高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用精品同步测试题

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6．3 空间向量的应用
【题型归纳目录】
题型一：直线的方向向量
题型二：平面的法向量
题型三：直线和直线平行
题型四：直线与平面的平行
题型五：平面和平面平行
题型六：直线和直线垂直
题型七：直线与平面垂直
题型八：平面与平面垂直
题型九：两条异面直线所成的角
题型十：直线与平面所成的角
题型十一：二面角
题型十二：点到平面的距离
题型十三：点到直线的距离
题型十四：直线（平面）到平面的距离
【知识点梳理】
知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式．

知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．
2、平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．

知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3、平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
知识点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．

知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．

（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，．

若分别为面的法向量，
则二面角的平面角或，
即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
知识点五、用向量方法求空间距离
1、求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．
2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-
即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．
直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量．
3、点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离．
【典型例题】
题型一：直线的方向向量
例1．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】若，不平行，则，相交或异面，
若，异面，则，不平行.
所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【方法技巧与总结】
理解直线方向向量的概念
（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
（2）直线的方向向量不唯一．
例2．（2022·华中师范大学海南附属中学高二阶段练习）在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
其中正确的是________．(填序号)
【答案】①②③
【解析】，故①正确；，故②正确；直线平面，，故③正确；向量的坐标为，与平面不垂直，④错．
题型二：平面的法向量
例3．（2022·全国·高二）已知，，．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)写出平面ABC的一个法向量．
【解析】(1)因为，，所以，
所以直线BC的一个方向向量为.
(2)因为，，，所以，，
设平面ABC的一个法向量为，则，
即，令，则，，
所以，
所以平面ABC的一个法向量为.
【方法技巧与总结】
求平面法向量的步骤
（1）设出平面的法向量为．
（2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，．
（3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组
（4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）．
例4．（2022·广东江门·高二期末）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量．
【解析】（1）因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．
（2）因为正方体的棱长为3，，
所以M，B，的坐标分别为，，，
因此，，
设是平面的法向量，则
，，
所以，
取，则，．于是是平面的一个法向量．
例5．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量．
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、，所以，，，设面的法向量为，所以，令，则，，所以，即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，所以平面的一个法向量为；

变式1．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：

(1)平面ABCD；
(2)平面；
(3)平面．
【解析】(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
所以平面的一个法向量为，
(2)设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
(3)设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则
所以平面的一个法向量为

题型三：直线和直线平行
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点．
(1)求证：且；
(2)求证：．
【解析】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，．
（1）由，，，
得且，
所以且．
（2），由于，显然，故．
【方法技巧与总结】
证明两直线平行的方法
方法一：平行直线的传递性．
方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量，，证明，即．
方法三：坐标法，建立空间直角坐标佘，把直线的方向向量用坐标表示，如，
，即证明，即且且．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．

【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则、、、、、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，
∴.
题型四：直线与平面的平行
例8．（2022·山东·青岛中学高一阶段练习）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.

(1)求证：平面A1B1BA；
【解析】（1）由AB＝AC，E为BC的中点，则AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，
所以E(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,2,0)，B(,0,0)，B1(,0,2)，A1(0,2,)，.
所以，，.
设平面A1B1BA的一个法向量为，则，若，则，
而，所以，又平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
【方法技巧与总结】
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
例9．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值；

【解析】因为底面，，平面，所以，．
由题意可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
则，所以．
设平面的一个法向量为．
由得：不妨令，得．
因为平面，所以，解得．

例10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点.

(1)BM//平面D1AC；
【解析】（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则点，，
所以,
又点，，
所以，
所以.，
又因为与BM不共线，
所以//BM.
又平面，平面，
所以BM//平面.
变式2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．证明：PQ平面BCD；

【解析】证明：因为BC⊥CD，AD⊥平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，
过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设 ,， ，， ,，Q，
(,,0)，
∵平面BCD的法向量可取为，
则，又平面BCD，
∴PQ平面BCD．
题型五：平面和平面平行
例11．（2022·天津市蓟州区擂鼓台中学高二阶段练习）如图，长方体中，，，

(1)求证：平面平面;
【解析】（1）因为长方体，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系：

由题知,
则，
设平面的法向量为，则，解得，
设平面的法向量为，则，解得，
因为，所以平面平面.
【方法技巧与总结】
证明面面平行问题的方法
（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
例12．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.

