为偶函数，，即，
.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：
长度（单位：mm）
[23，25）
[25，27）
[27，29）
[29，31）
[31，33）
[33，35）
[35，37）
[37，39]
频数
4
9
16
24
18
14
10
5
(1)求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布
其中，
①利用正态分布，求；
②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值yi（i＝1，2…，20），数据如下：
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
24.1
31.8
32.7
28.2
28.4
34.3
29.1
34.8
37.2
30.8
y11
y12
y13
y14
y15
y16
y17
y18
y19
y20
30.6
25.2
32.9
27.1
35.9
28.9
33.9
29.5
35.0
29.9
若20个样本中纤维均值的频率不低于①中即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．
附：若，则，，
【解析】（1），
；
（2）棉花的纤维长度服从分布，其中，．
①利用正态分布，则，
②，
故，满足条件，
∴认为该批优质棉花合格．
18．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
【解析】（1）样本平均数的估计值为．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y
0
5
10
15
20
25
P






所以数学期望为．
19．（2023·河南驻马店·高三校考阶段练习）我市高三年级第二次质量检测的数学成绩近似服从正态分布，且．已知我市某校有人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于分的人数为？
【解析】因为，且，，
故，
因此，所以我市某校有人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于分的人数为．
20．（2023春·江西九江·高二九江一中校考阶段练习）口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器．独奏口琴有三种，分为半音阶口琴（有按键）、复音口琴、十孔口琴（又名布鲁斯口琴、蓝调口琴）．“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查．“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴爱好者每周的练琴时间x（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间x服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组的数据用该组区间中点值代表），近似为样本方差（），据此，估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到400分钟的人数；
(2)从样本中练琴时间在和内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取4人进行培训，设Y表示抽取的4人中练琴时间在内的人数，求Y的分布列和数学期望．
参考数据：样本方差，，，，．
【解析】（1）这200名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间
，
由于样本方差，所以，结合题意知，，
∴，
小时＝160分钟，小时＝400分钟，，
可以估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数约为8186人．
（2）由频率分布直方图可知，成绩在，内的口琴爱好者人数比例为，
用分层抽样的方法抽取8人，则成绩在内的有人，成绩在内的有人．
∴的所有可能取值为0，1，2，
，，，
则∴的分布列为：

0
1
2




故．
21．（2023春·山西·高二统考阶段练习）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品.
(1)从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望
(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由.
附：若，则，，.
【解析】(1)因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，
则，
，
，
所以Y的分布列如下：
Y
0
1
2
P



故.
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
这10件农产品的平均数为，
这10件农产品的方差为
，
由，可令，，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，，
可得，
有
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.
22．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）第13届女排世界杯共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（每场比赛采取五局三胜制）．最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分．已知中国队的第7场比赛对阵美国队，设每局中国队取胜的概率为．
(1)如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在内的排球个数（计算结果四舍五入取整数）．
(2)第7场比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为．
①求出的最大值点；
②若以作为p的值，在第10场比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列．
参考数据：，则．
【解析】(1)因为，
则，
所以质量指标在内的排球个数约个；
(2)①前三场赢两场，第四场必赢，
则，
令，得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以的最大值点．
②可能取的值为0、1、2、3，
当时，前三均全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢，
故，
当时，前四场赢两场，第五场必赢，
故，
当时，前四场赢两场，第五场必输，
故，
当时，前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输，
故，
所以的分布列为：

3
2
1
0