中考数学压轴题60

2022—2023学年中考金榜预测卷A

1、（3分）如图，A、B是反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标是4，CD＝3AC，cos∠BED，则k的值为　　．

【分析】由cos∠BED，则设DE＝3a，BE＝5a，则BD＝4a＝4，即可求得a＝1；设AC＝b，则CD＝3b，由AC∥BD，求出b的值；再设A（，n）、B（4，n），将点A、B的值，代入反比例函数表达式即可求解．

【解答】解：∵BD∥x轴，

∴∠EDB＝90°，

∵cos∠BED，

∴设DE＝3a，BE＝5a，

∴BD4a，

∵点B的横坐标为4，

∴4a＝4，则a＝1，

∴DE＝3，

设AC＝b，则CD＝3b，

∵AC∥BD，

∴，

∴ECb，

∴ED＝3b，

∴3，则b，

∴AC，CD，

设B点的纵坐标为n，

∴OD＝n，则OC＝CD+ODn，

∵A（，n），B（4，n），

∴A、B是反比例函数y（k＞0，x＞0）图象上的两点，

∴k（n）＝4n，

∴n，

解得k，

故答案为．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形以及勾股定理的应用，表示出A、B的坐标是解题的关键．

2、（12分）综合与探究：

如图，抛物线yx2+x+6与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点．

（1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．

（2）点D是直线l上方抛物线上一点，其横坐标为m，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交直线l于点F．当DF＝2EF时，求点D的坐标．

（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）在yx2+x+6中，令y＝0，可求得点A，B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式；

（2）先分别表示出EF，DF的长，然后根据DF＝2EF列方程求解即可；

（3）分情况讨论：①当点P在y轴正半轴上时，连接AD交y轴于点Q，过点P作PH⊥AD于点H，先求得直线AD的函数表达式，再证明△PAH∽△DAE和△PQH∽△AQO，设QH＝t，则PH＝2t，根据相似三角形性质和勾股定理建立方程求解即可求得点P的坐标，②当点P在y轴负半轴上时，利用点P′与点P关于x轴对称，即可求得点P′的坐标．

【解答】解：（1）在yx2+x+6中，

令y＝0，得：x2+x+6＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝12，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣4，0），B（12，0），

令x＝0，得y＝6，

∴C（0，6），

设直线l的函数表达式为y＝kx+b，

∵直线l经过点B（12，0）和点C（0，6），

∴，

解得：，

∴直线l的函数表达式为yx+6．

（2）如图1，∵DE⊥x轴，垂足为E，点D的横坐标为m，

∴E（m，0），D（m，m+6），F（m，m+6），

∴EFm+6，DFm+6﹣（m+6）m，

∵DF＝2EF，

∴m＝2（m+6），

解得：m＝8或m＝12（舍去），

把m＝8代入ym+6，得y＝6，

∴D（8，6）．

（3）存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．

①如图2，当点P在y轴正半轴上时，连接AD交y轴于点Q，过点P作PH⊥AD于点H，

则∠PHA＝∠DEA＝90°，

设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1，

∵A（﹣4，0），D（8，6），

∴，

解得：，

∴直线AD的函数表达式为yx+2，

∴Q（0，2），

∴OQ＝2，

∵∠PAB＝2∠DAB，

∴∠PAH＝∠DAE，

∴△PAH∽△DAE，

∴，

∵∠PHA＝∠AOQ＝90°，∠PQH＝∠AQO，

∴△PQH∽△AQO，

∴，

设QH＝t，则PH＝2t，

根据勾股定理，得：PQt，

∴，

解得：t，

∴OP＝2t，

∴点P的坐标为（0，）．

②如图3，当点P在y轴负半轴上时，

由题意知，点P′与点P关于x轴对称，则点P′的坐标为（0，），

综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）．

【点评】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想