【解析】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，,,,,
,

设平面的一个法向量为，则
即，令，解得
所以
设平面的一个法向量为，则
即，令，解得
所以
所以
∴平面∥平面.
例13．（2022·广东·佛山市超盈实验中学高二阶段练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．

(1)用向量法证明平面平面；
【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，
故，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
所以，即，
故平面平面；
变式3．（2022·全国·高二专题练习）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

(1)证明：B1D⊥平面ABD；
(2)证明：平面EGF∥平面ABD.
【解析】（1）以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
（2）由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.   结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.

题型六：直线和直线垂直
例14．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习（理））如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题：

(1)求证：；
【解析】（1）因为面面，面面，，面，
所以面，又面，所以，
又因为在正方形中，，所以两两垂直，
以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为M为EC的中点，所以，
故，，
所以，故即.

【方法技巧与总结】
利用向量方法证明线线垂直的方法
（1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
（2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．
例15．（2022·广东·广州市第十七中学高一期中）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：.

【解析】由题意，连接，如下图：

，
同理，
故
由，，，，则，
故.
例16．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点．证明：；

【解析】因为直三棱柱中，，，
所以两两垂直，
以B为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，故，
所以.

变式4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．

（1）求证：；
【解析】（1）因为底面ABCD为矩形，，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以.
题型七：直线与平面垂直
例17．（2022·广东·高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.

(1)求证：；
(2)在平面内求一点G，使平面.
【解析】（1）因为底面，平面，平面，
所以，，又底面为正方形，
所以，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，
∴，，
∴＝0，
∴，即EF⊥CD；
（2）设，则，，，
若使GF⊥平面PCB，则需且，
由，
解得，
由，
解得，
因为为平面内两条相交直线，故平面，
∴G点坐标为，即G为AD的中点．
【方法技巧与总结】
用向量法证明线面垂直的方法
（1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
（2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
例18．（2022·湖北·鄂州市鄂城区秋林高级中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)在侧面内找一点，使平面．
【解析】（1）设，连、，则，
∴即为与所成的角或其补角．
在中，，，，
∴．
即与所成角的余弦值为．
（2）分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，

则可得、、、、、，
，
设，则，由于平面，
所以，化简得，可得，，
因此，点的坐标为，
从而侧面内存在一点，当到、的距离分别为1和时，平面．
例19．（2022·吉林·蛟河市第二高级中学校高二期中）如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面．
【解析】（1）由题意，可知，，，，
的中点，的中点，则，
易知平面的一个法向量，
，，平面，平面.
（2）由题意，可知，，，
在平面内，取，，设其法向量，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量，
，平面，即平面，
题型八：平面与平面垂直
例20．（2022·安徽·安庆一中高二阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：，
，
又平面平面，
所以平面，
平面，
，
又平面平面，
平面；
（2）存在，理由如下：
平面，
∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，


则，
假设在线段上存在一点，使得平面平面，
设，
则，
，
，
设平面的法向量，
由，
得，
令，
得．
设平面的法向量为，
，
故，
取，
得．
因为平面平面，
所以，
解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且．
【方法技巧与总结】
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ．

(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．
【解析】（1）证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；

则 ，
故，，
∴，
∴⊥，即 ；
（2）证明：因为 平面ABC，平面ABC，所以,
因为 ，故 ，∵M为AP上一点，且 ，
∴M(0,，)，∴(0,,)，
(-4,,)，(4,,)；
设平面BMC的法向量为，
则 ，即，
令 ，则；
设平面AMC的法向量为，则 ，
即，令 ，则；
由于，
得⊥，即平面AMC⊥平面BMC．
例22．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高二期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.

