中考数学压轴题5

4．如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝4，AB＝6，BC＝10．点 E 是AB 边上的一个动点，EF//BC 交 DC 于 F．以 EF 为斜边在 EF 的下方作等腰直角三角形 EFG， EG、FG 的延长线分别与 BC 交于点 M、N．如果 EF＝x，MN＝y，求 y 关于 x 的函数关系式．

4．（1）如图 1，作 DH⊥BC，垂足为 H．

在 Rt△DCH 中，DH＝6，CH＝10－4＝6，所以∠C＝45°．

如图 2，延长 FD、FG 分别与直线 AB 交于点 P、Q，那么△FPQ 是等腰直角三角形． 所以 EF＝EP＝EQ＝x．

等腰直角三角形 PBC 的直角边 BP＝BC＝10．

如图 3，等腰直角三角形 BEM 的直角边 BE＝BM＝10－x． 如图 4，等腰直角三角形 BNQ 的直角边 BQ＝BN＝2x－10．

①如图 3，当 G 在 BC 上方时，由 BE＝BM＝BN＋MN，得 10－x＝2x－10＋y． 整理，得 y＝20－3x．

第 4 题图 1 第 4 题图 2 第 4 题图 3

第 4 题图 4 第 4 题图 5 第 4 题图 6

②如图 5，当 G 在 BC 的下方时，由 BE＝BM＝BN－MN，得 10－x＝2x－10－y． 整理，得 y＝3x－20．

如图 6，当 G 落在 BC 上时，可以由 EF＝2BE，得 x＝2(10－2x)。此时 x  20 ．

3

10．（2014 年温州市市直五校协作体中考模拟第 23 题）

如图，已知抛物线 y  1 x2  bx 与直线 y＝2x 交于 O(0, 0)、A(a, 12)两点，点 B 是抛物线

2

上 O、A 之间的一个动点，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 OA 交于点 C、E．

（1）  求抛物线的解析式；

（2）  若 OC＝ 1 AC，求 BC 的长；

2

（3）  以 BC、BE 为边构造矩形 BCDE，设点 D 的坐标为(m, n)，直接写出 m、n 之间的关系式．

10．（1）将 A(a, 12)代入 y＝2x，得 a＝6．所以 A(6, 12)．

将 A(6, 12)代入 y  1 x2  bx ，得 12＝18＋6b．解得 b＝－1．

2

所以抛物线的解析式是 y  1 x2  x ．

2

（2）  由 O(0, 0)、A(6, 12)，可知 O、A 间的水平距离为 6，垂直距离为 12．

当 OC＝ 1 AC 时，点 C 的坐标为(2, 4)．

2

解方程 1 x2  x  4 ，得 x＝4，或 x＝－2．

2

所以点 B 的坐标为(2, 4)．此时 BC＝2．

（3） 
如图 1，已知 D(m, n)，由于 DE//x 轴，E 在直线 y＝2x 上，所以 E  1 ．

由于 DC//y 轴，C 在直线 y＝2x 上，所以 C(m, 2m)．

所以点 B 的坐标为(1 n, 2m) ，代入 y  1 x2  x ，得2m  1  (1

( n, n)

2

n)2  1 n ．

2

于是得到 m、n 之间的关系式是m 

2

1 n2  1 n ．

16 4

2 2 2

第 10 题图 1

4．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10， cos B  3 ，点 D 在 AB 边上（点 D 与点 A，B

5

不重合），DE∥BC 交 AC 边于点 E，点 F 在线段 EC 上，且 EF   1 AE ，以 DE、EF 为邻边

4

作平行四边形 DEFG，联结 BG．

（1）  当 EF＝FC 时，求△ADE 的面积；

（2） 
设 AE＝x，△DBG 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围．

4．（1）如图 1，作 AH⊥BC，垂足为 M，分别交 DE、GF 于 M、N．

在 Rt△ABM 中，AB＝10， cos B  3 ，所以 BM＝6，AM＝8，BC＝12．

5

所以S△ABC

 1  BC  AM  48 ．

2

设 AE＝x，当 EF＝FC 时， 1 x  10  5 x ．解得 x  20 ．

因为 DE//BC，所以 S△ADE 

4 4

2

．所以S

3

 AE 2

2

  48 

64 ．

S  AC 

△ADE

 AC  △ABC  3  3

△ABC  

   

（2）【解法一】如图 1，在 Rt△AEM 中，AE＝x，所以 AM  4 x ， EM  3 x ．

5 5

所以 DE  GF  2EM  6 x ， MN  1 AM  1 x ， NH  8  x ．

5 4 5

于是 S△ADE＝ 1  6 x  4 x  12 x2 ，

2   5 5 25

S 平行四边形 DEFG＝ 6 x  1 x 

6 x2 ，

S 梯形

＝ 1 

5 5 25

6 3  2 6 ．

2 5 5 5

因此 y＝S△BDG＝ 48  (12 x2 )  ( 6 x2 )  ( 3 x2  6 x  48)   3 x2  6 x ．

25 25 5 5

x 的取值范围是 0＜x≤8．

25 5

【解法二】如图 2，延长 DG 交 BC 于 Q，那么△DBQ∽△ABC． 所以 S△DBQ∶S△ABC＝DB2∶AB2．因此 S△DBQ∶48＝(10－x)2∶102．

所以 S△DBQ＝ 12 (10  x)2 ．

25

又因为△BDG 与△BDQ 是同高三角形，所以 S△BDG∶S△BDQ＝DG∶DQ．

所以 y : 12 (10  x)2  1 x : (10  x) ．于是得到 y   3 x2  6 x ．

25 4 25 5

第 4 题图 1 第 4 题图 2