中考数学压轴题47

1（10分）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．

（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝　　时，△PAB的周长最短；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝　　时，四边形ABDC的周长最短；

（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝　　，n＝　 （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意，设出并找到B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；

（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E＝AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．

（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m，n；时成立．

【解答】解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），

设直线AB'的解析式为y＝kx+b，

把A（2，﹣3），B'（4，1）代入得：，

解得，

∴y＝2x﹣7，

令y＝0得x，

即p．

（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E＝AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．

直线A'F的解析式为y﹣（﹣1）（x﹣1），即y＝4x﹣5，

∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，

∴a．

（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，

作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，

∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），

∴直线A′B′的解析式为：yx，

∴M（，0），N（0，）．

m，n．

【点评】考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．

2（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C、（0，﹣2），以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线l∥y轴，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）点E的坐标为　 　，该抛物线的函数表达式为　 　；

（2）设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA∠MBA？若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

【分析】（1）证明△AOC≌△ESA（AAS）即可求解；

（2）分当BN在∠MBA的内部、的外部两种情况求解即可；

（3）利用S＝S梯形PQTS﹣S△PBS﹣S△QTB，即可求解．

【解答】解：（1）设直线直线l交x轴于点S，

∠EAS+∠CAS＝90°，∠SEA+∠EAS＝90°，

∴∠AES＝∠CAS，

∠AOC＝∠ASE＝90°，AC＝AE，

∴△AOC≌△ESA（AAS），

∴OA＝SE＝1，CO＝AS＝2，

故点E坐标为（1，1），

同理可得点D坐标为（2，1），

由题意得：，解得：

故抛物线的表达式为：yx2x﹣2…①，

故：答案为：（1，1）、yx2x﹣2；

（2）存在，理由：

①当BN在∠MBA的内部时，如上图，

设直线BN交直线l于点H，过点H作HG⊥BM交BM于点G，

∠NBA∠MBA，∴SH＝HG＝a，

tan∠SBMtanα，cosα

在Rt△HGM中，HMa，HG＝a，

sin∠HMG＝cosα，解得：a＝1，

即点H的坐标为（1，﹣1），

把点H、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，

故直线HB的表达式为：yx②，

将①②联立并解得：x＝3或（舍去x＝3），

故点N的坐标为（，），

②当BN在∠MBA的外部时，

同理可得：点N的坐标为（，），

故：点N的坐标为（，）或（，）；

（3）点M（1，）、点F（1，﹣1），

当P、Q、B三点共线时，如下图2，

则点Q（1+t，﹣1），点B（3，0），则PFt，FQ＝t，QH＝3﹣t﹣1＝2﹣t，FQ＝t，

此时，tan∠FQP＝tan∠BQH，即，解得：t，

如图，过点Q作QT⊥x轴交于点T，

①当0≤t或t时，此时点P在x轴下方，

S2（t）1（t）tt2t；

②当t，此时点P在x轴上方，在点B左方，

同理可得：S（t）t12×（t）t2t

故S．

【点评】本题为二次函数综合应用题，基本的考点是三角形全等、解直角三角形，关键是通过数形结合，正确确定图形的位置，本题难度较大．