（1）平面；
（2）平面平面.
【解析】

证明以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、 轴建立如
图所示的空间直角坐标系
∵平面
∴为与平面所成的角 .
∴， ∵ ∴，
∴

( 1 ) 设 为平面 的一个法向量 ,
由即
令 ，得

又平面 ∴平面
( 2 ) 如图 , 取的中点 连接
则
∵
又
∴
又 ∴平面
又平面 ∴平面⊥平面
题型九：两条异面直线所成的角
例23．（2022·辽宁丹东·高三阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】
【解析】以A为原点，在平面内过点A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

在正三棱柱中，，，
则 ，
故 ,,
设异面直线与所成角为，
所以 ,
∴异面直线 与所成角的余弦值为,
故答案为：.
【方法技巧与总结】
运用向量法常有两种途径
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量．
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
例24．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．

(1)证明：；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可得平面，且，故以为原点，
，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，设，且，
则，，，由，
（2）可设，且，则，，，
由异面直线MF与AC所成的角为30°可得，
整理得，即或（舍），
所以存在点M，M是A1B1中点.

例25．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习（理））如图，直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成角的余弦值为______.

【答案】
【解析】以C为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则有，，，，
，，
.
则BM与AN所成角的余弦值为.
故答案为：
变式5．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】如下图所示：

由题意可得，，
所以，，
，

，
所以，.
因此，与所成角的余弦值为.
故答案为：.
变式6．（2022·辽宁·营口开发区第一高级中学高二阶段练习）在直三棱柱中，，，，，，则异面直线与夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】

由已知可得，两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.
则，，，，，
由可得，，
则，
，，，，
所以，.
所以，异面直线与夹角的余弦值为.
故答案为：.
题型十：直线与平面所成的角
例26．（2022·陕西渭南·高二期末（理））如图，在空间直角坐标系中有单位正方体分别是棱和的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）由题知，，
，
，故，
平面平面，
平面．
（2）由题知，，
，
设平面的法向量为，
则即令，得，
平面的一个法向量为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【方法技巧与总结】
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：

例27．（2022·上海金山·一模）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，.

(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成的角的大小.
【解析】（1）因为平面，且平面，
所以.
在正方形中，.
而，平面，
故平面.
（2）以为坐标原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系.
设，则，
从而.
设平面的法向量为，
，
令，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
故与夹面的所成角大小为.

例28．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥平面，底面是菱形，，平面平面.

(1)证明：；
(2)设为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
【解析】（1）如图，过点作，垂足为
.平面平面，平面平面，平面，
平面.
平面.
.
平面平面.

又，平面，
平面.
又平面，所以，

（2）由已知及（1）得四边形是正方形，从而两两垂直，
以为轴正方向如图建立空间直角坐标系.

设，则
设，则，
设平面的法向量，则即，
取，则.即.

当时，上式最大为，.
所有与平面所成角的正弦值的最大值为.
变式7．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为的中点．

(1)求平面与平面夹角的正弦值；
(2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长．
【解析】（1）由题意得，四棱柱中，⊥底面，，，
∵面，
∴，，建立空间直角坐标系如下图所示：

，，为的中点
∴，，，，，，，，，
在面中，设法向量为，，
∴，解得，当时，
在面中，设法向量为，，
∴，解得，当时 ，
平面角与平面夹角为，
，
∴，
（2）由题意，（1）及几何知识得，
在四棱柱中，，，
设，
∴，
在面中，其中一个法向量为，
设直线与平面所成角为
∵直线与平面所成角的正弦值是
∴，解得，
∴，.
题型十一：二面角
例29．（2022·江西赣州·高三阶段练习（理））在边长为2的正方形外作等边（如图1），将沿折起到处，使得，E为的中点（如图2）．

(1)求证：平面 平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）因四边形ABCD为正方形，则.
又在三角形PCD中，，，，
则.又平面PCD，平面PCD，，
则平面PCD.取BC中点为O，AD中点为F，连接PO，OF.
则.又平面PCD，则，
得.
故如图建立以O为原点，以射线OB方向为x轴正方向，射线FO方向为y轴正方向，
射线OP方向为z轴正方向的空间直角坐标系.
则，
.
得，
设平面PDE法向量为，则，
取.
设PCD法向量为，则，
取.
因，则平面 平面.
（2）由（1）分析可知，平面PDE法向量为.
又，设平面PAD的法向量，
则，取.
则，
又由图可知二面角平面角为锐角，则，
得二面角的正弦值.

