高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算学案设计，共15页。学案主要包含了共面向量，共面向量定理，空间四点共面的条件等内容，欢迎下载使用。

导语
在平面向量中，向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.那么，空间任意一个向量p与两个不共线的向量a，b共面时，它们之间存在什么样的关系呢？
一、共面向量
问题1 如图，在长方体中，向量a，b，p与平面ABCD有怎样的位置关系？
提示 向量a，b与平面ABCD平行，向量p在平面ABCD内．
知识梳理
能平移到同一平面内的向量叫作共面向量．
注意点：
(1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量．
(2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．
例1 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(D1A,\s\up6(→))，eq \(D1C,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(———→))是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案 C
解析 如图所示．
向量eq \(D1A,\s\up6(→))，eq \(D1C,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(———→))不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(———→))，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量eq \(D1A,\s\up6(→))，eq \(D1C,\s\up6(→))，eq \(A1C1,\s\up6(———→))是共面向量，故选C.
反思感悟 若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p∥α.
跟踪训练1 (多选)下列说法错误的是( )
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
答案 ACD
二、共面向量定理
知识梳理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．
注意点：
(1)a，b不共线．
(2)也可说成向量p由不共线的向量a，b线性表示．
例2 (1)已知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))是空间两个不共线的向量，eq \(MC,\s\up6(→))＝3eq \(MA,\s\up6(→))－2eq \(MB,\s\up6(→))，那么必有( )
A.eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共线 B.eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共线
C.eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面 D.eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))不共面
答案 C
解析 由共面向量定理知，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．
求证：AB1∥平面C1BD.
证明 记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则eq \(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－eq \f(1,2)b，
eq \(DC1,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋c，
所以eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC1,\s\up6(→))＝a＋c＝eq \(AB1,\s\up6(→))，
又eq \(DB,\s\up6(→))与eq \(DC1,\s\up6(→))不共线，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC1,\s\up6(→))共面．
又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.
反思感悟 如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a，b不共线”的要求.
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，在面对角线AC1和棱BC上分别取点M，N，使eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．
求证：MN∥平面ABB1A1.
证明 eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))＝k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝kb＋kc，
又∵eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝a＋keq \(BC,\s\up6(→))＝a＋k(b－a)
＝(1－k)a＋kb，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝(1－k)a＋kb－kb－kc
＝(1－k)a－kc，
根据共面向量定理，∴eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面，
∵MN不在平面ABB1A1内，
∴MN∥平面ABB1A1.
三、空间四点共面的条件
问题2 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示 x＋y＋z＝1.
证明如下：(1)充分性
∵eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))
可变形为eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝y(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋z(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(AC,\s\up6(→))，
∴点P与A，B，C共面．
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，且点A，B，C不共线，
∴存在有序实数对(m，n)使eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝m(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋n(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，
∵eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，
且点O在平面ABC外，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
知识梳理
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))＋zeq \(OD,\s\up6(→))，且x，y，z满足x＋y＋z＝1，则A，B，C，D四点共面．
例3 (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
答案 BC
解析 方法一 A选项，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，不能转化成eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))的形式，所以A不正确；
B选项，∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，∴3eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，∴eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))，∴P，A，B，C共面．故B正确；
C选项，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→)).
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→))，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确；
D选项，eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，无法转化成eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))的形式，所以D项不正确．
方法二 点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求．
(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面．
证明 设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(→))＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，∴eq \(A1M,\s\up6(→))＝c－eq \f(1,2)a，
又∵AN∶NC＝2∶1，∴eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(b＋c)，
∴eq \(A1N,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(b＋c)－a
＝eq \f(2,3)(b－a)＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,2)a))＝eq \f(2,3)eq \(A1B,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(A1M,\s\up6(→))，
∴eq \(A1N,\s\up6(→))，eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(A1M,\s\up6(→))为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
反思感悟 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
跟踪训练3 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面．
(2)BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)因为eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要条件知向量eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(EH,\s\up6(→))共面，即E，F，G，H四点共面．
(2)因为eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
1．知识清单：
(1)共面向量定理的概念及应用．
(2)空间中应用共面向量定理判断共面问题．
2．方法归纳：类比法．
3．常见误区：应用eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)时，应注意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))四向量共起点，才能四点共面．
1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量．
2．(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
答案 AC
解析 A选项中，3－1－1＝1，四点共面，
C选项中，eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，∴点M，A，B，C共面．
3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则x的值为( )
A．1 B．0 C．3 D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，∴x＝eq \f(1,3)，故选D.
