中考数学压轴题1

9．（2014 年杭州市拱墅区中考模拟第 22 题）

如图，在一个边长为 9cm 的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC、CD 上的动点， 连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于点 H，交 AD 于点 N．设点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动；点 E 同时从点 A 出发，以              cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t（t＞0）．

（1）  当点 F 是 AB 的三等分点时，求出对应的时间 t；

（2）  当点 F 在 AB 边上时，连结 FN 、FM：

①是否存在 t 值，使 FN＝MN？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；

②是否存在 t 值，使 FN＝FM？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．

9.（1）由 AB//DC，得 AF  AE ．由 AC  9

CD CE

点 F 是 AB 的三等分点，存在两种情况：

， AE 

2t ，得CE 

2(9  t) ．

①如图 1，当 AF＝3 时， 3 

9

．解得t  9 ．

4

②如图 2，当 AF＝6 时， 6 

9

．解得t  18 ．

5

第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3

（2）如图 1，由 AB//DC，得 AF  AE ．

CD CE

如图 3，由△AFD∽△DNM，得 AF  DN ．

AD DM

而 CD＝AD，所以 AE  DN ．因此

CE DM

因此 AN＝DM＝9－t．

 DN ．所以 DN＝t．

9  t

①如图 4，如果 FN＝MN，那么 Rt△AFN≌Rt△DNM．

又因为△AFD∽△DNM，所以△AFN≌△AFD．此时 N、D 重合，t＝0．

②如图 5，当 FM＝FN 时，FD 垂直平分 MN，因此 DN＝DM．

解方程 t＝9－t，得t  9 ．

2

第 9 题图 4 第 9 题图 5

10.（2014 年南京市雨花栖霞浦口化工园区四区联合模拟第 26 题）

已知二次函数 y＝mx2－5mx＋1（m 为常数，m＞0），设该函数图像与 y 轴交于点 A，图像上一点 B 与点 A 关于该函数图像的对称轴对称．

（1）  求点 A、B 的坐标；

（2）  点 O 为坐标原点，点 M 为函数图像的对称轴上一动点，求当 M 运动到何处时

△MAO 的周长最小；

（3）  若该函数图像上存在点 P 与点 A、B 构成一个等腰三角形，且△PAB 的面积为10，求 m 的值．

10．（1）由 y＝mx2－5mx＋1，得 A(0, 1)，抛物线的对称轴为直线 x  5 ．

2

所以点 B 的坐标为(5, 1)．

（2）  如图 1，当 M 运动到线段 OB 与对称轴的交点时，△MAO 的周长最小，这是因为：如图 2，AO 为定值，MA＝MB，在△MOB 中，MO＋MB＞OB．

因此当 O、M、B 三点共线时，MB＋MO 最小．

如图 1，此时点 M 的坐标为 5  1

2  2

，△MAO 的周长的最小值为

1 ．

第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3

（3）  因为△PAB 的面积为 10，AB＝5，所以 AB 边上的高为 4，即点 P 到 AB 的距离

PH 为 4．

等腰三角形 PAB 分三种情况：

①如图 3，当 PA＝PB 时，P 是抛物线的顶点，由于抛物线开口向上，此时 P ( 5 , 3) ．

2

将 P ( 5 , 3) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到m  16 ．

2 25

②如图 4，当 AP＝AB 时，在 Rt△PAH 中，AP＝5，PH＝4，所以 AH＝3． 所以点 P 的坐标为(－3, 5)或(3,－3)．

将 P(－3, 5) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到m  1 ．

6

将 P(3,－3) 代入 y＝mx2－5mx＋1，于是得到m  2 ．

3

③如图 5，当 BP＝BA＝5 时，根据对称性，与情况②一样， m  1 或 m  2 ．

6 3

第 10 题图 4 第 10 题图 5

4.    如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 D，顶点为C．

（1）  求此抛物线的解析式；

（2）  在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MN⊥x 轴于点 N，使以 A、M、N

为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）因为抛物线 y＝ax2＋bx－3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点， 所以 y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a．

所以 3a＝－3．解得 a＝－1．

所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋4x－3．

（2）由 y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得 D(0,－3)，C(2, 1)．

如图 1，由 B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．

所以∠CBD＝90°，且 BC   1 ．

BD 3

第 4 题图 1 第 4 题图 2 第 4 题图 3

因此△AMN 与△BCD 都是直角三角形，它们相似分 4 种情况讨论：

①当 NA  BD  3 ，且 M 在 A 右侧时，

NM BC

x 1

(x 1)(x  3)

 3 ．

解得 x  10 ．此时 M  10 ,  7) （如图 2）．

3 3 9

②当 NA  BD  3 ，且 M 在 A 左侧时， 1  x

 3 ．

NM BC

解得 x  8 ＞1，不符合题意（如图 3）．

3

(x 1)(x  3)

③当 NA  BC  1 ，且 M 在 A 右侧时，

x 1  1 ．

NM BD 3

(x 1)(x  3) 3

解得 x＝6．此时 M(6,－12)（如图 4）．

④当 NA  BC  1 ，且 M 在 A 左侧时， 1  x  1 ．

NM BD 3

(x 1)(x  3) 3

解得 x＝0．此时 M(0,－3)（如图 5）．

第 4 题图 4 第 4 题图 5

10．（2014 年南京市建邺区九年级学情调研卷第 26 题）

如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4 ，BC＝8．⊙A 的半径为 2，动点 P 从点 B 出发沿

BC 方向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，以点 P 为圆心，以 PB 为半径作⊙P，设点 P

运动的时间为 t 秒．

（1）  当⊙P 与直线 AC 相切时，求 t 的值；

（2）  当⊙P 与⊙A 相切时，求 t 的值；

（3）    延长 BA 交⊙A 于点 D，连接 AP 交⊙A 于点 E，连接 DE 并延长交 BC 于点 F．当

△ABP 与△FBD 相似时，求 t 的值．

10．（1）在△ABC 中，已知 AB＝AC＝4   2，BC＝8，可知△ABC 是等腰直角三角形．如图 1，过点 P 作 PM⊥AC，垂足为 M．

当⊙P 与直线 AC 相切时，PM＝PB＝t．

在 Rt△PCM 中，PM＝t，∠C＝45°，所以 PC＝ 2t ．

由 BC＝BP＋PC＝8，得t 

2t  8 ．解得t  8

 8 ．

第 10 题图 1 第 10 题图 2

（2）  如图 2，作 AH⊥BC，垂足为 H．

在 Rt△APH 中，AH＝4，PH＝|4－t|，所以 AP   ．

对于⊙A，r＝2；对于⊙P，R＝t；圆心距 d＝AP＝

①当⊙P 与⊙A 外切时，由 R＋r＝d，得 x  2 

②当⊙P 与⊙A 内切时，由 R－r＝d，得t  2 

．

．解得t  7 （如图 3）．

3

．解得 t＝7（如图 4）．

第 10 题图 3 第 10 题图 4

（3）  △ABP 与△FBD 有公共角∠B，分两种情况讨论它们相似：

①如图 5，∠BAP＝∠D 是不可能的，这是因为∠BAP 是等腰三角形 ADE 的外角，

∠BAP＝2∠D．

②如图 6，当∠BPA＝∠D 时，在△ABP 中，∠BAP＝2∠BPA， 因此 45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．

此时△ABP 是等腰直角三角形，P 与 C 重合，所以 t＝8．

第 10 题图 5 第 10 题图 6