【方法技巧与总结】
利用向量法求二面角的步骤
（1）建立空间直角坐标系．
（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．
（3）求两个法向量的夹角．
（4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角．
（5）确定二面角的大小．
例30．（2022·云南曲靖·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面分别为线段的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【解析】（1）平面平面，
为长方形，，
又平面，
平面，又平面，
所以，
为线段的中点，，
又平面平面.
又平面，所以平面平面；
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得.
，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，得，
设平面与平面所成的锐二面角为，
，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
例31．（2022·广东茂名·高二期末）如图，在四棱雉中，底面满足，，底面，且，.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值.
【解析】（1）底面，平面，.
，，、平面，平面，
平面，平面平面；
（2）底面，平面，，，
又，∴以点A为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
设平面的法向量是，则，即，令，则，，于是，
由（1）知平面，故可取平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为锐角，.
平面与平面的夹角的余弦值为.
变式8．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高三阶段练习）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝2，设 (λ＞0)．

(1)若λ＝1，求直线与平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)若二面角的大小为60°，求实数的值．
【解析】（1）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
（1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为
则，所以取
设直线与平面所成角为，又，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2），，，，
设平面的法向量为，则，
所以取.
又平面的一个法向量为，由题意得，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以实数的值为.
变式9．（2022·江苏·宝应县安宜高级中学高三阶段练习）直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．

(1)求点到平面的距离；
(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可知：四边形为矩形，则M为中点，
以B为坐标原点，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，即，
∴点M到平面的距离．
（2）存在，
设点，平面PBD的法向量，
∵， ，则，
令，则，，即，
∴，解得：或，
当时，P与重合，此时二面角为锐二面角，不合题意；
当时，二面角为钝二面角，符合题意；
综上所述：存在点，使得二面角的余弦值为，此时．

题型十二：点到平面的距离
例32．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习（理））如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，，.

(1)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值；
(2)求点E到平面BCD的距离.
【解析】（1）在平面内过点C作，，
因为平面平面ABC，平面平面,平面
所以平面ABC，CA，CB，CM两两垂直.
如图，以，，的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，.
所以.
因为平面ABC的一个法向量，
所以，即所求角的正弦值为.

（2）设平面BCD的一个法向量为，则，.
，,
所以，令得.
所以点E到平面BCD的距离为.
【方法技巧与总结】
求点到平面的距离的主要方法
（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
（2）在三棱锥中用等体积法求解．
（3）向量法：（为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段）
例33．（2022·广东清远·高二期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，=

(1)求证：；
(2)求点A到平面PBE的距离．
【解析】（1）∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
又∵平面ABCD，∴；
（2）在平面ABCD内，过点作AD的垂线EF，交BC于F，
由平面PAD，平面，可得平面PAD平面
又平面PAD平面，平面，
则平面PAD，又，则两两垂直
则以为原点，分别以EP，EA，EF所在的直线为轴，轴，轴
建立空间直角坐标系，如图

因为，
则，，，
则，，
设平面PBE的一个法向量为，
，取，则，故
设点A到平面PBE的距离为h，则h=，
∴点A到平面PBE的距离为．
例34．（2022·山西·太原市外国语学校高二期中）如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分别为的中点，.

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）平面平面，平面平面平面，
平面，
平面，
由题可得，
平面，平面.
（2）以点为坐标原点，的方向分别为轴､轴轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得，
则.
设平面的一个法向量为，
由，得，不妨令，则.
设点到平面的距离为，则.