4．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，向量eq \(AB′,\s\up6(—→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(BD,\s\up6(→))是________向量(填“共面”或“不共面”)．
答案 共面
解析 eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \(B′D′,\s\up6(———→))＝eq \(AD′,\s\up6(—→))，
而eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(B′D′,\s\up6(————→))，
所以eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD′,\s\up6(—→))，所以eq \(AB′,\s\up6(—→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(BD,\s\up6(→))是共面向量．
课时对点练
1．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj，则由共面向量定理，知i，j，k共面．若i与j不共线，且k与i，j共面，则存在唯一的一对实数(m，n)，使k＝mi＋nj，但m，n不一定为非零常数，故选A.
2．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ，μ≠0)，则下列结论正确的是( )
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
答案 C
解析 假设a与e1共线，则a＝ke1，
所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，
所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D也错误．
3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，
且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \x\t(OA)＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，
则P，A，B，C四点共面等价于x＋y＋z＝1；
若x＝2，y＝－3，z＝2，则x＋y＋z＝1，
所以P，A，B，C四点共面；
若P，A，B，C四点共面，则x＋y＋z＝1，但不能得到x＝2，y＝－3，z＝2，
所以x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件．
4．已知向量e1，e2不共线，eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(AD,\s\up6(→))＝3e1－5e2，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线
B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线
C．A，B，C，D四点不共面
D．A，B，C，D四点共面
答案 D
解析 A中，不存在实数λ，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，故A错误；
B中，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝e1－13e2，不存在实数λ，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))，故B错误；若A，B，C，D四点共面，则必有eq \(AD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋2y)e1＋(x＋8y)e2＝3e1－5e2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,x＋8y＝－5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(17,3)，,y＝－\f(4,3)，))
故eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(17,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
故A，B，C，D四点共面，故C错误，D正确．
5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ等于( )
A.eq \f(2,15) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,15) D．－eq \f(2,3)
答案 A
解析 方法一 eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋λ(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)－\f(2,3)－λ))eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,15)－λ))eq \(OA,\s\up6(→))，即eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,15)－λ))eq \(OA,\s\up6(→)).由共面向量定理知eq \f(2,15)－λ＝0，解得λ＝eq \f(2,15).
方法二 运用向量共面定理的推论，由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))直接得出eq \f(1,5)＋eq \f(2,3)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(2,15).
6．(多选)下列命题中是真命题的为( )
A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，则P，M，A，B四点共面
D．若P，M，A，B四点共面，则eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
答案 AC
解析 对于选项A，由共面向量定理得p与a，b共面，A是真命题；
对于选项B，若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；
对于选项C，若eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，则eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；
对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))不成立，D是假命题．
7．下列命题中为真命题的是________．
①若eq \(A1A2,\s\up6(———→))＋eq \(A2A3,\s\up6(———→))＋eq \(A3A1,\s\up6(———→))＝0，则A1，A2，A3三点共面；
②若eq \(A1A2,\s\up6(———→))＋eq \(A2A3,\s\up6(———→))＋eq \(A3A4,\s\up6(———→))＋eq \(A4A1,\s\up6(———→))＝0，则A1，A2，A3，A4四点共面；
③若eq \(A1A2,\s\up6(———→))＋eq \(A2A3,\s\up6(———→))＋eq \(A3A4,\s\up6(———→))＋…＋An－1An＋eq \(AnA1,\s\up6(———→))＝0，则A1，A2，A3，…，An这n个点共面．
答案 ①
解析 在空间四边形A1A2A3A4中，
有eq \(A1A2,\s\up6(———→))＋eq \(A2A3,\s\up6(———→))＋eq \(A3A4,\s\up6(———→))＋eq \(A4A1,\s\up6(———→))＝0，
但四点不一定共面，故②③都错误．
8．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))，则实数x的值为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(PD,\s\up6(→)).
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴eq \f(3,2)－x－eq \f(1,6)＝1，解得x＝eq \f(1,3).