题型十三：点到直线的距离
例35．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：

(1)求直线与所成的角的余弦值；
(2)求点到直线的距离．
【解析】（1）由题意得，，，．
则，，
设与所成的角为，则，
所以，
所以与所成的角的余弦值为．
（2）作于，则点到直线的距离为，
因为，，
又，设，则，，，
所以，解得，则，故，
所以，
所以点到直线的距离为．
.

【方法技巧与总结】
用向量法求点到直线距离的步骤
（1）建立适当的空间直角坐标系；
（2）求所求点与直线上某一点所构成的向量；
（3）若已知直线的方向向量，则利用公式求解；若已知直线的法向量，可利用求解．
例36．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．

(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)求点到直线的距离．
【解析】（1）以A为原点，AB、AD、AE分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，则，，

，
∴直线与直线所成角的余弦值为.
（2）根据（1）可知：，，，
∴，                         
∴点到直线的距离为：．
题型十四：直线（平面）到平面的距离
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离．
【解析】正方体中，,故四边形,
所以 ，同理 ，
所以平面 平面 ，
以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则 ，
所以，，，
设平面 的法向量为，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
则为平面的一个法向量，
所以点 到平面的距离d，
则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离，
所以平面与平面间的距离为．
【方法技巧与总结】
用向量方法研究空间距离问题的一般步骤
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，利用公式求解．
例38．（2022·全国·高三专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点，
分别是的中点，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，

则，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，．
法二:
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为
例39．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．

(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
【解析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，，，
∴，，，，，，
取，，
，
则点B到直线AC1的距离为；
（2）∵，
∴，
而平面，平面，
∴平面，
∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
∴，
∴，取，则，，
∴，
又，
∴点到平面的距离为.
变式10．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高二期中）如图，在长方体中，，，求：

(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
【解析】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，，
所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离；

（2）由(1) ，，，
设平面的法向量，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；
（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为.
变式11．（2022·河南·郑州市第一〇一中学高二阶段练习）如图，在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求异面直线PB与CE的距离.

【解析】由，知在上取点使，
根据三角形相似易知∥，又平面，且平面，
从而∥平面，
于是只需求直线到平面的距离.以为坐标原点，所在直线为轴，
建立如图所示的直角坐标系，

由已知，，C，F，E，
则＝，＝，＝.
设平面CEF的法向量为，
则
于是令，，，则.
∴PB与平面CEF间的距离，
从而异面直线PB与CE的距离为.
变式12．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求：

(1)异面直线，所成角的大小；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线，的距离．
【解析】（1）由且，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意，因为为线段的中点，所以，
所以，
，
所以异面直线，所成角的大小为；
（2）由题意，，
，
设点到平面的距离为，因为，
由
所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离；
（3）如上图所示，作交于点，
因为平面，平面，所以平面，
因此异面直线，的距离就是直线与平面的距离，
也即是点到平面的距离，
因为为线段的中点．所以，
设平面的法向量为，
则令，则可得
所以点到平面的距离，
即异面直线，的距离为．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高二阶段练习）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与异面且垂直 B．直线与异面且不垂直
C．直线与相交且不垂直 D．直线与平行
【答案】A
【解析】根据题意，以点A为原点，分别以AB，AD，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下：

设正方体的棱长为，
则O（，，0），N（，0，），A（0，0，0），M（0，，），
取，
由，
则，即ON⊥AM．
取的中点，连接，其中交于，如图：

明显，又，
，
即四点共面，
面，面，，
直线与异面，
直线与异面且垂直
故选：A.
2．（2022·浙江·金华市江南中学高二期末）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，
因为，所以，
，，
，，
所以点P到AB的距离．
故选：C.
3．（2022·湖北·高三阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设分别是的中点，连接，则，
由于是等边三角形，所以，
根据直三棱柱的性质可知，平面平面，且交线为，
平面，所以平面，
由于平面，所以.
根据根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面，
平面，所以，
由此以为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，
设，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：A