9．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解 (1)∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
∴向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知，向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
10．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点，证明：MN∥平面A′ACC′.
证明 因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA′,\s\up6(——→))＋eq \(A′N,\s\up6(——→))，
且点M，N分别为A′B和B′C′的中点，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \(A′B′,\s\up6(————→))＋eq \(A′C′,\s\up6(————→)))＝eq \f(1,2)(eq \(B′A′,\s\up6(————→))＋eq \(AA′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \(A′B′,\s\up6(————→))＋eq \(A′C′,\s\up6(————→)))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(A′C′,\s\up6(————→))，
又eq \(AA′,\s\up6(—→))与eq \(A′C′,\s\up6(————→))不共线，
所以eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(AA′,\s\up6(—→))，eq \(A′C′,\s\up6(————→))共面，
因为MN⊄平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
11．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))不共面
答案 D
解析 我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C错误；由向量平行与直线平行的区别，可知A错误；因为AB，AC，AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段，所以向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))不共面．故选D.
12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋xeq \(OC,\s\up6(→))＋yeq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝2xeq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OD,\s\up6(→))＋yeq \(OE,\s\up6(→))，则x＋3y等于( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(7,6) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
答案 B
解析 由点A，B，C，D共面得x＋y＝eq \f(1,2)，①
又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝eq \f(2,3)，②
联立①②，解得x＝eq \f(1,6)，y＝eq \f(1,3)，
所以x＋3y＝eq \f(7,6).
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋7eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(AA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(———→))，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋7eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(AA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(———→))
＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(BA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(———→))
＝eq \(PB1,\s\up6(→))＋eq \(B1A1,\s\up6(→))＋6eq \(BA1,\s\up6(→))－4eq \(A1D1,\s\up6(———→))
＝eq \(PA1,\s\up6(→))＋6(eq \(PA1,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))－4(eq \(PD1,\s\up6(→))－eq \(PA1,\s\up6(→)))
＝11eq \(PA1,\s\up6(→))－6eq \(PB,\s\up6(→))－4eq \(PD1,\s\up6(→))，
于是M，B，A1，D1四点共面．
14．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝6eq \(OP,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))，则P与平面ABC的关系是__________________．
答案 P在平面ABC内
解析 方法一 ∵3eq \(OP,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OP,\s\up6(→))
＝(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋(2eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OP,\s\up6(→)))，
∴3eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))，即eq \(PA,\s\up6(→))＝－2eq \(PB,\s\up6(→))－3eq \(PC,\s\up6(→)).
∴点P与点A，B，C共面．
方法二 由题意得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
∵eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝1，且A，B，C三点不共线，
∴点P与点A，B，C共面．
15.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，点G在AH上，且eq \f(AG,AH)＝m，若G，B，P，D四点共面，则实数m的值是________．
答案 eq \f(3,4)
解析 连结BD，BG(图略)．
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)).
因为eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)).
因为eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，
所以eq \(PH,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，
所以eq \(PH,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
又因为eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，
所以eq \(AH,\s\up6(→))＝－eq \f(4,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
因为eq \f(AG,AH)＝m，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝meq \(AH,\s\up6(→))＝－eq \f(4m,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PD,\s\up6(→)).
又因为eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4m,3)))eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \(PD,\s\up6(→))，
且G，B，P，D四点共面，
所以1－eq \f(4m,3)＝0，
解得m＝eq \f(3,4).
16.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且eq \(OE,\s\up6(→))＝keq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))＝keq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OH,\s\up6(→))＝keq \(OD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→))＋meq \(EF,\s\up6(→)).
求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(EG,\s\up6(→))；
(3)eq \(OG,\s\up6(→))＝keq \(OC,\s\up6(→)).
证明 (1)由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→))＋meq \(EF,\s\up6(→))知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EH,\s\up6(→))＋meq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OH,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＋m(eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→)))
＝k(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋km(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝keq \(AD,\s\up6(→))＋kmeq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(AD,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→)))＝keq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(EG,\s\up6(→)).
(3)由(2)知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))－eq \(EO,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))－keq \(AO,\s\up6(→))
＝k(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→)))＝keq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(OG,\s\up6(→))＝keq \(OC,\s\up6(→)).