4．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知，则原点到平面的距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设其法向量为，取得
又
故选：A
5．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）空间中有三点，则点到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
则，，
则，
所以点到直线的距离为.
故选：A.
6．（2022·河南开封·一模（文））如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（    ）

①∥平面；    ②平面平面；
③直线与所成的角为；    ④直线与平面所成的角为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，

，
由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，
，因为，所以，而平面，
因此∥平面，故①对；
设平面的法向量为，，，
所以有，
同理可求出平面的法向量，
因为，所以，因此平面平面，故②正确；
因为，，
所以，
因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；
设直线与平面所成的角为，
因为，平面的法向量为，
所以，
所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，
一共有个结论正确，
故选：C
7．（2022·陕西渭南·高二期末（理））将正方形沿对角线折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，其中为的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．平面
B．平面与平面所成角的余弦值为
C．与所成的角为
D．与所成的角为
【答案】D
【解析】因为折叠前为正方形，由题意则折叠后有，，
又平面，平面，，所以平面，故A正确；
又平面，所以，与所成的角为，故C正确；
因为二面角为直二面角，而平面，
所以为二面角的平面角，即，
如图所示，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则，
，，
设平面的法向量为，
则令，则可得，
取平面的法向量为，
平面与平面所成角的余弦值为，故B正确；
设与所成的角为，则，
又因为，所以，故D错误.
故选：D.
8．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动．若平面，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
设点，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，
因为平面，则，即，
所以，
因为，则当时，取最小值，
即的最小值为.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）下列命题是真命题的有（    ）
A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则，
B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D． ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面
【答案】BD
【解析】对于A， ，由题意知 ，
故 ，解得，A错误.
对于B， , 故
可得l与m垂直，B正确；
对于C， , 故
可得在内或，C错误；
对于D, 是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，
则，，共面，可得共面,D正确；
故选:
10．（2022·山东临沂·高二期中）在空间直角坐标系中，，，，则（    ）
A． B．异面直线OC与AB所成角等于
C．点B到平面AOC的距离是2 D．直线OB与平面AOC所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】对于A 项，
，，所以A正确.
对于B项，设与所成的角为，则
且所以，故B不正确.
对于C项，设平面的法向量为
并且，即即，所以，所以点B到平面AOC的距离，故C正确.
对于D项，设直线OB与平面AOC所成角为，则，故D正确.
故选：ACD
11．（2022·广东·高三阶段练习）如图，多面体中，四边形为正方形，且，则（    ）

A．三棱锥的体积为 B．平面
C．三棱锥的体积为2 D．平面
【答案】ABC
【解析】由平面，
得平面，
由题意知，，建立如图空间直角坐标系，
则，
得，，
对A：，故A正确；
对B：由，得，
又平面，所以平面，故B正确；
对C：由，得.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
故点F到平面的距离为，
所以，故C正确；
对D：由，得平面不成立，故D错误.
故选：ABC.

12．（2022·山东·利津县高级中学高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，、、是棱、、上的动点（包含端点），且满足，则下列结论正确的是（    ）
A．平面
B．存在、、，使得点到平面的距离为1
C．平面截此正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截此正方体所得截面的周长为定值
【答案】ACD
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设，，

则，，，，，
，故，
同理可得，，平面，故平面，A正确；
平面的一个法向量为，
点到平面的距离为，解得，不满足，B错误；
设平面分别与，，交于，设，
则，，即，
同理可得：，，故，，
如下图：过点作于，于，
则，，

截面面积：
，当时有最大值为，C正确；
截面的周长为：，为定值，D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高二阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
可得，
因为，则，
所以，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
又因为，所以．
所以平面与平面的距离为．
故答案为：．
14．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高二阶段练习（理））在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于___________．
【答案】
【解析】解:由题知直三棱柱中,,
所以以为原点,方向为轴,方向为轴, 方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系:

,,,
又有三棱锥的体积为4,
即,
,

,
记平面法向量为,
则,即,
令可得,
,
故直线与平面所成角的正弦值等于.
故答案为:
15．（2022·山西省运城中学校高二期中）在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为___________.
【答案】8
【解析】如图，分别作垂直于直线于点，则由等腰直角三角形的性质可得，即.
若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，


因为二面角的大小为，所以，代入上式可得，
所以，即的长度为.

故答案为：8.
16．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（文））在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题：

①四点共面；
②三棱锥的体积与的取值有关；
③当时，；
④当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为.
其中正确的有__________（填写序号）.
【答案】①③
【解析】

对于①，易知，
因为，
所以四点共面，故①正确；
对于②，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
又易知到底面的距离等于定值，而的面积一定，
所以三棱锥的体积为定值，故②错误；
对于③，建立如图所示空间直角坐标系，

所以由题知，,
所以,
因为，
所以,
所以，
当时，，解得
所以与重合，
所以，故③正确；
对于④，当时，为的中点，
过作且，则易证，
所以易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
又易知，
从而可得等腰梯形的高为，
所以截面等腰梯形的面积为，故④错误、
故答案为：①③
四、解答题
17．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
【解析】（1）如图，底面，底面，底面，
，.
以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，
，，，，，
，，
，
则异面直线与所成角的余弦值为，故异面直线与所成角的大小为.
（2）由题意可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则.
.
所以平面和平面夹角的余弦值.

18．（2022·全国·高三阶段练习）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.

(1)证明：l⊥平面PAC；
(2)直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）连接CO并延长，交圆O于点S，连接AS，SB，SF，

则，四边形为矩形，BCAS，
因为EFBC，所以EFAS，
故平面AEF与平面ABC的交线为AS所在直线，即AS所在直线为直线l，
因为CS为直径，所以AC⊥AS，
因为平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，AS平面ABC，
所以AS⊥平面PAC，即l⊥平面PAC；
（2）在AS上取点Q，连接PQ，
以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，垂直CA，CB的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为PA=PC=AC=2，BC=4，
所以，
设平面AEF的法向量为，
则，
解得：，令，则，故，
，
故，
解得：，
故，
即直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为，且.
19．（2022·河南·南阳华龙高级中学高二阶段练习）如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.

(1)求证：平面EAC；
(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；
（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.
在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，，，
，，，
设平面EAC的法同量，则,即，取，得，
∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.
（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距高.
（ii），则，
∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.
20．（2022·四川南充·一模（理））在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且．

(1)求证：平面平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值．
【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：

因为是等边三角形，为中点，所以.
因为，所以.
因为，，，
所以四边形为矩形，所以.
又因为，所以，即.
因为，，，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）连接，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，，
因为，，所以.
因为，
所以，
.
设平面的法向量为，
则，令，则，
即.
由题知：平面的法向量为.
所以.
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
21．（2022·安徽·二模）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.

(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）存在，当为圆柱的母线，.
连接，因为为圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以.
因为为圆的直径，所以.
，所以平面，
因为平面，所以.
（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
，

因为的长为，所以，

设平面的法向量，
令，解得，
所以.
因为轴垂直平面，所以设平面的法向量.
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22．（2022·山西·高三阶段练习）如图，三棱柱的所有棱长都相等，点在底面上的射影恰好是等边的中心.

(1)证明：四边形是正方形；
(2)设分别为的中点，求二面角的正弦值.
【解析】（1）设点为的中心，连接，连接并延长交于点，
则平面.
因为平面，
所以，
又因为，
所以平面.
因为平面，
所以，
又因为，
所以，且，
所以四边形是矩形，
因为，
所以四边形是正方形.
（2）以为坐标原点，平行于且指向的方向为轴正方向，分别为，轴建立坐标系，
设棱长为3，则,所以
因为为的中点，所以

所以，
设平面与平面的法向量分别为，则
，即，
取，则，所以
易知，平面的法向量沿轴方向，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为.